Тригонометрическая форма комплексного числа

Если - модуль комплексного числа , а - его аргумент, то тригонометрической формойкомплексного числа называется выражение

Показательная форма комплексного числа

Показательной формой комплексного числа называется выражение

23

24.При возведении комплексного числа в любую целую степень модуль комплексного числа возводится в ту же степень, а аргумент умножается на показатель степени.

(a+ i b)2=

=(r(cos(φ)+ i·sin(φ)))2=

1.	= r2(cos(2φ)+ i·sin(2φ))
(a+ i b)n=

=(r(cos(φ)+ i·sin(φ)))n=

3.	= rn(cos(nφ)+ i·sin(nφ))

Корень -ой степени из комплексного числа обозначается символом и на множестве комплексных чисел имеет ровно значений.

Если комплексное число задано в тригонометрической форме: , то все значения корня -ой степени вычисляются по формуле Муавра (Абрахам де Муавр (1667 - 1754) - английский математик):

Геометрически все значения корня лежат на окружности радиуса с центром в начале координат и образуют правильный -угольник.

25.Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами может иметь от 0 до 2 вещественных корней в зависимости от значения дискриминанта

при корней два, и они вычисляются по формуле

(1)

при корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:

при вещественных (действительных) корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1) (без использования извлечения корня из отрицательного числа), либо формулой

26. Функция одной переменной. Пусть задана функция у = f(x), определенная при значении аргумента, равном х₀. Дадим аргументу приращение х, т.е. рассмотрим значение аргумента, равное x₀ + х. Предположим, что это значение аргумента также входит в область определения данной функции. Тогда разность y = f(x₀ + х) – f(x₀) называется приращением функции.

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀, (включая саму эту точку).

Если существует предел отношения приращения функции Δy = f(x₀ + Δx) − f(x₀) к вызвавшему его приращению аргумента Δx, когда Δx → 0, то этот предел называется производнойфункции y = f(x) в точке x₀ и обозначается символом f '(x₀), т.е.

27

28.Пусть функции и имеют производные в точке . Тогда

1. Константу можно выносить за знак производной.

2. Производная суммы/разности.

Производная суммы/разности двух функций равна сумме/разности производных от каждой из функций.

3. Производная произведения.

4. Производная частного.

5. Производная сложной функции.

Производная сложной функции равна производной этой функции по промежуточному аргументу , умноженной на производную от промежуточного аргумента по основному аргументу .

 и имеют производные соответственно в точках и . Тогда

29. Приращение функции представимо в виде:

где функция является б.м. функцией при стремлении аргумента к нулю. Так как , то

В силу того, что второе слагаемое является бесконечно малым, то им можно пренебречь, а поэтому

А так как в нахождении дифференциал значительно проще, чем приращение функции, то данная формула активно используется на практике.

Для приближенного вычисления значения функции применяется следующая формула:

30.Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производной функции f и обозначается f". Таким образом,f"(x) = (f'(x))'.

Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n-й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f(n). Итак, f(n)(x) = (f(n-1)(x))',   n ϵ N,   f(0)(x) = f(x).

Число n называется порядком производной.

Дифференциалом n-го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,

dnf(x) = d(dn-1f(x)),   d0f(x) = f(x),   n ϵ N.

Если x - независимая переменная, то dx = const   и   d2x = d3x = ... = dnx = 0.

В этом случае справедлива формула dnf(x) = f(n)(x)(dx)n.

31. Теорема Ролля

Пусть функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b], и имеет конечную или бесконечную производную внутри этого сегмента. Пусть, кроме того, f(a) = f(b). Тогда внутри сегмента [a, b] найдется точка ξ такая, что f'(ξ) = 0.

Теорема Лагранжа

Если функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b] и имеет конечную или бесконечную производную во внутренних точках этого сегмента, то такое, чтоf(b) - f(a) = f'(ξ)(b - a).

Теорема Коши

Если каждая из функций f и g непрерывна на [a, b] и имеет конечную или бесконечную производную на ]a, b[ и если, кроме того, производная g'(x) ≠ 0 на ]a, b[, то такое, что справедлива формула

Если дополнительно потребовать, чтобы g(a) ≠ g(b), то условие g'(x) ≠ 0 можно заменить менее жестким:

32. Касательная прямая - прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

Прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой.

Если кривая определена уравнением , то уравнение касательной к ней в точке имеет вид:

а уравнение нормали:

33. Формулировка правила Лопиталя cледующая:

Если , и если функции f(x) и g(x) – дифференцируемы в окрестности точки , то 

В случае, когда неопределенность не исчезает после применения правила Лопиталя, то его можно применять вновь.

34. Интервал монотонности.

1. Если производная положительна, то функция возрастает

2. Если производная отрицательна, то функция убывает

Функция	Производная	Монотонность
Линейная		Если , возрастает
		Если , убывает
		Если , постоянная
Прямая  пропорциональность		Если , возрастает
		Если ,убывает
Обратная пропорциональность		Если , убывает  наи на
		Если , возрастает наи на
Квадратичная функция		Если , убывает на, возрастает на
		Если , возрастает на, убывает на
		Возрастает на

Экстремум. Точка называется точкой локального максимума (или минимума) функции , сли существует такой окрестность этой точки, принадлежащий области определения функции, и для всех из этого окрестности выполняется неравенство (или ).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции, а значения функции в экстремальных точках - ее экстремальными значениями.