Рядом распределения ДСВ X называется таблица, где перечислены возможные (различные) значения этой СВ и соответствующие им вероятности.
xi |
x1 |
x2 |
pi |
p1 |
p2 |
…
…
xn 
pn
xi x
n
pi 1 i 1
Случайные величины
Графическим изображением ряда распределения ДСВ является многоугольник распределения, который представляет собой ломаную, соединяющую точки
(Xi;Pi)
Pi
X1 |
X2 |
X3 |
Xi |
Xn |
Случайные величины
Графически, функция распределения F(x)ДСВ X есть разрывная ступенчатая функция.
|
0,x x ; |
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
p , x x x ; |
|
|
|
|||
|
1 |
1 |
, x |
2 |
|
|
|
|
p |
p |
x x ; |
|
|
||
F(x) |
1 |
2 |
2 |
|
3 |
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
p p |
... p |
, |
x |
x x ; |
||
|
1 |
2 |
|
n 1 |
n 1 |
n |
|
1, x xn. |
|
|
|
|
|||
Случайные величины
Pn- 1
P2 
P1
|
|
|
|
|
|
|
X1 |
X2 |
|
|
Xi |
X |
n |
Графическое изображение F(x) ДСВ X
Случайные величины
xp12in12ni
Пример. Задана ДСВ: |
xi |
|
pi |
Решение: |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
0,008 
0,096 
0,384 
0,512 
n
i 1pi 1 x 0
0 x 1
1 x 2
2 x 3
x 3
F(x) P(X x1) P(0) 0
F(x) P(X x2) P(X x1) P1 0,008
F(x) P(X x3) P(X x1) P(X x2) 0,104;
F(x) P(X x4) P(X x1) P(X x2) (X x3) 0,488;
F(x) P(X x4) P(X x1) P(X x2) (X x3) P(X x4) 1;
0,x 0,
0,008,0 x 1,
F(x) 0,104,1 x 2,
0,488,2 x 3,1,x 3.
Случайные величины
2.3. Непрерывные случайные величины (НСВ).
Случайная величина X называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна на всей оси Ox и имеет производную всюду, кроме, может быть, отдельных точек.
НСВ можно задать не только с помощью функции распределения. Она может быть задана с помощью другой функции, которая называется
дифференциальной функцией распределения или
плотностью распределения вероятностей.
Случайные величины
Плотностью вероятности СВ называется производная ее функции распределения F(X) :
f (x) F (x)
т.е. f (x) lim |
P(x X x x) |
lim |
x 0 |
F(x x) F(x) |
F (x) |
x 0 |
x |
|
x |
|
Случайные величины
График плотности вероятности |
f (x) |
называется кривой |
|
распределения |
|
0
Случайные величины
Основные свойства плотности вероятности:
Функция распределения F(x) выражается через
функцию плотности формулой: F(x) f (x)dx
Интеграл в бесконечных пределах от плотности
вероятности равен 1: f (x)dx 1
Плотность вероятности неотрицательна, т.е. f (x) 0
Вероятность попадания СВ в интервал a;b равна:
b
P(a x b) f (x)dx.
a
Вероятность попадания СВbв интервал a;b (или (a;b) )
равна: P(a x b) P(a x b) f (x)dx F(b) F(a) a
Случайные величины
Пример. |
|
|
|
0,x 2; |
|
|
|
|
Задана НСВ: |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0,5x 1,2 x 4; |
|
|
|
|
|
|
|
F(x) |
|
|
||
|
|
|
|
1,x 4. |
|
|
|
|
Найти: |
|
|
|
|
|
и |
, |
, |
, Построить графики |
||||||||
|
f (x) |
|
|
|
|
F(x) |
f (x) |
P(x 2,5) |
P(2,4 x 3,2), |
P(1 x 3,) |
P(3 x 5. ) |
|
|
||||
Решение: |
|
0,5,x (2;4]; |
|
|
|
|||
|
| |
|
|
|
|
|||
1) f (x) F |
(x) |
0,x (2;4]. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
2)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
2 |
4 |
|||||
Случайные величины