термех

39

Плоскопараллельное движении. Если тело имеет плоскость симметрии и движется параллельно этой плоскости, то, очевидно, система сил инерции тела приведется к лежащим в плоскости симметрии силе, равной и приложенной в центре масс С тела, и паре с При решении задач по формулам вида () вычисляется модуль момента М", а его направление, противоположное е, указывается на чертеже.

40

Для определения динамических реакций подшипников. силы инерции будут представлены одной силой, равной R" и приложенной в точке А, и парой сил с моментом, равным . Проекции этого момента на оси к и у будут: ; здесь опять М"=0, так как .составляя согласно принципу Даламбера уравнения. Последнее уравнение удовлетворяется тождественно, так как

. . Составляя такие выражения для всех точек системы, складывая их и вынося общий множитель за скобки, придем к равенствам: . Уравнения и определяют динамические реакции, действующие на ось равномерно вращающегося твердого тела, если осью вращения является ось z. Таким образом, динамические реакции, действующие на ось вращающегося тела, будут равны статическим, если ось вращения является одной из главных центральных осей инерции тела. Равенства выражают условия того, что динамические реакции, действующие на ось вращающегося тела, равны статическим реакциям или, как говорят, условия динамической уравновешенности вращающегося тела при его вращении вокруг оси z.

41

рассматривая те перемещения, которые точки механической системы могут иметь при наложенных на нее связях. называют возможными (или виртуальными} перемещениями. двум условиям: 1) быть элементарными, так как при конечном перемещении система может прийти в положение, где эффект наложенных связей будет другим; 2) быть такими, чтобы все наложенные в данный момент времени на систему связи сохранялись, иначе может измениться вид рассматриваемой механической системы. Таким образом, возможным перемещением механической системы будем называть любую совокупность элементарных перемещений точек этой системы из занимаемого в данный момент времени положенния, которые допускаются всеми наложенными на систему связями. . Число независимых между собой возможных перемещений механической системы называются числом степеней свободы этой системы. у механической системы с геометрическими связями число независимых координат, определяющих положение системы, совпадает с числом, ее степеней свободы. идеальными называются связи, для которых сумма элементарных работ их реакций на любом возможном перемещении системы равна нулю,

42

Введем понятие о возможной работе, Будем возможную работу активной силы обозначать символом , а возможную работу реакции N связи — символом Для определения необходимого условия равновесия докажем, что если механическая система с идеальными связями находится под, действием приложенных сил в равновесии, то при любом возможном перемещении системы должно выполняться равенство . - угол между силой и возможным перемещением. Для всех точек системы

. для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю.

43

но по условию идеальных связей - общим уравнением динамики. принцип Даламбера — Лагранжа: при движении механической системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы будет равна нулю.

44

Независимые между собой параметры(число координат) любой размерности, число которых равно числу степеней свободы системы и которые однозначно определяют ее положение, называют обобщенными координатами системы. Будем обозначать обобщенные координаты буквой q.

или

45

величину называют обобщенной силой.. Q будет измеряться в Н*м. обобщенные силы — это величины, равные коэффициентам при приращениях обобщенных координат в выражении полной элементарной работы действующих на систему сил. . Вычисление обобщенных сил будем производить по формулам вида , Сначала следует установить, каково число степеней свободы системы, выбрать обобщенные координаты и изобразить на чертеже все приложенные к системе активные силы и силы трения (если они совершают работу). Затем для определения надо сообщить системе такое возможное перемещение, при котором изменяется только координата получая положительное приращение вычислить на этом перемещении сумму элементарных работ всех действующих сил по формулам и представить полученное выражение в виде

46

Если все действующие на систему силы являются потенциальными, то для системы, как известно, существует такая силовая функция U, зависящая от координат точек системы, что сумма элементарных работ действующих сил равна полному дифференциалу этой функции, . при переходе к обобщенным координатам . потенциальная энергия П=—U, или . Следовательно, если все действующие на систему силы потенциальны, то обобщенные силы равны частным производным от силовой функции (или взятым со знаком минус частным производным от потенциальной энергии) по соответствующим обобщенным координатам.

47

Таким образом, для равновесия механической системы необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы соответствующие выбранным для системы обобщенным координатам, были равны нулю. Число условий равновесия равно, как видим, числу обобщенных координат, т. е. числу степеней свободы системы.

48

дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах или уравнениях Лагранжа

49

Функция L от обобщенных координат и обобщенных скоростей, равная разности между кинетической и потенциальной энергиями системы, называется функцией Лагранжа или кинетическим потенциалом.

потенциальных сил уравнения Лагранжа примут вид