Элементы теории Демстера-Шейфера

Основные определения теории Демпстера-Шейфера Основные отличия теории вероятностей и теории Демпстера-ШейфераПравило комбинирования Демпстера

Правила комбинирования свидетельств Правило дисконтирования Принятие решений при неточных исходных данных и сравнение интервалов

Информация в виде различных наборов фокальных элементов с их базовыми вероятностями может быть получена из различных источников. Эти источники предоставляют различные данные об одном и том же объекте или явлении, но являются независимыми. Для комбинирования данных, полученных из независимых источников, используется ряд правил. При этом каждое правило имеет свои преимущества и недостатки.

Предположим, что имеются два источника данных.

1Первый источник предоставляет N1 наблюдений (свидетельств)A(1)i ; и c(1)i число наблюдаемых множеств

A(1)i , i = 1; : : : n1.

2Второй источник предоставляет N2 наблюдений (свидетельств) A(2)i ;, и c(2)i число наблюдаемых множеств A(2)i ,

i = 1; : : : n2.

Основные определения теории Демпстера-Шейфера Основные отличия теории вероятностей и теории Демпстера-ШейфераПравило комбинирования Демпстера

Правила комбинирования свидетельств Правило дисконтирования Принятие решений при неточных исходных данных и сравнение интервалов

Правило комбинирования Демпстера основано на предположении, что источники данных абсолютно независимы.

Обозначим базовые вероятности фокальных элементов, полученных из первого и второго источников, следующим образом:

Тогда комбинированная базовая вероятность (m12) вычисляется по формуле

и m12( ) = 0.

Основные определения теории Демпстера-Шейфера Основные отличия теории вероятностей и теории Демпстера-ШейфераПравило комбинирования Демпстера

Правила комбинирования свидетельств Правило дисконтирования Принятие решений при неточных исходных данных и сравнение интервалов

Замечание

Если два фокальных элемента из разных источников не пересекаются, т.е. A(1)i \ A(2)2 = , то соответствующие источники противоречат друг другу или конфликтуют.

Конфликтность свидетельств учитывается коэффициентом K, который представляет собой общую базовую вероятность, связанную с конфликтными свидетельствами. Если все свидетельства противоречивы, т.е. K = 1, то полностью противоречивые источники не могут быть объединены при помощи правила комбинирования Демпстера.

Основные определения теории Демпстера-Шейфера Основные отличия теории вероятностей и теории Демпстера-ШейфераПравило комбинирования Демпстера

Правила комбинирования свидетельств Правило дисконтирования Принятие решений при неточных исходных данных и сравнение интервалов

Пример 4

Четыре предприятия = f1; 2; 3; 4g являются кандидатами для покупки акций

5 экспертов из первой группы считают, что необходимо покупать акции первого предприятия;

3 эксперта из первой группы считают, что необходимо покупать акции второго или третьего предприятия;

8 экспертов из второй независимой группы считают, что необходимо покупать акции первого или второго предприятия;

7 экспертов из второй группы считают, что необходимо покупать акции третьего предприятия, и один эксперт из второй группы считает, что необходимо покупать акции четвертого предприятия.

Основные определения теории Демпстера-Шейфера Основные отличия теории вероятностей и теории Демпстера-ШейфераПравило комбинирования Демпстера

Правила комбинирования свидетельств Правило дисконтирования Принятие решений при неточных исходных данных и сравнение интервалов

Пример 4

1Первый источник: N1 = 8, c(1)1 = 5, A(1)1 = f1g, m1(A(1)1 ) = 5=8,

c(1)2 = 3, A(1)2 = f2; 3g, m1(A(1)2 ) = 3=8.

2 Второй источник: N2 = 16, c(2)1 = 8, A(2)1 = f1; 2g,

m2(A(2)1 ) = 8=16, c(2)2 = 3, A(2)2 = f3g, m2(A(2)2 ) = 7=16, c(2)3 = 1, A(2)3 = f4g, m2(A(2)3 ) = 1=16.

Данные, полученные из двух источников, и все возможные пересечения A(1)i \ A(2)j фокальных элементов из двух источников.

Основные определения теории Демпстера-Шейфера Основные отличия теории вероятностей и теории Демпстера-ШейфераПравило комбинирования Демпстера

Правила комбинирования свидетельств Правило дисконтирования Принятие решений при неточных исходных данных и сравнение интервалов

Пример 4 I

Коэффициент конфликтности K вычисляется, исходя из того что

A(1)1 \ A(2)2 = , A(1)1 \ A(2)3 = , A(1)2 \ A(2)3 = , т.е.

K = m1(A(1)1 )m2(A(2)2 ) + m1(A(1)1 )m2(A(2)3 ) + m1(A(1)2 )m2(A(2)3 ) =

= 58 167 + 58 161 + 18 161 = 0:336:

Отсюда

1 K = 1 0:336 = 0:664:

Основные определения теории Демпстера-Шейфера Основные отличия теории вероятностей и теории Демпстера-ШейфераПравило комбинирования Демпстера

Правила комбинирования свидетельств Правило дисконтирования Принятие решений при неточных исходных данных и сравнение интервалов

Пример 4 II

Из табл. также видно, что непустые пересечения имеют вид f1g, f2g, f3g. Тогда

m12(f1g) = m1(A(1)1 )m2(A(2)1 ) = 0:4706; 0:664

m12(f2g) = m1(A(1)2 )m2(A(2)1 ) = 0:2824; 0:664

m12(f3g) = m1(A(1)2 )m2(A(2)2 ) = 0:2470: 0:664

Из полученных базовых вероятностей можно вычислить функции доверия и правдоподобия:

Bel(f1g) = m12(f1g) = Pl(f1g) = 0:4706;

Bel(f2g) = m12(f2g) = Pl(f2g) = 0:2824;

Bel(f3g) = m12(f3g) = Pl(f3g) = 0:2470 :

Основные определения теории Демпстера-Шейфера Основные отличия теории вероятностей и теории Демпстера-ШейфераПравило комбинирования Демпстера

Правила комбинирования свидетельств Правило дисконтирования Принятие решений при неточных исходных данных и сравнение интервалов

Контрпример Заде

Пациент осматривается двумя врачами-терапевтами по поводу неврологических симптомов.

Первый врач уверен, что у пациента либо менингит с вероятностью 0.99, либо опухоль мозга с вероятностью 0.01.

Второй врач уверен, что у пациента расстройство нервной системы после сотрясения с вероятностью 0.99, но допускает опухоль мозга с вероятностью 0.01.

Комбинируя полученные свидетельства при помощи правила Демпстера, получаем равенство

Bel(опухоль) = m(опухоль) = 1 :

Следовательно, результат комбинирования поддерживает полностью диагноз, который оба врача рассматривают как очень маловероятный.

Основные определения теории Демпстера-Шейфера Основные отличия теории вероятностей и теории Демпстера-ШейфераПравило комбинирования Демпстера

Правила комбинирования свидетельств Правило дисконтирования Принятие решений при неточных исходных данных и сравнение интервалов

Замечание

Необходимо отметить, что причиной такого результата является предположение о том, что источники абсолютно надежны и предоставляют верные сведения. Поэтому при наличии противоречивых оценок из различных источников правило Демпстера ¾ищет¿ то общее, что имеется в обоих источниках, и ¾отбрасывает¿ все, что различается в них.

Правило комбинирования Демпстера предполагает абсолютную надежность источников информации.

Основные определения теории Демпстера-Шейфера Основные отличия теории вероятностей и теории Демпстера-ШейфераПравило комбинирования Демпстера

Правила комбинирования свидетельств Правило дисконтирования Принятие решений при неточных исходных данных и сравнение интервалов

Для того чтобы учесть надежность источников, Шейфер предложил использование дисконтирования базовых вероятностей некоторым коэффициентом 2 [0; 1], характеризующим надежность источника, т.е. умножения базовой вероятности на .

В результате для каждого фокального элемента A получаем новые базовые вероятности m (A) = (1 )m(A).

Если коэффициент дисконтирования равен 1, то источник является абсолютно ненадежным и m (A) = 0.

Если = 0, то источник является абсолютно надежным и m (A) = m(A).