Белокопытов Стат. методы

х nхi 91910,6 91,96 .

Находят сумму квадратов S по зависимости (1.3):

S 84590,36 91910,62 33,944 .

Рассчитывают среднее квадратическое отклонение е (1.10):

4. Вычисляют t0 по формуле (2.2):

t0 91,96 85,5 10,52 . 1,942 / 10

5. Сравнивают со значениями из таблицы t-распределения. Эта проверка является односторонней, поскольку проверяется: "Можно ли утверждать, что выход годного увеличился?". По табл. 2 (см. прил.) определяют

tФ, = t9;0,02 = 2,821. Так как t0 = 10,52 tФ, = 2,821, то можно утверждать,

что выход годного существенно увеличился.

2.2. Проверка ошибок при оценке дисперсии

Для того чтобы проверить возможные ошибки при оценке дисперсии исходной генеральной совокупности, имея две группы данных (выборка которых была сделана независимо друг от друга) и предполагая, что они получены из одной генеральной совокупности, можно основываться на таблице распределения Фишера (F-распределение). При этом, сравнивая значение F0, вычисленное из данных, с сопоставимыми значениями из таблиц F-распределения, принимают решение отклонить или принять нулевую гипотезу.

Таблица F-распределения составлена так, что большая несмещенная оценка дисперсии принимается за числитель. Следует также иметь в виду то, что таблица предназначена для односторонней проверки и если пона-

20

добится проводить двухстороннюю проверку соотношения дисперсий при уровне значимости , то используют значения таблицы F-распределения для (табл. 2.1).

Порядок проверки гипотезы следующий: 1. Строят нулевую гипотезу:

Н0: е12 = е22.

2. Строят альтернативную гипотезу:

Н1: е12 е22 (двухсторонняя проверка),

е12 е22 или е12 е22 (односторонняя проверка).

3. Определяют несмещенные дисперсии е12, е22 из каждой выборки:

4.Устанавливают соотношение несмещенных оценок дисперсии F0.

Вданном случае большее из двух ( е12, е22) принимают за числитель. Еслие12 е22, то определяют величину

5.Если за уровень значимости принять , то при двухсторонней проверке из табл. 3 (см. прил.) определяют значение Fф1,ф2, /2.

6.Выносят решение. Если F0 Fф1,ф2, /2, то принимают Н0 и считают, что в оценке дисперсии расхождений нет.

Если же F0 Fф1,ф2, /2, то принимают Н1 и считают, что в оценке дисперсии имеется расхождение.

П р и м е р 2.3. Измерив по шкале С Роквелла значение твердости после закалки, произведенной на высокочастотных закалочных устройствах А и В, получили следующие данные для каждого из них:

Можно ли утверждать, что в оценке рассеивания значений имеется расхождение?

21

Р е ш е н и е

1.Н0: А2 = В2.

2.Н1: А2 В2.

3.По формуле (1.3) определяют сумму квадратов отклонений:

4. Рассчитывают несмещенные оценки дисперсии:

А2 = SА/ФА = 1,11/4 = 0,2775,

В2 = SВ/ФВ = 3,25/5 = 0,650.

5. Определяют отношение дисперсий:

F0 = B2/ A2 = 0,650/0,2775 = 2,34.

6. Сравнивают предельные значения из таблицы F-распределения (см. прил., табл. 3) с F0:

F5;4;0,025 = 9,36 F0.

7. Выносят решение. Принимается нулевая гипотеза Н0, поскольку расхождения в оценках дисперсии от применения этих двух устройств не существенны.

2.3. Проверка различия средних арифметических

Обычно при сравнении существующего технологического процесса с усовершенствованным технологическим процессом, при сравнении производственной методики по способу А и В, при сопоставлении результатов работы группы А и группы В и т. д., среднее арифметическое генеральной совокупности часто бывает неизвестно. В такого рода ситуациях рекомендуется выполнять проверку, придерживаясь определенного порядка.

22

Прежде всего определяют отношение дисперсий, полученных из несмещенных оценок е12, е22 для двух групп выборок, и проводят проверку по F-распределению, в результате чего убеждаются, что в дисперсии не обнаруживается существенного различия. В том случае, когда между е12 ие22 имеется существенное различие, то определить общую дисперсию e2 становится невозможным.

Если нет существенного различия между е12 и е22, то обозначая средние арифметические измеренных значений двух групп выборок n1, n2 черезх1, х2 , а сумму квадратов через S1, S2, можно построить предположе-

ние, что дисперсия генеральной совокупности 2 оценивается общей для двух групп несмещенной оценкой e2:

При проверке различия средних арифметических в двух группах выборок целесообразно применить формулу

и выполнить проверку по t-распределению. При этом число степеней сво-

боды Ф = n1+ n2 – 2.

Объединив вместе все процедуры проверки при данной ситуации, получим алгоритм решения задачи:

1.Н0: 12 = 22, а также 1 = 2.

2.Вычислив дисперсии е12, е22, осуществляют проверку по

F-критерию. Если нет существенного различия, переходят к следующему процессу.

3.Н1: 1 2.

4.Определив е2, вычисляют t0.

5.Сравнив t0 со значениями tф, из таблицы t-распределения при Ф = n1 + n2 – 2, делают выводы.

П р и м е р 2.4. Проверьте, существенно ли различие в средних зна-

чениях твердости после закалки, произведенной на устройствах А и В, пользуясь данными примера 2.3.

Р е ш е н и е

1. Н0: А2 = В2, А = В.

23

2.В результате проверки по F-критерию, как уже было описано выше, существенного различия не было установлено.

3.Н1: А В.

4.Определяют несмещенную оценку дисперсии по зависимости

(2.6):

е2 1,11 3,25 0,48, 4 5

5. Вычисляют по выражению (2.7) t0:

хA 2705 ,6 54,12,

хB 3226,6 53,77.

6.Выносится решение:

t9;0,01 = 3,25 t0.

Существенного различия между средними значениями не установлено.

2.4. Статистическое оценивание количественных значений. Интервальная оценка

Ситуация, когда дисперсия генеральной совокупности 2 уже из-

вестна

Если определить среднее арифметическое в выборке объемом n, взятой методом случайного отбора образцов из нормальной генеральной совокупности со средним арифметическим и дисперсией 2, и нормировать его, то выражение (2.1) подчинится нормальному распределению со средним значением = 0 и дисперсией 2 = 1.

24

Приняв значение U, соответствующее уровню значимости , за U , получают, что вероятность неравенства

будет (1 – ). Видоизменив эту формулу, вычисляют нижнюю границу

арифметического . Это и есть доверительный интервал.

П р и м е р 2.5. Известно, что среднее квадратическое отклонение массы изделий, изготовленных неким технологическим процессом, составляет = 5,5 г. Далее в результате измерения массы этих изделий в выборке объемом n = 4, извлеченной случайным отбором, было получено x 65,4 г.

Предлагается сделать интервальную оценку среднего арифметического для массы в генеральной совокупности при доверительной вероятности 99 %.

Р е ш е н и е Поскольку 1 – = 0,99, то = 0,01. По табл.1 (см. прил.) находим

U0,01 = 2,576.

Нижняя граница x U / n 65,4 2,576 5,5 4 58,3г.

Верхняя граница x U / n 65,4 2,576 5,5 4 72,5 г.

Таким образом, среднее арифметическое генеральной совокупности находится в интервале 58,3 72,5 г.

Ситуация, когда дисперсия генеральной совокупности 2 неиз-

вестна

В этом случае при использовании выражения (1.5) для определения е, найденная по (2.2) статистическая величина t0 принимает распределение Стьюдента при числе степеней свободы Ф = n – 1. Доверительный интервал, обусловленный вероятностью (1 – ), может быть представлен в виде

причем доверительные границы будут равны

П р и м е р 2.6. Длятого чтобы узнатьвеличину поводки, полученную при термообработке штампованных деталей, была взята выборка n = 10 и по-

лучены x = 0,085 мм, е = 0,042 мм.

25

Необходимо определить границы 95 % доверительного интервала для величины поводки этих деталей.

Р е ш е н и е

t9;0,05 2,26.

Доверительные границы 0,085 2,26 0,04210 0,085 0,031.

Доверительный интервал 0,054 – 0,116 мм.

2.5. Статистическая проверка доли дефектных изделий в генеральной совокупности

Если подсчитать число дефектных изделий в произвольно отобранной выборке объемом n, взятой методом случайного отбора, например, из генеральной совокупности со средней долей дефектных изделий в технологическом процессе равной р , то поскольку известно, что это число подчиняется биномиальному распределению, определяют вероятность превышения числом дефектных изделий значения r.

Вместе с тем при условии р 0,5 и nр 5 биномиальное распределение может приблизиться к нормальному распределению. Другими словами, в биномиальном распределении:

П р и м е р 2.7. Прежде средняя доля дефектных изделий в технологическом процессе составляла 11,5 %. После внесения в технологический процесс усовершенствований была взята выборка объемом 70 шт., в которой число дефектных изделий оказалось равным 4. Можно ли утверждать, что различие имеет место?

Р е ш е н и е.

1.Н0: р = р 1.

2.Н1: р р 1.

3.Убеждаются в возможности приближения к нормальному распре-

делению: n.p = 70 0,115 = 8,05 5, p = 0,115 0,5, следовательно, можно считать приближение к нормальному распределению возможным.

26

4. Вычисляют по выражению (2.11) статистические оценки:

5. Принимают решение:

U0,05 1,96 U0 1,52,

поэтому нельзя считать, что усовершенствования были эффективными.

С практической точки зрения наиболее значимым в статистическом оценивании и проверке количественных оценок является возможность обоснования эффективности произведенных усовершенствований технологических процессов по величине изменения тех или иных параметров качества продукции.

Задание

Последняя цифра номера зачетной книжки студента определяет конкретные числовые значения различных параметров, приведенных в пояснении к каждому заданию.

1.Выход годной продукции в технологическом процессе составлял: среднее арифметическое = 86,5 %, среднее квадратическое отклонение

= 4,5 %. После внесения в технологический процесс усовершенствований собранные в течение пяти дней (n = 5) данные составили 90,3 %. Можно ли утверждать, что выход годного увеличился?

К числу дней n = 5 необходимо прибавить последнюю цифру из номера зачетной книжки.

2.Десять разных термопар откалиброваны по стандартной, которая показывала 1000 оС. В таблице приведены показания термопар:

Можно ли считать, что эти отклонения обусловлены нормальными вариациями случайной величины (температуры, оС) или на их характеристики повлиял некоторый фактор (при изготовлении или транспортировке)?

Из десяти термопар исключаются показания той термопары, порядковый номер которой совпадает с последней цифрой номера зачетной книжки.

27

3. На штамповочном автомате изготавливают поковки. Мастер участка случайным образом отобрал десять поковок. При взвешивании получили следующие результаты:

Можно ли с вероятностью 95 % считать, что масса заготовки соответствует заданию – 550 г?

Из десяти значений нужно исключить массу поковки, порядковый номер которой совпадает с последней цифрой номера зачетной книжки.

4. Измерив твердость образцов, обработанных по режимам А и В, получили следующие результаты:

Можно ли утверждать, что в дисперсии имеется расхождение?

К значениям твердости следует прибавить последнюю цифру номера зачетной книжки.

5. На штамповочных автоматах А и В изготавливают одинаковые поковки. Мастер участка случайным образом отобрал по десять поковок с каждого автомата. При взвешивании получили следующие результаты:

Можно ли с вероятностью 95 % утверждать, что точность поковок на автомате В выше, чем на автомате А?

Из таблицы исключите столбик, номер которого совпадает с последней цифрой номера зачетной книжки.

6.По данным предыдущего задания проверьте, можно ли с вероятностью 95 % утверждать, что автоматы настроены одинаково?

7.Измерив твердость образцов, обработанных по режимам А и В, получили следующие данные:

28

Проверьте, существенно ли различие в средних значениях твердости образцов, обработанных по режимам А и В.

К значениям твердости прибавьте последнюю цифру номера зачетной книжки.

8. В результате испытаний 16 образцов из алюминиевого сплава на разрыв было определено среднее арифметическое значение предела прочности: х 600МПа. При этом среднее квадратическое отклонение по генеральной совокупности составляло = 30 МПа. Найдите границы 95 %-го доверительного интервала для величины предела прочности В.

К числу испытаний (n = 16) прибавьте число, равное последней цифре номера зачетной книжки.

9. По результатам 50 измерений усилия прокатки были подсчитаны среднее значение усилия х 1500 кН и выборочная дисперсия

е2 = 1,21.104 (кН)2. Определите границы доверительного интервала при доверительной вероятности 95 %.

Кчислу измерений (n = 50) прибавьте последнюю цифру номера зачетной книжки.

10. В условиях технологического процесса, когда средняя доля дефектных изделий составляла 3 %, произвели сплошную проверку 500 изделий, среди которых было обнаружено 25 дефектных. Возникли ли в технологическом процессе отклонения?

Кчислу дефектных изделий прибавьте последнюю цифру номера зачетной книжки.

Вопросы для самоконтроля

1.Что называют статистическим оцениванием и проверкой гипотез?

2.Какие ошибки при проверке гипотез называют ошибками первого

ивторого рода?

3.Как формулируется нулевая гипотеза?

4.В соответствии с чем формулируется альтернативная гипотеза?

5.В каких случаях проводится двухсторонняя проверка гипотез, а в каких односторонняя?

6.Когда в результате сравнения расчетных значений соответствующих критериев с их табличными значениями принимается нулевая, а когда альтернативная гипотезы?

7.По какому критерию осуществляют поверку средних значений в ситуации, когда среднее арифметическое по совокупности и дисперсия генеральной совокупности известны?

8.С использованием какого критерия ведут проверку средних значений в ситуации, когда известно только среднее арифметическое генеральной совокупности?

29