12.Кривые линии. Порядок кривой. Кривые линии второго порядка: эллипс, парабола, гипербола – правила построения и геометрические свойства.

Любую линию можно рассматривать как результат перемещения некоторой точки в пространстве. При этом всё множество линий можно разделить на прямые и кривые.

В начертательной геометрии кривую линию часто рассматривают как траекторию, описанную движущейся точкой. Кривая линия может быть плоской или пространственной. Все точки плоской кривой принадлежат некоторой плоскости. Кривую не лежащую всеми точками в одной плоскости называют пространственной.

Всё множество плоских кривых можно разделить на циркульные и лекальные. Циркульной называют кривую, которую можно построить с помощью циркуля. К ним относятся окружность, овал, завиток и т.д. Лекальной называют кривую, которую нельзя построить с помощью циркуля. Её строят по точкам с помощью специального инструмента, называемого лекалом. К лекальным кривым относятся эллипс, парабола, гипербола, спираль Архимеда.

Лекальные кривые можно разделить на закономерные и незакономерные. Закономерными называют кривые, которые можно задать алгебраическим выражением.

Среди плоских алгебраических кривых особо следует отметить кривые второго порядка. Эти кривые иногда рассматривают как плоские сечения поверхностей - “конические сечения”. Рассмотрим три простейших канонических формы: эллипс, гиперболу и параболу.

Эллипс – кривая 2-го порядка, геометрическое место точек М, сумма расстояний которых до двух фиксированных точек (F1, F2) называемых фокусами, есть величина постоянная, равная большой оси эллипса. Один из вариантов построения эллипса:

При построении проводим окружности радиусами r и R из одного центра О и произвольную секущую ОА. Из точек пересечения 1 и 2 проводим прямые, параллельные осям эллипса. На их перенсечении отмечаем точку М эллипса. Остальные точки аналогично.

Парабола – кривая 2-го порядка, расстояние от любой точки которой до фокуса равно расстоянию от этой точки до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой. Построим параболу по директрисе 1 фокусу. Вершина параболы(точка А) находится на середине отрезка OF. Далее от точки О вдоль оси параболы откладываем произвольный отрезок ОК, который должен быть больше ОА. Через точку К проводим прямую а, перпендикулярную оси параболы. Из фокуса радиусом r = OK строим окружность. Точки 1 и 2 пересечения окружности и прямой а принадлежат параболе. Аналогично строим необходимое количество точек. Гипербола – кривая 2 –го порядка, разность расстояний, от любой точки которой до двух фокусов есть величина постоянная, равная действительной оси гиперболы. Вдоль действительной оси расположены ветви гиперболы. Гиперболу по действительной оси и двум фокусам строим в следующей последовательности. На оси гиперболы откладываем произвольный отрезок АК. Проводим две окружности с центрами в F₁ иF₂ радиусом r₁ =AK и две окружности радиусом r₂ = BK. Точки 1,2,3 4 пересечения окружностей принадлежат гиперболе. Гипербола кривая имеющая асимптоты, которые проходят через точку О и т. 5 и 6. Точки 5 и6 находим на пересечении прямых , проведённых через вершины гиперболы перпендикулярно к оси, и окружности с центром О, проведённой через фокусы.

7.Образование и задание поверхностей на чертеже. Кинематический и каркасный способы. Определитель поверхности. Классификация поверхностей. Порядок поверхности

1.Поверхностью называется совокупность всех последовательных положений линий, непрерывно перемещающихся в пространстве по определённому закону. Следовательно, всякую поверхность можно представить как перемещение линии по другим линиям. Линия, образующая поверхность, называется образующей. Линия, по которой перемещается образующая, называется направляющей. Образующие могут быть постоянными и изменяться.

Образование поверхностей. Поверхность можно задать на чертеже, задав её множеством принадлежащих ей точек и линий. При этом точки выбирают так, чтобы они давали возможность с достаточной степенью точности определить форму поверхности и решать на ней различные задачи.

Поверхности на комплексном чертеже могут быть заданы:

1.Проекциями направляющих и способом перемещения по ним образующих.

2.Семейством линий, принадлежащих поверхности - каркасный способ задания поверхности.

3.Очерком поверхности, т.е. линиями, ограничивающими на комплексном чертеже область существования проекций.

2.Кинематический способ рассмотрим на примере образования цилиндрической поверхности, она образуется перемещением прямолинейной образующей l по криволинейной направляющей m, причём образующая l остаётся постоянно параллельной заданной направляющей S.

Если точка лежит на поверхности, то она лежит на её образующей.

В частном случае, когда направляющая ломаная, получается призматическая поверхность.

Каркасный способ образования поверхности связан с понятием определителя поверхности, которым называют совокупность независимых условий, однозначно задающих поверхность. Определитель поверхности состоит из двух частей: геометрической и алгоритмической. В геометрическую часть определителя входят геометрические фигуры и отношения между ними. В алгоритмическую часть – закон образования поверхности. Обычно определитель и закон образования поверхности представляют в определенной знаковой записи, которую называют формулой поверхности: Ф(Г)[А] , где (Г) – геометр. ч-ть; [А] –алгоритмическая.

Запишем определитель поверхности кругового конуса, образованного вращением образую щей l вокруг оси i. Ф(l∩i)[l i]

3.Классификация поверхностей.

Поверхности разделяют:

I. По закону образования - на закономерные и незакономерные. Закономерные задаются графически и аналитически, незакономерные - только графически.

II. По форме образующей: 1.С прямолинейными образующими - линейчатые поверхности:

(по признаку развёртывания в плоскость)

а) развёртывающиеся (плоские, торсовые);

б) не развёртывающиеся (с плоскостью параллелизма, винтовые).

2.С криволинейной образующей - кривые поверхности:

(по способу перемещения образующей)

а) с поступательным движением образующей;

б) с вращательным движением образующей - поверхности вращения;

в) с движением образующей по винтовой линии - винтовые поверхности.