1.1. Основные понятия и зависимости

При растяжении (сжатии) прямого бруса в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – продольная сила, обозначаемая N_ZилиN.

Прямые брусья, работающие на растяжение или сжатие, называют стержнями.

Продольные силы, соответствующие деформации растяжения, условимся считать положительными, а сжатия – отрицательными.

При растяжении продольная сила направлена от сечения, а при сжатии – к сечению.

Гипотезы, принятые при растяжении и сжатии.

1. Принцип Сен-Венана – равномерное распределение упругих сил во всех поперечных сечениях. И только в сечениях, расположенных очень близко к местам приложения сил нельзя ожидать равномерного распределения сил упругости. Определение сил упругости в местах, лежащих близко к месту приложения внешних сил, представляет трудную задачу, не входящую в курс сопротивления материалов.

2. Гипотеза Я.Бернулли – сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к оси и при деформации.

Продольная сила в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме проекций на его продольную ось OZвсех внешних сил, приложенных к оставленной части.

В тех случаях, когда продольные силы в различных поперечных сечениях неодинаковы, закон их изменения по длине бруса удобно представить в виде графика, называемого эпюрой продольных сил N=f(z).

Обозначим полученное удлинение Δl, его величина будет:

Δl=l – l_o (мм)

Это приращение длины бруса называется полным или абсолютным удлинением при растяжении, а в случае сжатия бруса оно называется полным или абсолютным укорочением.

Абсолютное удлинение (укорочение) очевидно, зависит от первоначальной длины бруса, поэтому более удобной мерой деформации является удлинение (укорочение), отнесенное к первоначальной длине бруса.

Отношение

называется относительной продольной деформацией или относительным удлинением (укорочением).

Относительное удлинение (укорочение) не имеет размерности и выражается в процентах от первоначальной длины:

Нормальное напряжение, возникающее в поперечном сечении бруса, выразим через продольную силу и площадь сечения:

Единица измерения или МПа – мегапаскаль.

Нагрузки и деформации, возникающие в брусе, тесно связаны между собой. Эта связь между нагрузкой и деформацией была сформулирована впервые Робертом Гуком в 1678г. Согласно закону Гука деформация пропорциональна нагрузке. Этот закон является одним из основных в теории сопротивления материалов.

(1) - закон Гука

Этот закон справедлив в пределах упругой деформации, но пропорциональность нарушается, когда напряжение переходит за некоторый предел пропорциональности, который устанавливается опытным путем.

Коэффициент Еназывается модулем упругости первого рода или модулем продольной упругости (модулем Юнга).

Размерность у Етакая же как и у напряженияσ– мегапаскаль.

При одном и том же напряжении относительная деформация будет меньше у того материала, для которого Ебудет больше. Следовательно, модуль упругости характеризует жесткость материала.

Величина модуля упругости устанавливается для материалов экспериментально. Ниже приведены средние значения Едля некоторых материалов при комнатной температуре.

Сталь

Чугун

Медь

Бронза

Алюминий

Дерево

Формулу (1) можно записать в другом виде, если учесть и:

(2) – формула Гука

Из формулы (2) следует, что абсолютное удлинение (укорочение), получаемое брусом, прямо пропорционально растягивающей (сжимающей) силе, длине бруса и обратно пропорционально величине - жесткости сечения.

Формулы (1) и (2) являются основными при расчетах на растяжение и сжатие.

Поперечная деформация при растяжении и сжатии.

Удлинение в продольном направлении вызывает сужение в поперечном направлении. И наоборот, укорочение в продольном направлении сопровождается поперечным расширением

-относительная поперечная деформация

В пределах упругой деформации между относительной продольной деформацией εи относительной поперечной деформациейε₀существует связь, называемая коэффициентом Пуассонаμ.Всегда отрицательное значение.

Средние значения коэффициента Пуассона для некоторых материалов:

Углеродистая сталь μ= 0,24 – 0,28

Алюминий μ= 0,26 – 0,36

Медь μ= 0,34

Бронза μ= 0,35

Резина μ= 0,47