3. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.

			 х=rcos  y=rsin x+iy=r(cos+isin)
	z=r(cos+isin)	- тригонометрическая форма записи комплексного числа

r=z0, =arg z

Пусть z₁=r₁(cos₁+isin₁), z₂=r₂(cos₂+isin₂)

1)	z1z2=r1r2[cos(1+2)+isin(1+2)]

2)

3)

zn=rn(cos n+isin n)

– формула Муавра, nZ

4)

zk=

, k=0,1,2,…,n-1

Замечание. Корень n-й степени из комплексного числа имеет n различных значений.

Пример. Найти

z=-1+i  x=-1, y=1  r==

 х=rcos  -1=cos  cos=-1/   =3/4

 y=rsin  1=sin  sin=1/ 

z=(cos3/4+isin3/4)

, k=0,1,2

Итак, z₁=(cos/4+isin/4)

z₂=(cos11/4+isin11/4)

z₃=(cos19/4+isin19/4)

4. Действия над комплексными числами, заданными в показательной форме.

Связь между тригонометрическими и показательными функциями выражается формулой Эйлера (1748):

e^i=cos+isin

Формула Эйлера позволяет записать число z в виде:

z=rei

- показательная форма записи комплексного числа

Очень удобно выполнять умножение комплексных чисел в показательной форме.

Пусть z₁=r₁, z₂=r₂

1)

z1z2=r1r2

2)

3)

zn=rnein

4)

, k=0,1,2,…,n-1

Замечание. В середине XIX века ирландский математик У.Гамильтон¹¹ обобщил понятие комплексного числа, построив кватернионы (от лат. quaterni – по четыре) – числа вида a+bi+cj+dk, где i²=j²=k²=-1; a,b,с,d – действительные числа. Оказалось, что для этих чисел выполняются уже не все законы обычной арифметики. Так, умножение кватернионов не обладает свойством переместительности (ijji).

1 Carnot (1753-1823) – французский математик

2 Cardano (1501-1576) – итальянский математик, философ, врач

3 Bombelli (ок. 1526-1572) – итальянский математик и инженер

4 Descartes (1596-1650) – французский философ, математик, физик и физиолог

5 Euler (1707-1783) – немецкий математик, механик, физик и астроном

6 Gauß (1777-1855) – немецкий математик

7 Moivre (1667-1754) – английский математик

8 Bernoulli (1654-1705) – швейцарский математик

9 Vessel (1745-1818) – датский математик

10 Argand (1768-1822) – французский математик

11 Hamilton (1805-1865) – ирландский математик