Добавил:

Mendeleev Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева

Предмет:

Вычислительная математика

Файл:

PDF / Лекции

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2014

Размер:

1.07 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

(С) ИиКМ РХТУ март 2004г. Калинкин Владимир Николаевич																				2
l		(x) = y		(x − x1 )(x − x2 )								=1	(x −0)(x −1)	=	1	x2	−	1	x
	0		0 (x		0	− x	)(x	0	− x	2	)		(−1 −0)(−1 −1)		2			2

						1

l1 (x) = y1

l2 (x) = y2

L(x)=x2

	(x − x0 )(x − x2 )											= 0	(x +1)(x −1)		= 0
(x			− x	0	)(x		− x		2	)				(0 +1)(0 −1)

1						1
	(x − x0 )(x − x1 )											=1		(x +1)(x −0)	=	1	x2	+	1	x
	(x	2	− x		0	)(x	2	− x			)			(1 +1)(1 −0)		2			2

									1

Аппроксимация.

Пусть в результате эксперимента для заданных значений независимой переменной x – x0, x1, x2 ,…..,xn были определены значения зависимой переменной y- y0, y1, y2 ,…..,yn. Требуется отыскать аналитическую зависимость между x и y в виде некоторой функции f(x), которая наилучшим образом (в смысле какого либо критерия рассогласования)

описывала эти экспериментальные данные. Чаще используют квадратичный критерий

рассогласования R = ∑( yiэ − yiр )2 . Функцию f(x) определим как линейную, т.е.

i =0

y=f(x)=a0+a1*x. Коэффициенты a0 и a1 будем называть параметрами. Надо найти такие значения параметров, при которых квадратичный критерий рассогласования

R = ∑( yiэ − (a0 + a1 xi ))2 имел бы минимальное значение. Критерий рассогласования R

i=0

является функцией двух переменных a0 и a1 т.е. R=R(a0,a1). Необходимое условие экстремума функции нескольких переменных – это равенство 0 частных производных по параметрам.

∂R		э		∂R	э
		n			n
		= 2 ∑( yi	− (a0 + a1 xi )) (−1) = 0 и		= 2 ∑( yi − (a0 + a1 xi )) (−xi ) = 0
∂a	0	= 2 ∑( yi	− (a0 + a1 xi )) (−1) = 0 и	∂a	= 2 ∑( yi − (a0 + a1 xi )) (−xi ) = 0
	0	i =0	1		i =0

Получаем систему уравнений для определения параметров.

n
∑( yiэ − (a0 + a1xi ) ) = 0
i =0
n
∑( yiэ −(a0 + a1xi )) xi = 0
i =0
n	n	n
∑a0 + ∑a1xi =		∑yiэ
i =0	i =0	i =0
n	n	n
∑a0 x − ∑a1 xiэ = ∑yiэ
i =0	i =0	i =0

n	n	n
∑yiэ − ∑a0 − ∑a1 xi = 0
i =0	i =0	i =0
n	n		n
∑yiэxi − ∑a0 xi − ∑a1 xi2 = 0
i =0	i =0		i =0
=		a		b
N	∑xi	a		b
∑1	∑xi	a0		∑yi
n	n			n
in=0	in=0 2	a	=	ni =0
∑xi	∑xi	1		∑yi xi
i =0	i =0			i =0

(С) ИиКМ РХТУ март 2004г. Калинкин Владимир Николаевич										3
			1	x
					1
= = Т =	= Т →	=	1	x2			= → → →		= −1 →
N =Ф Ф а	b =Ф y ,	где Ф =		x3			N a	= b a = N b
N =Ф Ф а	b =Ф y ,	где Ф =	1	x3			N a	= b a = N b
				.
			.	.
			1	x	n
					n

		i	x		y(эксп)			y( расч.инт)	y( расч.аппр)
			i			i		i	i
		0	1			1,5		1,5	1,214
		1	2			1,5		1,5	2,129
		2	3			3,5		3,5	3,043
		3	4			3,5		3,5	3,957
		4	5			5,5		5,5	4,871
		5	6			5,5		5,5	5,786

6,5

5,5

4,5

3,5

2,5

1,5

0,5

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5

	=
	Ф
1		1
1		2
1		3
1		4
1		5
1		6

= T

1	1	1	1		1	1
1	2	3	4		5	6
=		→		= −1		→
N		b	N			a
6	21	21	0,867		-0,2	0,3
21	91	89,5	-0,2		0,057	0,914

(С) ИиКМ РХТУ сентябрь 2003г. Калинкин Владимир Николаевич

Численное интегрирование.

Пусть на отрезке [a; b] определена непрерывная функция f(x). Требуется определить

значение определенного интервала I = ∫b f (x)dx = F(b)-F(a), которое числено равно площади

S, фигуры ограниченной графиком функции f(x) и осью x, на заданном отрезке [a; b]. Для приближенного вычисления S, разобьем наш отрезок [a; b] на n равных элементарных отрезков точками x0=a, x1= a+h, x2=x1+h,…xi=xi-1+y,….,xn=b, где h =(b-a)/n – шаг разбиения.

Значение функции f(x) в точках разбиения xi обозначим через yi

					yi		yn
			y1	yi-1	yi	yi+1
						yi+1

	y0			h		h
	y0



x0		x1		xi-1	xi	xi+1	xn
a							b

Тогда площадь S можно вычислить как сумму элементарных площадей определенных для соответствующих элементарных отрезков длиной h.

S = s0+s1+s2+…si+…..+sn-1

Произвольную si площадь можно вычислить, как определенный интеграл на отрезке [xi;xi+1]

xi +1

от более простой функции φi(x), которой заменим реальную функцию f(x), si = ∫ϕi (x)dx

Вид функции φi(x) будут определять и название метода.

Методы прямоугольников.

Значение функции φi(x) на отрезке [xi;xi+1]. принимается константой Метод прямоугольников вперед

φi(x) = yi

значения элементарной si и общей S площади можно вычислить как:

xi+1			n −1	n −1
si = ∫yidx = yi x xi			= yi (xi +1 − xi ) = yi h; S = ∑si = h ∑yi
	xi	+1	i =0	i =0
xi

Метод прямоугольников назад

φi(x) = yi+1

значения элементарной si и общей площади можно вычислить как:

xi +1		n−1	n−1
si = ∫yi+1dx = yi+1 x	xi	= yi+1 (xi − xi−1 ) = yi+1 h; S = ∑si = h ∑yi+1
	xi
	xi −1
	xi −1
xi		i=0	i=0

Метод прямоугольников в среднем.

Определим точку xi + 12 = xi + 12 h и значение функции yi + 12 в середине элементарного отрезка

[xi;xi+1].

Принимаем φi(x) = yi + 1	.
	2

Тогда значения элементарной si и общей S площади можно вычислить как:

(С) ИиКМ РХТУ сентябрь 2003г. Калинкин Владимир Николаевич						2
xi+1	x xi			n −1	n −1
si = ∫yi + 12dx = yi + 12	x xi			= yi + 12 (xi +1 − xi ) = yi + 12 h; S = ∑si = h ∑yi + 12
xi		xi	+1	i =0	i =0
xi				i =0	i =0

Метод трапеций

Фукцию φi(x) будем определять как линейную на отрезке [xi;xi+1], т.е. ее график должен

проходить через две смежные точки (xi,yi) и (xi+1,yi+1). Функцию φi(x) можно будет представить как интерполяционный многочлен Ньютона, построенный по двум точкам xi и

xi+1, φi(x) = Li(x) =	yi	( x − xi +1 )	+ yi +1	( x − xi )
		( xi − xi +1 )		( xi +1 − xi )

Тогда значения элементарной si и общей S площади можно вычислить как:

xi +1

− xi +1 )

xi +1

(x − xi )

si = ∫Li (x)dx = ∫

∫

yi +1

− x

)

− x )

i +1

сделаем замену переменной

t =

− xi

x=xi

ti=0

x=xi+1

ti+1 = 1

x = xi + ht

dx=hdt

(x-xi) = ht

(x-xi+1) = ht − h = h(t −1)

h(t −1)

∫yi

hdt + ∫yi +1

hdt = h(∫yi (1 −t)dt + ∫yi +1tdt) = h(yi (t

−

) + yi +1

) =

(−h)

(h)

si =

h( y (1

−

) + y

)

= h

yi + yi +1

i +1 2

а общая площадь на отрезке [a;b] будет равна

n −1

S = ∑si =

∑h ( yi + yi +1 ) = h

( y0 + y1 + y1 + y2 + y2 +... + yn −1 + yn −1 + yn ) =

i =0

i =0 2

y0 + y n

n−1

( y0 + 2 y1 + 2 y2

+ 2 y3

+.... + 2 yn−1

+ yn ) = h

(

+ ∑yi )

i=1

Метод Симпсона

Определим точку x

= x +

h в середине элементарного отрезка [xi;xi+1]

и значение

+ 12

функции в этой течке yi + 1

Функцию φi(x) будем определять как квадратичную на отрезке [xi;xi+1], т.е. ее график должен

проходить через три смежные точки (xi,yi),(xi+1/2,yi+1/2) и (xi+1,yi+1). Функцию φi(x) можно будет представить как интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный по трем

точкам xi, xi+1/2 и xi+1.

φi(x) = Li(x) =

(x − xi +1/ 2 )(x − xi +1)

+ y

(x − xi )(x − xi +1 )

+ y

(x − xi )(x

− xi +1/ 2 )

)

i (x

− x

)(x

− x

)

i +1/ 2

− x )(x

− x

i +1 (x

− x )(x

− x

i +1/ 2

i +1

i +1/ 2

i i +1/ 2

i +1

i i +1

i +1/ 2

Тогда значения элементарной si и общей S площади можно вычислить как:

	xi+1			xi+1
si = ∫ϕi (x)dx =				∫Li (x)dx =
	xi			xi
xi+1		(x − xi +1/ 2 )(x − xi +1)
∫ ( yi							+ yi +1/ 2
∫ ( yi		(x	− x	)(x	− x	)	+ yi +1/ 2
xi		i	i +1/ 2	i	i +1

(x − xi )(x − xi +1)				+ yi +1	(x − xi )(x − xi +1/ 2 )				)dx
(x	− x )(x	− x	)	+ yi +1	(x	− x )(x	− x	)	)dx
i +1/ 2	i i +1/ 2	i +1			i +1	i i +1	i +1/ 2

сделаем замену переменной t =	x − xi	x=xi ti=0 x=xi+1/2 ti+1/2=1/2 x=xi+1 ti+1 = 1
	h

(С) ИиКМ РХТУ сентябрь 2003г. Калинкин Владимир Николаевич																																																									3
x = xi + ht ; dx=hdt ; (x-xi) = ht ; (x-xi+1/2) = ht −																																																								1 h = h(t − 1 ) ; (x-xi+1) = ht − h = h(t −1)
																																																								2										2
										h(t −							1			)h(t −1)																																				hth(t −							1	)
			1																																			hth(t −1)
			1															2																																													2
si = ∫																		2																																													2
					yi																									+ yi +1 / 2									h					h				+ yi +1																		hdt =
					yi										(−			h		)(−h)										+ yi +1 / 2									h	)(−				h				+ yi +1								(h)(						h				hdt =
			0																																	(									)																		)
			0														2																			(			2					2	)																	2	)
																	2																						2					2																		2
								1																																										1
1				(t −							)(t −1)										)										t(t −1)							+ yi +1					t(t −									)		)hdt =
1	( yi			(t −				2			)(t −1)												+ yi +1 / 2								t(t −1)												t(t −								2	)
∫	( yi																						+ yi +1 / 2
∫									1																						(−			1												(		1
0								( 2 )																							(−			4)												(		2 )
	1
h∫( yi (2t 2 −3t +1) − 4 yi +1 / 2 (t 2 −t) + yi +1 (2t 2 −t))dt =
	0
h ( y			(2			t3			−3						t 2			+ t					) − 4 y									(		t3			−		t 2		) + y									(2		t3			−		t	2		) ) =



		i				3									2														i +1/ 2					3					2							i +1						3				2
						3									2																			3					2													3
h ( y (					2		−		3			+1) − y														4(			1		−	1			) + y						(	2		−			1		) ) = h( y										1		+ y						4	+ y	1	)
h ( y (							−					+1) − y														4(					−				) + y						(	3		−	2				) ) = h( y												+ y							+ y		)
	i				3 2																		i +1/ 2						3 2										i +1			3			2												i 6						i +1/ 2 6					i +1 6
s =		h			(y +4y													+y							)
s =					(y +4y													+y							)
i	6						i							i+1/ 2									i+1
	6															h
				n										n
S = ∑si = ∑																			( yi−1 + 4 yi−1/ 2 + yi )
S = ∑si = ∑																6			( yi−1 + 4 yi−1/ 2 + yi )
			i=1										i−1			6
S =			h		( y				0			+ 4 y										+ 2 y						+ 4 y					3 / 2				+ 2 y				2	+... + 2 y											n−1			+ 4 y					n−1/ 2				+ y		n	)
S =					( y							+ 4 y										+ 2 y						+ 4 y									+ 2 y					+... + 2 y														+ 4 y									+ y			)
			6														1/ 2									1
			6
примеры:
					f(x)=1/(1+x2)																										h=0,2																			(h/2)=												0,1
																																				PRVP									PRNZ												PRSR										TRAP					SIMPS
												I					x											y								si=h*yi								si=h*yi+1												si=h*yi+1/2										si=h*(yi+yi+1)/2					si=(h/6)*(yi+4yi+1/2+yi+1)
												0					0											1								0,2								0,192308												0,19802										0,196153846						0,197397817
								1/2							0,1									0,990099
												1			0,2									0,961538										0,192308										0,172414												0,183486										0,182360743						0,183111073
						1+1/2									0,3									0,917431
												2			0,4									0,862069										0,172414										0,147059														0,16								0,159736308						0,159912103
						2+1/2									0,5											0,8
												3			0,6									0,735294										0,147059										0,121951												0,134228										0,134505022						0,134320466
						3+1/2									0,7									0,671141
												4			0,8									0,609756										0,121951														0,1								0,110497										0,11097561						0,110656695
						4+1/2									0,9									0,552486
												5					1									0,5

																											S=							0,833732										0,733732												0,786231										0,783731528						0,785398153

(С) ИиКМ РХТУ апрель 2004г. Калинкин Владимир Николаевич	1
Решение уравнения с одним неизвестным
Дано уравнение в виде f(x)=0, где f(x) некоторая функция переменной x. Число x* называется
корнем или решением данного уравнения, если при подстановке x= x*	в уравнение последнее
обращается в тождество. f(x)=0. Число x называют также нулем функции y=f(x).

В общем случае уравнение может иметь одно или несколько корней, как действительных, так и комплексных. Нахождение действительных корней с заданной точностью можно разбить на два этапа. Сначала корни отделяются, т.е. определяются отрезки, которые содержат по оному корню уравнения; а затем вычисляются с требуемой точностью ε. Отделение корней уравнения f(x)=0, в области определения, непрерывной функции f(x), можно осуществлять несколькими способами: табулированием - составлением таблицы из равноотстоящих значений независимой переменной и соответствующих значений функции и определение отрезков в которых смежные значения функции имеют различные знаки и следовательно содержат нулевые значения функции. строим график функции на и определяем минимальные отрезки, включающие точки пересечения графика функции с осью 0x.

уравнение f(x) заменяем равносильным ψ(x)= φ(x) строят графики функций ψ(x) и φ(x). Определяют минимальный отрезок содержащий точку пересечения графиков функций.

пример f(x) = 3*sin(2*x)-1.5*x-1=0 ψ(x)=3*sin(2*x) φ(x)=1.5*x+1

x	f(x)	ψ(x)	φ(x)
-2,000	4,270	2,270	-2,000
-1,600	1,575	0,175	-1,400
-1,200	-1,226	-2,026	-0,800
-0,800	-2,799	-2,999	-0,200
-0,400	-2,552	-2,152	0,400
0,000	-1,000	0,000	1,000
0,400	0,552	2,152	1,600
0,800	0,799	2,999	2,200
1,200	-0,774	2,026	2,800
1,600	-3,575	-0,175	3,400

			4
			3	5
			2	4
			2	3
			1	3
			1	2
-3	-2	-1	0	01		1	2
			-1	0			ψ(x)
-3	-2	-1	-2	-1	0	1	φ(x)	2
			-3	-2		f(x)
			-4	-3		f(x)
			-4	-3
				-4

			4
			3
			2
			1
			0
-3	-2	-1	-1 0	1	2
					ψ(x)
			-2		φ(x)
			-3
			-4

Уточнение корня на отрезке [a,b], в котором локализован только один корень, осуществляется итерационными методами, в которых последовательно, шаг за шагом, производится уточнение начального приближения корня. Итерацией называется совокупность вычислительных операций, приводящих к новому приближенному значению корня. Если каждое последующее значение находится все ближе к точному значению, говорят, что метод сходится. В противном случае метод расходится. Поэтому возникает необходимость исследования сходимости итерационного метода. Общая итерационная формула вычисления очередного приближения имеет следующий вид xk+1=xk+h, где k=0,1,2,3,… За начальное приближение x0 принимают значение внутри заданного отрезка. Все методы уточнения корней различаются способами вычисления поправки h.

(С) ИиКМ РХТУ апрель 2004г. Калинкин Владимир Николаевич

Метод половинного деления.

В этом методе на каждой итерации отрезок содержащий корень делится пополам и за новый отрезок для уточнения принимается одна из половин.

Алгоритм.

1.Задаем функцию f(x), отрезок [a,b] и точность ε.

2.За начальное приближение принимаем левую границу отрезка [a,b] т.е. x =a.

3.Вычисляем поправку h=(b-a)/2 и новое приближение x=x+h

4.Если f(x) = 0, то x – корень.

5.В противном случае, определяем новый отрезок [a,b]. Проверяем, если f(a)*f(x)>0, то a=x и b=b, иначе (f(a)*f(x)<0), то a=a и b=x. Далее проверяем условие окончания, если | h | ≤ 2ε, то за ответ принимаем значение равное x=(a+b)/2 и переходим на пункт 6, иначе переходим на пункт 2.

6.выводим x и f(x).

Блок-схема

начало

a, b, ε || f(x).

x := a

f(a)*f(x)>0

h := (b-a)/2 x := x+h

b := x					a=x

f(x) = 0

| h | ≤ 2ε

x := (b+a)/2

				x, f(x)


				конец
Решим предыдущий пример при a= -1.6					b= -1.2 и ε= 0.01 т.е. 2ε = 0.02

a	b	h	x	f(a)	f(x)
-1,6	-1,2	0,2	-1,4	1,575	0,095
-1,4	-1,2	0,1	-1,3	0,095	-0,597
-1,4	-1,3	0,05	-1,35	0,095	-0,257
-1,4	-1,35	0,025	-1,375	0,095	-0,082
-1,4	-1,375	0,0125	-1,3875	0,095	0,006
-1,3875	-1,375		-1,38125		-0,038
x=-1,38125±0.01		f(x) = -0,038 (невязка)

(С) ИиКМ РХТУ апрель 2004г. Калинкин Владимир Николаевич

Метод Ньютона или касательных.

В этом методе, на каждой итерации, за новое приближение к корню xk+1 принимается точка пересечения касательной к графику, построенной в точке f(xk) с осью x. За начальное приближение к корню x0 принимаем одну из границ отрезка [a; b], содержащего один корень. Если новое приближение выходит за границы интервала, то надо выбрать новое начальное приближение и если это не помогает надо попробовать уменьшить отрезок поиска в два раза и повторить поиск методом Ньютона.

Графическая иллюстрация.

40
30					f(x0)
					f(x0)
20
10		f(x2)	f(x1)
10				β
				β
0
0	1	2	3	4	5	6	7
-10		x2	x1		x0
-20
-30
-40
Вычислим значение приближения x1.

Обозначим h0 = x0-x1 и x1 = x0-h0, тогда тангенс угла β (касательной в точке f(x0) и осью x) равен

tg(β) =	f (x0 )	= f '(x ) и h =		f (x0 )	и окончательно x1 = x0 – h0 = x0 -	f (x0 )


	h	0	0	f '(x0 )		f '(x0 )

аналогично рассчитываются последующие приближения к корню x2, x3, x4, ……..

алгоритм

1.Задаем функцию f(x) отрезок [a;b] и точность ε. За начальное приближение x принимаем одну из границ заданного отрезка [a,b] x=b.

2.Вычисляем приращение значение шага h, как h = ff '((xx)) и новое приближение, как x = x-h.

3.Проверяем если a ≥ x ≥ b , то x = a и повторяем с пункта 2.

4.Иначе проверяем условие окончания если | h | ≤ ε, то выводим последнее значение x и f(x). Иначе перейдем на пункт 2

(С) ИиКМ РХТУ апрель 2004г. Калинкин Владимир Николаевич

Блок схема:

начало

x, ε || f(x).

h :=f(x)/f’(x) x := x-h

нет

да

нет

да

a≤ x ≤b

| h | ≤ ε

Задать новое

x, f(x)

начальное

приближение

конец

Пример a = -1.6 b = -1.2 ε = 0.01 f(x)=3sin(2x)-1.5x-1 f'(x)=6cos(2x)-1.5 x=a=1.6

x	f(x)	f'(x)	h	(x)
-1,6	1,57512243	-7,48976865	-0,21030322	-1,38969678
-1,389696780,02155069		-7,11071928	-0,00303073	-1,38666605

Ответ: x = 1,38666605 0.01 f(x)=0,0000012

Метод простых итераций.

Пусть задано нелинейное уравнение f(x)=0, отрезок [a;b], который включает корень данного уравнения, т.е. f(a)*f(b)<0 и точность ε, с которой требуется уточнить значения корня. Преобразуем исходное уравнение к эквивалентному виду x=ϕ(x). Последовательность x0, x1, x2, ……,xi,… называть итерационной, где xi+1 выражается через элемент xi по рекуррентной формуле xi = ϕ (xi-1), т.е. x1 = ϕ (x0), x2 = ϕ (x1), x3 = ϕ (x2),…… за x0 принимают любое число на заданном отрезке [a;b]. Говорят, что итерационный метод сходится, если последовательность {xi} имеет

предел при i → ∞ . Для определения условия сходимости определим ∆xi = xi+1 - xi = ϕ(xi)- ϕ(xi-1) и применим теорему о среднем, тогда xi+1 - xi = ϕ’(ξ)*(xi - xi-1). Необходимо чтобы модуль разности

уравнения x2=a можно положить ϕ(x)=a/x или ϕ(x)=(1/2)(x+a/x) и соответствующие итерационные формулы будут иметь вид xi+1=a/xi и xi+1=(1/2)(xi +a/xi). В первом случаи метод не сходится, а во втором сходится.

(С) ИиКМ РХТУ апрель 2004г. Калинкин Владимир Николаевич	5
Общий подход для получения итерационной формулы f(x)=0; помножим обе части
уравнения на множитель β, получим βf(x)=0 и прибавим к обеим частям по x. Окончательная
итерационная формула будет иметь вид x= x+βf(x). Функция ϕ(x)= x+βf(x);	ϕ’(x)=1+βf’(x);

|1+βf’(x)|<1;

-1 < 1+βf’(x) < 1; -2 < βf’(x) < 0. Мы должны выбрать максимальную по модулю производную на

заданном отрезке. Тогда, если |f'(b)|>|f'(a)|

β = -2/f’(b),

иначе β = -2/ f”(a)

начало

a,b,ε || f(x),f’(x)

|f’(b)|>|f’(a)|

β := -2/f’(a)

β := -2/f’(b)

x:=a

x:=b

h:= βf(x) x := x+h

a≤ x ≤b

Задать новое

начальное | h | ≤ ε приближение

x, f(x)

конец

Пример:
f(x) = 3sin(2x)-1.5x-1		f'(x)=6cos(2x)-1.5		ε=0.01 a = -1,6	b = -1,2
f'(a) = -7,489		f'(b) = -5,924	λ = 0,267 ≈ 0.2
xi+1 = xi +λ(3sin(2x)-1.5x-1)

	i	xi	f(xi)	h	ϕ(xi)

0-1,6 1,57512243 0,315024486-1,28497551

1-1,28497551-0,69557695 -0,13911539 -1,4240909

2-1,4240909 0,2684794250,053695885-1,37039502

3-1,37039502-0,11487989 -0,02297598 -1,393371

4-1,393371 0,0477055050,009541101-1,3838299 -1,3838299 -0,02009317

Ответ: x = -1,384±0.01

f(x) = -0,020

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке PDF

#
07.01.201453.48 Кб43SLNE.pdf
#
07.01.201425.08 Кб43TANGENT.pdf
#
07.01.20149.35 Mб1242VBA Для чайников.pdf
#
07.01.201431.71 Кб44ZEIDEL.pdf
#
07.01.201450.13 Кб46Вопросы по вычислительной математике.pdf
#
07.01.20141.07 Mб47Лекции.pdf
#
07.01.201462.4 Кб44План лабораторных работ по ВМ.pdf