Разностные схемы

Схема С. К. Годунова выгодно отличается от других схем простотой расчёта граничных условий. Например, если в точке x=0 задано условие u(0,t)=f(t), то скорость в граничном узле вычисляется как u0k = f (tk ) , и нам ещё необходимо определить давление в этом узле. Состояние в точке x=0 определяется волной движущейся в направлении убывания координаты x и зависит от значений u и p в ячейке, примыкающей к границе. Тогда в течение

времени tk≤t≤tk+τ условие сохранения инварианта S примет вид

p0k −cρu0k = p1/k 2 −cρu1/k 2 ,

откуда следует формула для вычисления давления в граничном узле. Другие типы граничных условий вычисляются аналогично.

Рисунок 11.25. Зависимость параметра a=сm/c от параметра Куранта для схемы С. К. Годунова первого порядка; - безразмерная групповая скорость волны cg/c=1 для дифференциального уравнения; - параметр a при kh=π/2.

________________________________________________________________________________

Пример 11.7 (схема С. К. Годунова первого порядка)

Применим рассмотренную схему для решения задачи (11.54) с нулевыми начальными условиями и граничными условиями (11.53). Приближённое решение, полученное с помощью схемы (11.66) показано на рисунке 11.26.

Этот результат показывает, что амплитуда приближённого решения значительно отличается от точного решения. Это объясняется тем, что схема С. К. Годунова при r=2/3 приводит к диссипации сеточного решения. К тому же для r=2/3, групповая скорость cm>c

61

(смотри рисунок 11.25) и при t=1 приближённое решение включает в себя отражённую от жёсткой стенки волну. В точном же решении отражение происходит при t>1.

Рисунок 11.26. Решение уравнений (11.54) с граничными условиями (11.53) в момент времени t=1 (l=1, c=1, ρ=1); - точное решение, - приближённое решение

(h=0.05, τ=0.0333, r=2/3).

________________________________________________________________________________

11.3.7. Разностные схемы для решения многомерных задач.

Построение разностных схем для волновых уравнений с двумя и тремя пространственными переменными очевидным образом более сложная задача, однако, используемые принципы идентичны применяемым в одномерном случае. Рассмотрим вначале двумерное уравнение колебаний в прямоугольной области

0≤x≤lx, 0≤y≤ly , 0≤t≤T

62

с некоторыми начальными и граничными условиями. Чтобы построить разностную схему для этого уравнения, поступим так же, как в одномерном случае. С этой целью построим разностную сетку с узлами (xn,ym,tk) и шаги этой сетки равны xn+1-xn=hx, ym+1-ym=hy и tk+1- tk=τ. После этого входящие в уравнение (11.67) частные производные заменяются соответствующими конечно-разностными соотношениями. В результате мы получим схему

n=1, …, N-1; m=1,…, M-1; k=1, 2, … ,

которая является непосредственным обобщением схемы (11.52). Исследование аппроксимации производится, так же как и в одномерном случае. В результате мы получим, что схема (11.68) аппроксимирует уравнение (11.67) с точностью до членов O(τ2+(hx)2+(hy)2). Процедура исследования устойчивости аналогична процедуре, которая использовалась в одномерном случае. Только в двумерном случае решение задаётся в виде

В частности, для квадратной сетки hx=hy=h это условие принимает вид

r = chτ ≤ 12

и это говорит о том, что в случае двумерной задачи мы имеем более сильное ограничение на шаг по времени по сравнению с одномерной схемой. Такая ситуация характерна для большинства разностных схем.

Перейдём к построению разностных схем для волновых задач, сформулированных в виде системы дифференциальных уравнений. В качестве примера возьмём двумерное уравнение акустики

(xn,yM+1,tk). Процедура вычисления решения в граничных точках аналогична рассмотренной нами процедуре для одномерных уравнений (пункт 11.3.3).

В пункте 11.3.5 мы рассмотрели одномерную схему Ф. Роу, которая основана на характеристической форме волнового уравнения. В многомерном случае такая форма имеет несколько более сложный вид. Рассмотрим систему волновых уравнений вида

где (x1,x2,x3)=(x,y,z) и Ap – некоторые постоянные матрицы размером J×J. Умножим эту систему на lj, левый собственный вектор матрицы A1, которому соответствуют собственные значения λj. В результате получим систему уравнений

которая описывает распространение волн в направлении оси x1. Для волн, распространяющихся в других направлениях, получаются аналогичные системы. Построим характеристическую форму двумерных уравнений акустики (11.71), учитывая, что A1=A и A2=B. Собственные значения матрицы A определяются как λ=±c,0. Собственный вектор соответствующий λ3=0 не даёт ничего полезного, а два других вектора l1,2=(ρc,0,±1). Тогда для волн, распространяющихся в направлении оси ±x, получим следующие характеристические уравнения:

∂∂t (p −cρ u)−c ∂∂x (p −cρ u) = −c2ρ ∂∂yv .

Аналогично, для волн, распространяющихся в направлении оси ±y, характеристические уравнения имеют вид

Для обобщения схемы (11.62) на случай двумерных уравнений требуется две сетки (рисунок 11.27). Для аппроксимации уравнений (11.73) введём сетку с узлами (xn,ym+1/2,tk), где

xn=n hx, n=0, …, N,

65

tk=kτ, k=0, 1, … ,

а для аппроксимации уравнений (11.74) - сетку с узлами (xn+1/2,ym,tk), где

xn+1/2=(n+1/2) hx, n=0, …, N-1,

tk=kτ, k=0, 1, … .

Такие сетки называются смещёнными. Они возникают, когда различные величины или группы величин вычисляются в различных узлах.

Рисунок 11.27. Пространственная сетка для аппроксимации уравнений (11.73) и (11.74); в узлах «•» определяются u и p; в узлах «×» определяются v и p.

Рассмотрим сначала построение разностной схемы для уравнений (11.73). Эти уравнения, при каждом значении y, представляют собой два уравнения переноса с отличной от нуля правой частью. Поэтому левая часть уравнений (11.73) аппроксимируется так же как в схеме (11.62) на сетке (11.75), а правая часть – на сетке (11.76). Тогда разностная схема примет следующий вид

66

n=1, …, N-1; m=1,…, M-1; k=1, 2, … .

Выражая из этих соотношений неизвестные величины в момент времени tk+1, мы получим расчётные формулы. Окончательно, скорость и давление вычисляются как

uk+1+ = 1 (Rk+1+ −Sk+1+ ), n,m 1/2 2cρ n,m 1/2 n,m 1/2

pk+1+ = 1 (Rk+1+ + Sk+1+ ). n,m 1/2 2 n,m 1/2 n,m 1/2

Разностная схема для уравнений (11.74) строится аналогичным образом:

n=1, …, N-1; m=1,…, M-1; k=1, 2, … ,

и

67

vnk++1/1 2,m = 2c1ρ(Qnk++1/1 2,m −Tnk++1/1 2,m ),

pnk,+m1+1/2 = 21 (Qnk,+m1+1/ 2 +Tnk,m+1+1/2 ).

Из построения этой схемы следует, что она аппроксимирует двумерные уравнения акустики со вторым порядком по h и τ. Исследование устойчивости этой схемы приводит к очень громоздкому уравнению четвёртого порядка для собственных значений оператора перехода. Анализ этого уравнения даёт необходимое условие устойчивости рассматриваемой схемы:

а в случае квадратной сетки hx=hy=h -

chτ ≤ 21 .

Для построения разностных схем для многомерных задач можно использовать метод расщепления. Рассмотрим этот подход на примере схемы С. К. Годунова. Следуя процедуре представленной в пункте 11.2.3, вычисление решения в момент времени tk+1 по известному решению в момент времени tk производится в два этапа. На первом этапе вычислим промежуточные значения, решая одномерные задачи по x с использованием схемы (11.66):

n=1, …, N-2; m=0,…, M-1 .

Расчёт значений в ячейках, примыкающих к границам, которые имеют индексы (1/2,m+1/2) и (N-1/2,m+1/2), производятся с учётом граничных условий. На втором этапе решаются одномерные задачи по y, используя аналогичную схему, основанную на уже вычисленном промежуточном решении:

n=0, …, N-1; m=1,…, M-2,

68

чтобы построить схему расщепления второго порядка аппроксимации, рассмотрим эту процедуру в более общем виде. Пусть

представляет собой некоторую схему для решения системы

В этих обозначениях схема расщепления (11.77), (11.78) выглядит следующим образом:

sk+1/2 = D (sk − , sk , sk + , τ,h ),

n,m x n 1,m n,m n 1,m x

n=1, …, N-1; m=0,…, M,

n=0, …, N; m=1,…, M-1,

Построение более точной схемы расщепления требует, в общем случае, большего объёма вычислений. Наиболее эффективной представляется следующая процедура:

n=0, …, N; m=1,…, M-1,

skn+,m1 = Dx (q(2)n−1,m , q(2)n,m , q(2)n+1,m , 21 τ,hx ),

n=1, …, N-1; m=0,…, M.

При вычислении по этой схеме число операций возрастает приблизительно в полтора раза по сравнению со схемой (11.81). Данная процедура может также применяться и для решения нелинейных задач, когда шаг по времени зависит от k. В случае линейных задач, когда шаг

70