8 семестр / Вспомогательный материал / Групповые коды Хэмминга

2

Тема 6. Групповые коды Хэмминга

Задача 6.1 (эту задачу дать в виде раздаточного материала)

Построить групповой код Хэминга для N = 12 разрешенных к.к..

Решение.

1) Определяется число информационных разрядов k= log₂N = log₂12 = 4

2) Определяется N_max = 2^k = 16.

3) Определяется n = n_min из выражения для границы Хэмминга: N_max  2ⁿ / (1 + n).

Получаем n_min = 7. Таким образом, имеем код (7,4), в котором k = 4 информационных и  = n - k = 3 проверочных разряда.

4) Перечисляются всевозможные векторы n - разрядных ошибок: для кода Хэмминга - векторы одиночных ошибок, для других групповых кодов - векторы кратных ошибок. Отметим, что часто длительность помехи превышает длительность отдельного двоичного символа, тогда появляются помехи в виде пакетов типа

 * = 00..011110...0. В нашем случае (кода Хэмминга)

* = {₁* = 1000000, ₂* = 0100000, ₇* = 0000001}

5) Каждому вектору ошибки сопоставляется специальный код, называемый опознавателем ошибки, удовлетворяющий следующему требованию: все опознаватели векторов ошибок должны быть различными и любой опознаватель кратной ошибки не должен быть равен сумме других (ранее уже построенных) опознавателей одиночных или кратных ошибок. В остальном выбор опознавателей - произвольный. Но для кода Хэмминга удобно каждому вектору ошибки сопоставить код номера искаженного разряда. Тогда разрядность кода опознавателя равна log₂ n = 3.

Составим таблицу опознавателей:

Векторы ошибок *	Коды опознавателей
1 2 3 4 5 6 7
1 0 0 0 0 0 0	001
0 1 0 0 0 0 0	010
0 0 1 0 0 0 0	011
0 0 0 1 0 0 0	100
0 0 0 0 1 0 0	101
0 0 0 0 0 1 0	110
0 0 0 0 0 0 1	111

6) По кодам опознавателей составляются проверочные равенства (см. систему уравнений (2) из параграфа 3.5 лекций):

{a_{i 1} x₁  a_{i 2} x₂  a_{i k} x_k  x_k+i = 0}, i = 1 ...  , a_{i j} {0,1}, x_j  {0,1}.

Здесь k - число информационных,  - число проверочных символов.

Коэффициенты a_{i j} в i - м проверочном равенстве определяются кодами опознавателей. Младшие разряды опознавателей определяют коэффициенты a_1j первого проверочного равенства, вторые разряды служат для определения коэффициентов a_2j второго равенства и т.д. Если какой-либо разряд опознавателя равен 1, то соответствующему коэффициенту a_{i j} присваивается значение 1, в противном случае присваивается 0. Просматривая младшие разряды всех опознавателей таблицы сверху вниз, составляем первое проверочное уравнение, затем, просматривая вторые разряды, составляем второе уравнение и т.д. В результате получаем:

x₁  x₃  x₅  x₇ = 0

x₂  x₃  x₆  x₇ = 0

x₄  x₅  x₆  x₇ = 0

Нарушение одного или нескольких проверочных равенств свидетельствует о наличии ошибки в принятой к.к. Из полученной системы видно, что если нарушилось первое уравнение (т.е. стало равным 1), то это означает, что искажен один из символов x_j, при котором коэффициент a _1j = 1. Но a _1j = 1, если в младшем разряде одного из опознавателей стоит 1 (такими опознавателями являются 1, 3, 5, или 7- й). Значит возникла ошибка в 1, 3, 5 или 7 разряде кодовой комбинации. Аналогично - для других равенств. Если же ошибки нет, то все суммы будут равны 0. Поэтому данная система уравнений означает проверку на четность суммы соответствующих разрядов.

Пусть какие-то уравнения нарушились, например, получен результат

=1

=1

=0.

Считывая правые части равенств снизу вверх, получим синдром 011, указывающий на ошибку в определенном разряде кодовой комбинации, в данном случае - на ошибку в третьем разряде, т.к. только x₃ встречается и в первом, и во втором равенстве. Синдромы в кодах Хэмминга всегда совпадают с соответствующими опознавателями таблицы. Найдя в таблице опознаватель 011, сразу определяем искаженный разряд x₃ (код 011 соответствует индексу разряда).

7) Выбираем  = n - k = 3 переменных в качестве проверочных. Удобно (но не обязательно) выбирать такие переменные, которые встречаются только в одном проверочном равенстве. Такие переменные расположены в позициях с номерами 2^s (s = 0,1,2, ... ). В данном случае - это переменные x₁, x₂, x₄. Проверочные переменные переносятся в другую часть каждого уравнения. В результате будет получена система (1) из параграфа 3.5:

x₁ = x₃  x₅  x₇

x₂ = x₃  x₆  x₇

x₄ = x₅  x₆  x₇

8) Перечисляются все 2^k комбинаций информационных символов (и), затем используется система (1) для определения значений проверочных символов. В таблице проверочные символы (п) выделены жирным шрифтом.

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
п п и п и и и
0 0 0 0 0 0 0
1 1 0 1 0 0 1
0 1 0 1 0 1 0
1 0 0 0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0
1 1 1 1

В результате формируются все разрешенные кодовые комбинации (приведены только первые 4 комбинации, проверочные символы помечены курсивом и жирным шрифтом).

9) Среди найденных 16 комбинаций выбираются любые 12. Отметим, что обычно код 0000000 не используется.