1. Эффект неопределенности.

На рис. 1 приведен общий вид фрагмента множества и его подмножеств в пространстве . Следует отметить, что в данной задаче реализуются практически все возможные варианты типа состояния равновесия.

Рис.1. Фрагмент множества и характер расположения множеств ()	Рис.2. Сечение фрагмента множества плоскостью и характер расположения множеств ()

На рис. 2 представлен общий вид фрагмента сечения множества плоскостью для значения (В работе Р. Лукаса используется значение ). Из рис. 1 и 2 непосредственно вытекает наличие эффекта неопределенности в рассматриваемой модели конкурентной экономики в силу соотношения .

На рис. 3 приведен общий вид картины поведения траекторий системы в окрестности состояния равновесия типа устойчивый узел, что соответствует ситуации локальной неопределенности в фазовом пространстве системы.

2. Ситуация (локальной) определенности.

Как уже отмечалось выше, эта ситуация возникает в случае принадлежности параметров системы множеству . На рис. 4 приведен общий вид картины поведения траекторий системы в окрестности состояния равновесия типа седло-фокус, что соответствует ситуации локальной определенности в фазовом пространстве системы.

В рассматриваемой задаче в расположении множеств и имеется важная особенность – они имеют общую границу . Соответственно, и множества и имеют общую границу .

Рис.3. Вектор параметров . Устойчивый узел	Рис.4. Вектор параметров . Седло-фокус

На рис. 5 вид множеств , и кривой показан более детально. Ясно, что на кривой для корней характеристического уравнения справедливы соотношения , , так что при переходе «изображающей точки» из области в область возможен ряд бифуркаций. Приведем здесь лишь один из результатов, показывающих, что динамика рассматриваемой системы может быть весьма сложной. Он касается перехода из области в область через кривую по отрезку вертикальной прямой вида .

Рассмотрим случай (убывающий эффект отдачи от масштаба по «сроку обучения»). Проследим за изменениями структуры фазового пространства в окрестности стационарного решения в зависимости от величины , характеризующей эффект отдачи от масштаба по уровню человеческого капитала в образовательном секторе.

Численные расчеты (в теоретическом и практическом плане близкие к методологии работы [7] показывают, что при значении () в системе происходит субкритическая бифуркация Андронова – Хопфа (SH).

Рис.5. Вид множеств , и	Рис.6. Вид бифуркационной диаграммы

При значениях параметра и (, ; , ) в системе наблюдаются («прямая» и «перевернутая») бифуркации предельных циклов типа складки (fold bifurcation of limit cycles, или Limit Point of Cycles (LPC)).

Таким образом, в окрестности стационарного решения при в системе сосуществуют три предельных цикла (два из которых – неустойчивые), при – два предельных цикла (устойчивый и неустойчивый), а при – один неустойчивый предельный цикл. При состояние равновесия неустойчиво.

Ясно, что при область устойчивости стационарного решения определяется «внутренним» неустойчивым предельным циклом, «влипающим» в состояние равновесия при , а при – единственным («внешним») неустойчивым предельным циклом. Заметим также, что в отличие от (субкритической) бифуркации Андронова – Хопфа, носящей локальный характер, бифуркации предельных циклов типа складки являются «глобальными».

Описанный переход может быть наглядно представлен на соответствующих бифуркационных диаграммах. На рис. 6 изображена диаграмма, которая показывает зависимость от параметра стационарного решения (отвечающего BGP) и амплитуд предельных циклов, возникающих в его окрестности. Точнее говоря, на рисунке представлена проекция на ось стационарного решения и предельных циклов (подобное представление адекватным образом передает картину перехода, поскольку в данной задаче предельные циклы однозначно проецируются на координатные плоскости). На диаграмме устойчивые объекты показаны сплошной линией, неустойчивые – штрих-пунктиром.

Таким образом, из результатов численных экспериментов следует существование устойчивого предельного цикла в окрестности неустойчивого в смысле А.М. Ляпунова стационарного решения , отвечающего сбалансированной траектории роста (BGP). Более того, при «квазистационарном» изменении параметров системы, при которых реализуется переход изображающей точки (в пространстве параметров) рассмотренного типа, устойчивое (при ) стационарное состояние «теряет» устойчивость (при ) и в его окрестности возникают колебания конечной амплитуды (возрастающей с уменьшением ). Это – «жесткий» режим возникновения колебаний.

Рис.7. Вид траекторий системы в окрестности при . Поведение траекторий в окрестности устойчивого предельного цикла	Рис.8. Вид траекторий системы в окрестности при . Поведение траекторий в окрестности неустойчивого «внешнего» предельного цикла, внутри которого располагается устойчивый предельный цикл

На рис. 7 и 8 в качестве примера приведен вид некоторых траекторий системы в окрестности стационарного решения при . Они дают достаточно наглядное представление о структуре фазового пространства системы в случае сосуществования трех предельных циклов.

В рамках теории экономического роста сбалансированные траектории роста (BGP) выступают в качестве своеобразных «магистралей развития экономики», представляющих «равновесную» эволюцию экономической системы. В абсолютном большинстве случаев они оказываются неустойчивыми. Поэтому тот факт, что в случае убывающего эффекта отдачи от масштаба, как по «сроку обучения», так и по уровню человеческого капитала в образовательном секторе, в окрестности неустойчивой BGP-траектории могут существовать устойчивые предельные циклы, является весьма важным и позитивным для теории экономического роста. По существу это означает, что хотя «равновесная» эволюция экономической системы «по магистрали развития» и нереализуема (из-за её неустойчивости), вполне реализуемы, устойчивы и имеют «ту же тенденцию», что и «магистраль развития», другие траектории, имеющие, правда, «колебательный характер». Другими словами, эволюция экономической системы может осуществляться «практически вдоль магистрали развития» в рамках некоторого устойчивого «образовательного экономического цикла».