2.3. Вычисление тройных интегралОв в цилиндрической системе координат

Рис. 2.5

Если область интегрирования имеет осевую симметрию, то в таком случае удобно использовать цилиндрическую систему координат. В этой системе координат положение точки M определяется полярными координатами  и  проекции точки M на плоскость xOy и аппликатой z самой точки M. Из рисунка видно, что цилиндрические координаты , , z связаны с декартовыми координатами x,y,z соотношениями

, (2.11)

причем 02, 0+, –<z<+.

Модуль якобиана, соответствующий переходу от декартовых координат к цилиндрическим, равен

.

Таким образом, формула перехода для тройных интегралов от декартовых координат к цилиндрическим имеет вид

. (2.12)

Вычисление тройных интегралов в цилиндрических координатах приводится к однократным повторным интегралам на основании тех же принципов, что и в случае декартовых координат. Обычно порядок интегрирования следующий: , , z. Тогда получаем

. (2.13)

Пример 2.3. Вычислить интеграл

Р

Рис. 2.6

ешение. Сделаем чертеж. Преобразуем уравнение поверхности

.

На плоскости xOy это есть окружность радиуса 1 и с центром в точке C(1;0). В пространстве это есть цилиндр вдоль оси Oz, ограниченный плоскостями: y=0, z=0, z=1.

Перейдем в цилиндрическую систему координат (ЦСК). Уравнение цилиндрической поверхности в этих координатах примет вид

где В результате, получаем

Пример 2.4. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: y=0, x²+z²=y, x²+z²=9.

Р

Рис. 2.7

ешение. x²+z²=9 – круговой цилиндр радиуса 3 с главной осью вдоль оси Oy; x²+z²=y – круговой параболоид с осью вращения вдоль оси Oy; y=0 – плоскость xOz. Цилиндр и параболоид пересекаются при y=9. Сделаем чертеж. Заданное тело проецируется на плоскость xOz в круг радиуса 3. Так как данная фигура имеет ось симметрии Oy, то перейдем в ЦСК следующим образом:

x = cos, z = sin, y = y.

Тогда

.

При этом

В результате получаем, что объем искомой фигуры равен

.

2.4. Вычисление тройных интегралОв в сферической системе координат

Е

Рис. 2.8

сли область интегрирования имеет центральную симметрию, то в таком случае удобно использовать сферическую систему координат. В этой системе координат положение точки M определяется расстоянием  от начала координат O, углом  между осью Ox и проекцией радиус-вектора точки M на плоскость xOy, углом  между осью Oz и радиус-вектором точки M. Из рисунка видно, что сферические координаты , ,  связаны с декартовыми координатами x,y,z соотношениями

(2.14)

причем 02, 0, 0<+.

Модуль якобиана, соответствующий переходу от декартовых координат к сферическим, равен

.

Таким образом, формула перехода для тройных интегралов от декартовых координат к сферическим имеет вид

. (2.15)

Вычисление тройных интегралов в сферических координатах приводится к однократным повторным интегралам на основании тех же принципов, что и в случае декартовых координат. Обычно порядок интегрирования следующий: , , . Тогда получаем

. (2.16)

Замечание. Отметим, что на практике иногда удобнее вместо угла  использовать угол ', определяемый как угол между радиусом-вектором точки M и ее проекцией на плоскость xOy, т.е. между углами  и ' существует взаимосвязь '=90⁰-. Поэтому в некоторых учебниках за основу берется угол ', а не . В этом случае нужно sin заменить на cos', а cos – на sin', т.е.

, (2.17)

причем .

П

Рис. 2.9

ример 2.5. Вычислить интеграл

Решение. Сделаем чертеж. Перейдем в сферическую систему координат (ССК). Преобразует уравнения поверхностей.

Тогда

.