План-конспект уроку

З алгебри та початків аналізу

Для групи С-21

Тема уроку. Узагальнення поняття степеня. Показникова функція, її графік і властивості.

Мета уроку: Формування поняття степеня з раціональним показ­ником, степінь з ірраціональним показником. Засвоєння учнями поняття показникової функції, її властивостей і графіка.

Обладнання. Таблиця «Показникова функція».

Хід уроку

II. Повторення і систематизація знань учнів про степінь з натуральним і цілим показником.

Повторення і систематизацію знань учнів про степінь із нату­ральним і цілим показником рекомендується провести шляхом бесіди з використанням таблиці 17.

Таблиця 17

Степені
з натуральним показником: а1 = а (а R) аn = а · а · ... · а п N, п > 2	з цілим показником а0 = 1, а ≠ 0 а-n = , а ≠ 0, n N
Властивості аm · аn = am + n аm : аn = am – n (аm)n = аmn (аb)n = anbn ;

III. Формування поняття:

1. Степеня з дробовим показником.

Введемо поняття степеня з дробовим показником. Вводячи це поняття, хотілося би, щоб степінь з раціональним показником мав ті самі властивості, що й степінь із цілим показником. Зокрема, n-й степінь числа повинен дорівнювати а^m. Якщо ця властивість виконується, то – а це означає (за означенням кореня п-го степеня), що число повинно бути коренем п-го степеня із числа аⁿ.

!Степенем числа а > 0 з раціональним показником , де mZ, пN (п>1) називається число .

Отже, = .

Виконання вправ

1. Подайте вирази у вигляді степеня з раціональним показником:

а) ; б) ; в) ; г) .

Відповідь: а) ; б) ; в) ; г) .

2. Подайте вирази у вигляді кореня із числа чи виразу:

а) ; б) 5; в) 6; г) 3.

Відповідь: а) ; б) ; в) ; г) .

3. Обчисліть:

а) ; б) ; в) ; г) .

Відповідь: а) 3; б) 3; в) 4; г) 27.

2. Вивчення властивостей степенів з раціональним показником.

Для будь-яких раціональних чисел р і q і будь-яких додатних а і b справедливі рівності:

аp · аq = ap +q; аp : аq = ap – q ; (аp)q = аpq ; (аb)p = apbp; .

Для доведення цих властивостей треба скористатися означен­ням степеня з раціональним показником і властивостями коренів. Доведемо першу рівність: нехай , , тоді

Останні рівності доводяться аналогічно.

Виконання вправ: №283, 286.

3. Сприймання поняття про степінь з ірраціональним показником.

Розглянемо степінь з ірраціональним показником . Ірраціональне число можна подати у вигляді нескінченного неперіодичного десяткового дробу.

Розглянемо послідовність наближень числа :

1 < < 2,

1,4 < < 1,5,

1,41 < < 1,42,

1,414 < < 1,415,

1,4142 < < 1,4143,

…

За допомогою калькулятора знайдемо наближені значення степенів числа 10 з недостачею і надлишком, тоді матимемо:

10 = 10¹ < < 10² = 100,

25,119 10^1,4 < < 10^1,5 31,623,

25,704 10^1,41 < < 10^1,42 26,303,

25,942 10^1,414 < < 10^1,415 26,002 ,

25,953 10^1,4142 < < 10^1,4143 25,960 ,

Наведені значення з недостачею і надлишком наближаються до одного і того самого числа = 25,9..., яке і прийнято вва­жати степенем числа 10 з показником .

Таким чином, ми розширили поняття степеня на будь-які дійсні показники, зберігаючи при цьому властивості степенів.

4. Сприймання поняття про показникові функцію.

!Функція виду у = а^х, де а > 0, а ≠ 1, називається показниковою (з основою а).

Властивості показникової функції записати в робочому зошиті у вигляді таблиці 19

Таблиця 19

Показникова функція у = ах, а > 0, а ≠ 1
а > 1	0 < а < 1
1. D(y) = R 2. Е(у) = (0; + ) 3. Зростає x1 > x2 > 4. Якщо х = 0, то у = 1 5. Якщо х < 0, то у < 1 6. Якщо х > 0, то у > 1	1. D(y) = R 2. E(y) = (0; +). 3. Спадає x1 > x2 < 4. Якщо х = 0, то у = 1 5. Якщо х < 0, то у > 1 6. Якщо х > 0, то у < 1

Враховуючи вищезазначене, можна зробити висновки.

1. Область визначення показникової функції — множина R дійс­них чисел, бо степінь a^х, де а > 0, визначений для всіх х R.

2. Множина значень показникової функції — множина всіх до­датних дійсних чисел.

3. Показникова функція у = a^х є зростаючою на множині дійсних чисел, якщо а > 1, і спадною, якщо 0 < а < 1.

4. Якщо х = 0, то у = а° = 1.

5. Якщо х > 0, то у > 1, якщо а > 1, і у < 1, якщо 0 < а < 1.

6. Якщо х < 0, то у < 1, якщо а > 1, і у > 1, якщо 0 < а < 1.

7. Графіком показникової функції є крива, яка називається екс­понентою.

Усне виконання вправ

1. Які із поданих функцій є показниковими:

а) у = 2^х; б) у = х³; в) у = (-5)^х; г) у = ()^х; д) у = (0,3)^х; е) у = π^х?

Відповідь: а); г); д); е).

2. Наведіть приклади показникових функцій.

Почнемо вивчення показникових функцій з функції у = 2^х. Складемо таблицю значень функції:

х	-3	-2	-1	0	1	2	3
у = 2х				1	2	4	8

Побудуємо на координатній площині точки з таблиці і з'єднає­мо ці точки плавною лінією. Одержимо графік функції у = 2^х (рис. 142).

Показникова функція у = 2^х має вла­стивості:

1. Область визначення — множина всіх дійсних чисел.

2. Область значень — множина всіх до­датних чисел.

3. Функція у = 2^х — зростаюча на мно­жині всіх дійсних чисел.

4. Графік функції перетинає вісь у в точці(0; 1).

Усне виконання вправ

1. Чи є серед значень функції у = 2^х:

а) найбільше; б) найменше? Відповідь: ні.

2. Порівняйте значення виразів:

а) і ; б) 2^-3 і 2^-4; в) і .

Відповідь: а) < ; б) 2^-3 > 2^-4; в) > .

3. Розташуйте числа ; ; ; ; у порядку зростання.

Відповідь: ; ; ; ; .

4. Порівняйте х і у, якщо відомо, що вірна нерівність:

а) 2^х > 2^у; б) 2^х < 2^у. Відповідь: а) х > у; б) х < у.

5. На рисунку 86 із підручника зображено графіки функцій у = 2^х і у = 3^х. Чим відрізняються ці функції? Їхні графіки?

Відповідь: ці функції мають одинакові властивості, функція у = 3^х зростає більш швидше (графік цієї функції піднімається вгору більш круто).

2. Порівняйте значення виразів:

а) і ; б) і ; в) і ; г) і ; д) і .

Відповідь:

а) >; б) =; в) >; г) <; д) <.

3. Розташуйте числа , , , , у порядку зростання.

Відповідь: , , , , .

4. Порівняйте х і у, якщо відомо, що вірна нерівність: а)>; б)>;

Відповідь: а) х < у; б) х > у.

5. Чим відрізняються властивості і графіки функцій у = і у= ?

Відповідь: вони мають однакові властивості, функція у = спадає більш швидше.

Усне виконання вправ

1. Які з наведених показникових функцій є зростаючими, а які — спадними:

а) y = π^x ; б) y = (0,5)^x; в) у = ; г) y = 2^-x.

2. Порівняйте х і у, якщо відомо, що вірна нерівність:

а) 0,02^х < 0,02^y; б) π^x > π^y.

Відповідь: а) х > у; б) x < у.

3. Порівняйте основу а > 0 з одиницею, якщо відомо, що вірна нерівність:

а) а¹⁰ > а¹⁵; б) а¹⁰ < а¹⁵.

Відповідь: а) а > 1; б) 0 < а < 1.

V. Підсумок уроку.

VI. Домашнє завдання.

1. Побудувати графік функції у = .

2. Порівняйте значення виразів:

а) i ; б) і .

10