Раздел II

ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ (СЖАТИЕ ) СТЕРЖНЕЙ .

СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ.

Основные понятия и зависимости.

Центральным растяжением (сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только нормальная (продольная) сила N остальные силовые факторы равны нулю. В дальнейшем центральное растяжение (сжатие) коротко называется просто растяжением (сжатием). Нормальная (продольная) сила в поперечном сечении представляет собой равнодействующую нормальных внутренних сил распределенных по площади поперечного сечения и связана с нормальными напряжениямив этом сечении зависимостью:. Принято считатьположительной нормальную силу, вызывающую растяжение, отрицательной нормальную силу, вызывающую сжатие. Нормальные силы в поперечных сечениях определяют методом сечений. Считается что при растяжении (сжатии) справедлива гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли) следовательно, нормальные напряжения в поперечных сечениях стержня распределены равномерно и , где- площадь поперечного сечения. Положительным считается растягивающее нормальное напряжение. Согласно гипотезе плоских сечений материал стержня при растяжении (сжатии) находится в линейном напряженном состоянии. На основании закона Гука относительное удлинение бесконечно малого участка стержня:, где модуль продольной упругости материала (модуль Юнга). Полное удлинение стержня в общем случае, когда нормальная сила и площадь поперечного сечения меняются по длине: , где - длина стержня. В частном случае, когда нормальная сила и площадь по длине постоянны: . Для ступенчатого стержня полное удлинение вычисляется как сумма удлинений его участков: , где соответственно длина, площадь поперечного сечения, нормальная сила на i - том участке.

Растяжение (сжатие) сопровождается изменением поперечных размеров стержня. Между относительной поперечной - и относительной продольной - деформациями при растяжении (сжатии) существует связь , где - коэффициент Пуассона (коэффициент поперечной деформации) является константой материала. Знак «-» в уравнении отражает тот факт, что и всегда имеют противоположные знаки.

Условия прочности для стержней работающих на растяжение сжатие записываются для опасных сечений стержня, в которых действуют наибольшие по величине растягивающие и сжимающие напряжения. В случае, когда материал стержня имеет одинаковую прочность на растяжение и сжатие достаточно одного условия прочности , где допускаемое напряжение для материала стержня. Если материал стержня имеет разную прочность при растяжении и сжатии необходимо выполнение одновременно двух условий прочности:,, где,- допускаемые напряжения для материала стержня соответственно на растяжение и сжатие.

Статически неопределимыми системами называются такие системы, в которых количество неизвестных сил (реакций, внутренних силовых факторов) превышает число уравнений равновесия. Степенью статической неопределимости n называется разность между r - количеством неизвестных и u - числом уравнений статики: . В статически неопределимых задачах не удается определить силовые факторы из условий равновесия и прежде чем решать задачи прочности и жесткости необходимо раскрыть статическую неопределимость. Общий принцип раскрытия статической неопределимости заключается в том, что в дополнении к имеющимся уравнениям равновесия всегда можно составить n условий совместности деформаций (совместности перемещений). Условия совместности деформаций (перемещений) связывают между собой деформации отдельных элементов системы или перемещения ее точек. Затем в условиях совместности деформации (или перемещения) выражаются через внутренние усилия, которые в свою очередь могут быть выражены методом сечений через внешние силы. После решения условий совместности вместе с уравнениями равновесия относительно неизвестных усилий, статическая неопределимость будет раскрыта.

Для реальных стержней на основании принципа Сен-Венана гипотеза плоских сечений справедлива лишь вдали от мест приложения внешних сосредоточенных нагрузок и мест изменения размеров и формы поперечного сечения.