Белокопытов Стат. методы

С учетом из результатов крутого восхождения (табл. 5.2) максимальная величина р должна соответствовать значениям факторов седьмого

опыта.

5.2. Симплексный метод поиска экстремума целевой функции

Симплексом называется правильный многогранник, имеющий n +1 вершину, где n – число факторов, влияющих на процесс. Так, если факторов два, то симплексом является правильный треугольник.

Если все расстояния между вершинами многогранника равны, то такой симплекс называется регулярным. Так, регулярными симплексами являются правильный треугольник (двумерный симплекс) или тетраэдр (трехмерный симплекс).

60

Матрица опытов исходного симплекса в кодированных переменных приведена в табл. 5.3. Символом «0» обозначены координаты центра плана, то есть основной (базовый) уровень.

Таблица 5.3

Матрица исходного симплекса

Величины, входящие в эту таблицу, рассчитываются по следующим формулам:

где i – номер фактора в матрице планирования. Опыты, представленные в табл. 5.3, соответствуют вершинам симплекса, сторона которого равна единице, а центр совпадает с началом координат (в кодированных переменных).

Результаты расчетов, выполненных на основании табл. 5.3 и формул

(5.6) и (5.5), приведены в табл. 5.4.

Матрица исходной серии опытов и физических переменных рассчитывается с помощью формулы

Далее все операции производятся только с физическими переменными.

61

Таблица 5.4

Условия начальной серии опытов

Условия каждого нового опыта рассчитываются по формуле

где n – число факторов в матрице планирования; j – номер опыта; i – номер фактора; Xi* – значение i-го фактора в самом «неудачном» опыте преды-

дущего симплекса.

К преимуществам симплексного планирования можно отнести тот факт, что на любом этапе исследования в программу можно включить фактор, который ранее не принимался во внимание, но оставался на постоянном уровне. При этом значения всех ранее рассматриваемых факторов рассчитываются по формуле

где i = 1, 2, …, n, являются средними арифметическими значениями соответствующих координат предыдущего симплекса.

Значение вновь вводимого фактора определяется по формуле

где X 0(n 1) – основной уровень этого фактора; X (n 1) – выбранный шаг варьирования для данного фактора; Rn 1, an 1 – величины, рассчитанные по формулам (5.5) и (5.6).

62

П р и м е р 5.2. Пусть требуется с помощью симплексного метода оптимизировать прочность стержневой смеси у (МПа), которая зависит от количества связующего X1(%), отвердителя X 2 (%) и катализатора X3 (%).

Выберем основные уровни и шаги варьирования факторов и сведем в табл. 5.5.

Таблица 5.5

Значения уровней факторов и шагов варьирования

Пользуясь формулой (5.7) и табл. 5.4, рассчитаем условия проведения первых четырех опытов, и полученные результаты сведем в табл. 5.6. Так, для третьего опыта

X 31 4,0 1,0 0 4,

X 32 1 0,5 0,578 0,7,

X 33 0,5 0,2 0,204 0,54.

Здесь первый индекс обозначает номер опыта, а второй – номер фак-

тора.

Таблица 5.6

Условия и результаты планирования по симплексному методу

63

Сравнивая между собой результаты первых четырех опытов, видим, что самая низкая прочность стержневой смеси получилась во втором опыте. Этот опыт исключаем из дальнейшего рассмотрения.

Заменим его опытом номер 5, условия проведения которого рассчитаем по формуле (5.8):

X 51 2 4,5 4,0 4,0 / 3 3,5 4,8;

X 52 2 1,14 0,7 1,0 / 3 1,14 0,75;

X 53 2 0,54 0,54 0,38 / 3 0,54 0,43.

В новом симплексе, образованном опытами 1, 3, 4 и 5, самым «плохим» является опыт 3. Его заменим опытом 6, условия которого найдем, пользуясь той же формулой (5.8):

X 61 2 4,5 4,0 4,8 / 3 4,0 4,9;

X 62 2 1,14 1,0 0,75 / 3 4,0 1,2;

X 63 2 0,54 0,38 0,43 / 3 0,54 0,36.

Далее процедура оптимизации может быть продолжена аналогично.

Задание

1.Поиск оптимальной области методом крутого восхождения. По условию задачи (пример 4.1) и уравнению регрессии, полученному при выполнении варианта задания (п.4.3), определите расчетный и скорректированный шаги движения к экстремуму целевой функции, а также выполните три «мысленных» опыта при движении в направлении области оптимума.

2.Симплексный метод поиска экстремума целевой функции. Рассчитайте условия проведения пяти исходных опытов и двух последующих при дви-

жении в направлении области оптимума. Значения функции отклика yi представлены в табл. 5.7. Для выполнения задания к значениям факторов на основномуровне(табл. 5.8) прибавьтепоследнююцифруномеразачетнойкнижки.

Таблица 5.7

Значения функции отклика

64

Вопросы для самоконтроля

1.По какой траектории происходит движение к области оптимума при традиционном фиксировании факторов?

2.Перпендикулярно каким линиям происходит перемещение в область оптимума при движении по градиенту?

3.Произведению каких величин пропорциональна величина шага при движении по градиенту?

4.По значению какого параметра можно судить об эффективности движения по градиенту?

5.Что подразумевает проведение «мысленных опытов»?

6.Что называется симплексом?

7.Какой симплекс называется регулярным?

8.Результат какого опыта (с точки зрения критерия оптимальности) выводят из состава симплекса?

9.По какой линии движется центр симплексов, перемещающихся к экстремуму?

65

6. КОНТРОЛЬНЫЕ ЛИСТКИ КАК ФОРМЫ РЕГИСТРАЦИИ ДАННЫХ

Форма для сбора данных используется при систематическом сборе данных для ясного представления фактов. Она представляет собой шаблон для записи собираемых данных, помогает представить эти данные в удобной форме и облегчить проведение анализа.

6.1. Контрольный листок для регистрации распределения измеряемого параметра

в ходе производственного процесса

Предположим, что мы хотим выявить изменения в размерах некоторой детали, подвергающейся механической обработке, причем размер, указанный в чертеже, – 8,300 0,008. Для получения распределения значений этого показателя в ходе процесса обычно используются гистограммы.

Рис. 6.1. Контрольный листок для регистрации распределения измеряемого параметра в ходе производственного процесса (* – граница поля допуска по чертежу)

66

На основе гистограммы вычисляются среднее значение и дисперсия, исследуется также и форма кривой распределения. Чтобы построить гистограмму, надо затратить немало труда на сбор большого числа данных и на представление частотного распределения в графической форме.

Проще классифицировать данные в момент сбора. На рис. 6.1 показан бланк, который можно заранее заготовить для этой цели.

Каждый раз, когда производится замер, в соответствующую клеточку ставится крест, таким образом, к концу измерений гистограмма готова. Если нужно произвести расслоение с использованием одного контрольного листка, лучше для пометок брать карандаши разного цвета, чтобы разница проявлялась наглядно.

6.2. Контрольный листок для регистрации видов дефектов

Контрольный листок может использоваться в процессе приемочного контроля одной листоштампованной детали (рис. 6.2). Всякий раз, когда контролер обнаруживает дефект, он делает в нем пометку. В конце рабочего дня он может быстро подсчитать число и разновидности встретившихся дефектов.

Наименование изделия:__________________ Дата:_______________

изделий: 1525 Примечания: по всем проконтролированным Номер заказа:________

изделиям_______________________________

Рис. 6.2. Контрольный листок видов дефектов

67

Просто знание числа дефектов не позволяет принять решение о корректирующих мерах, но если используется листок, подобный этому, он может дать важную информацию для совершенствования процесса, поскольку показывает, какие виды дефектов встречаются часто, а какие – нет.

Используя подобный контрольный листок, нельзя потом произвести расслоение данных, разбив их, например, на утреннюю и вечернюю смены, как это было возможно в случае с листком, представленным на рис. 6.1. Если расслоение необходимо, то при разработке бланка это нужно предусмотреть заранее.

Надо также продумать, как регистрировать данные в том случае, если в изделии содержатся два дефекта и нужно дать инструкции людям, которые маркируют изделия. В случае, представленном на рис. 6.2, забракованными оказались 42 изделия из 1525, но общее число обнаруженных дефектов – 62, поскольку в некоторых изделиях содержалось по два или более дефектов.

6.3. Контрольный листок причин дефектов

Листок локализации дефектов, описанный в предыдущем примере, используется для привлечения внимания к местам возникновения дефектов. Кроме того, контрольные листки применяются иногда с целью определения причин дефектов. Вообще говоря, большинство исследований, нацеленных на поиск причин дефектов, предполагают сравнение данных о причинах с соответствующими данными о последствиях дефектов, сопоставляя их в строго установленном порядке для последующего анализа путем расслоения или с использованием диаграмм рассеивания.

Но если случай достаточно простой, то можно фиксировать необходимые данные прямо в контрольном листке. Например, на рис. 6.3 представлен контрольный листок для регистрации дефектов в изделиях с учетом прессов, бригад, дней изготовления и типов дефектов. С первого взгляда видно, что бригада В допускает много дефектов. Все бригады допустили много дефектов в среду. Исследование причин дефектов показало, что бригада В недостаточно часто меняла инструмент, а причиной дефектов, допущенных в среду, послужило плохое качество исходных слитков.

Помимо описанных примеров существует большое число других контрольных листков и форм, используемых на производстве. Они разрабатываются прежде всего с учетом цели сбора данных, а потом создаются модификации, подходящие для поставленных целей и облегчающие сбор и регистрацию данных.

68

Рис.6.3. Контрольный листок причин дефектов: – поверхностные дефекты; х – царапины; – пресс-утяжина; + – отклонения в размерах; – другие

69