6. Свободные колебания материальной точки без учета сопротивления

Рассмотрим точку М, движущуюся прямолинейно под действием одной только восстанавливающейся силы, направленной к неподвижному центру О и пропорциональной расстоянию от этого центра. .(c-коэфиц.пропорцион.) Сила F стремится вернуть точку в равновесное положение где сила равна нулю. или. Введемk=и делим обе части наm. Получим Дифференциальное уравнение свободных колебаний при отсутствии сопротивления .решение линейн.однород.диф.уравнения 2поряда ищут в виде х=,для определенияn - Характеристическое уравнение.корни этого уравнения, из теории диф.уравнений общее решение.

Вместо постоянных интегрирование вводим А и α,, получимВид решения диф.уравненя. такие колебания называются гармоническими. Скорость точки в рассматр.движении:-

k – круговая частота колебаний. - начальная фаза.T=. Определим постоянные А и α:,Свойства: амплитуда и начальная фаза колебаний зависят от начальных условий. Частота и период не зависят от начальных условий. Влияние постоянной силы.Постоянная силаP не изменяя характера колебаний, смещает центр колебаний в сторону действия силы на статическую величину отклонения .

7. Затухающие колебания материальной точки.

Пусть на точку действует

восстанавливающая сила и сила

сопротивления R.

, Деля обе части наm где

Дифференциальное уравнение свободных колебаний при сопротивлении, пропорциональном скорости.

; Характеристическое уравнение .

Рассмотрим случаи: сопротивление мало,то

; =>решение в общем виде для Затух.колебания.

; амплетуд.форма

Макс.отклонение .размах колебаний убывает по геметр.прогресии. декримент

Случай b>k

От нач.скорости зависит характер движен.Движение точки не колебательное, постепенно, асимптотически приближается к x=0.

Случай b=k ; Движение не колебательное

8. Вынужденные колебания

материальной точки при действии

гармонической возмущающей силы и

сопротивлении, пропорциональном

скорости.

начальная фаза возмущ.Q – возмущающая сила.

; . Дифференциальное уравнение.

Общее решение , где-решение левой части.-частное решение.

;где В и β постоян.интегрир.(берем производ.от )_;

Подставим в диф.уравнение. делаем замену:

чтоб равенство выполнялось равенство, коэфиц.при sin и cos влевой и правой частях должны поразень равны друг другу:.Возводим почленно в квадрат и складывае, затем деля получаем

. как у сбствен.колебвний.. ГдеA и постоянные интегрирования.собств.колебаниями можнопренебречь когда они в 100 раз меньше.=>время установления:.точка будет совершать только Вынужденное колебание. при наличии сопротив.Вынужденные колебания сдвинуты по фазе относит.возмущ.силе на велечину β. ПериодЧастные случаи: введем обозначения

. z-отношение частот. h-сопротив. b-cопротив.среды, -статическое отклонение точки под действием силыQ.

;-коэффициент динамичности, во сколь раз амплитуда В больше

1. Если ω<<k,.z очень мало B. 2) Если ω>>k, z велико B=/₌ может наблюдаться вибрация.

3)Если z=1 B= β=π\2- резонанс.

Св-ва: амплитуда и сдвиг фаз от начальных условии не зависит, колебания

при наличии сопротивления не затухают, частота и период колебаний равна частоте и периоду

возмущающей силы, даже при малой силе можно получить интенсивные колебания ω=k, даже при большой силе могут быть малые колебания ω>k.