Лекции - Калинкин - 2004

Лекция –6

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

В общем виде СЛАУ можно записать в следующем виде

Используя выше приведенные определения запишем СЛАУ в матричном виде.

в систему обращает каждое уравнение этой системы в тождество. Классификация СЛАУ

1.Если число уравнений больше чем число неизвестных, т.е. n>m СЛАУ называется переобусловленой

2.Если число уравнений меньше чем число неизвестных, т.е. n<m СЛАУ называется недообусловленой

3.Если число уравнений равно числу неизвестных т.е. n=m СЛАУ называется нормальной

→→

4.Если вектор свободных членов равен нулю b = 0 . СЛАУ называется однородной

→→

5.Если вектор свободных членов не равен нулю b ≠ 0 . СЛАУ называется неоднородной

6.Если система, имеет хотя бы одно решение, она называется совместной. Система не имеющая решений, называется несовместной.

7.Совместная система, имеющая единственное решение, называется определенной, а имеющая бесчисленное множество решений, называется неопределенной.

→ →

Очевидно, что однородная система всегда совместна, так как имеет хотя бы одно решение x = 0 , которое называется тривиальным примеры графической интерпретации:

Методы решения СЛАУ Все методы решения систем линейных алгебраических можно разделить на две группы: точные и итерационные.

Точные методы позволяют получить решение путем выполнения определенного и точного количества арифметических операций. При этом погрешность решения определяется лишь точностью представления исходных данных и точностью вычислительных операций.

2.Преобразуем все строки, расположенные ниже k-ой так, чтобы элементы cik=0, для этого вычисляем множитель β=-сi,k/ck,k и каждую i-ую строку заменяем суммой i–ой и k-ой

3.Проверяем k = n-1 если нет то выбираем новую ведущую строку k=k+1 и переходим на пункт 2, иначе выполняем пункт 4.

4.Обратный ход. из последнего n-ого уравнения определяем последнее n-ое неизвестное.

xn=cn,n+1/cn,n

5.Последовательно, из предыдущих уравнений начиная с i=n-1, вычисляем соответствующие

неизвестные xi. Последним, определяется первое неизвестное из первого уравнение.

n

(ci,n−1 − ∑ci, j * x j )

Option Explicit

Option Base 1

Sub Gauss()

Dim n%, c!(), x!()

Dim i%, j%, k%, bet!, s!

n = Cells(1, 1): ReDim c(n, n + 1), x(n)

For i = 1 To n: For j = 1 To n + 1: c(i, j) = Cells(i + 1, j): Next j: Next i For k = 1 To n - 1

For i = k + 1 To n

bet = -c(i, k) / c(k, k) For j = k To n + 1

c(i, j) = c(i, j) + bet * c(k, j) Next j

Next i Next k

x(n) = c(n, n + 1) / c(n, n) For i = n - 1 To 1 Step -1

s = 0

For j = i + 1 To n

s = s + c(i, j) * x(j) Next j

x(i) = (c(i, n + 1) - s) / c(i, i) Next i

For j = 1 To n: Cells(n + 3, j) = x(j): Next j End Sub

Пример:

Реально вычисления проводятся на ЭВМ с ограниченной разрядной сеткой, поэтому точность решения определяется суммарной погрешностью округления на промежуточных шагах вычисления. Погрешность результата, в основном, определяется значением ведущего элемента на каждом шаге прямого и обратного хода. Решить СЛАУ с учетом 4-х значащих цифр.

1.505*103*X2=1.504*103; X2=9.9933*10-1; ; X2=9.993*10-1 X1=(6.010*100-6.000*100*9.993*10-1)/(-1.000*102)=(6.010*100-5.9958*100)/(-1.000*10-2)= (6.010*100-5.995*100)/(-1.000*10-2)=1.5*10-2/(-1.000*10-2)=-1.5*100

Приведенный пример показывает, что на каждом шаге преобразования следует подбирать ведущий элемент ckk. Для этого используются модификации метода Гаусса. В модификации с частичным выбором на k-ом шаге прямого хода в качестве ведущего выбирается наибольший по модулю элемент из неприведенной части k-ого столбца, т.е. ckk=maxi|cik|, i=k,k+1,k+2,…,n

И строка, содержащая этот элемент, переставляется с k-ой строкой расширенной матрицы. При полном выборе в качестве ведущего элемента выбирается максимальный по модулю элемент из всей неприведенной части матрицы коэффициентов системы, ckk=maxij|cij|, i,j=k,k+1,k+2,…,n Для этого осуществляется необходимая перестановка как строк, так и столбцов в расширенной матрице коэффициентов. При этом следует помнить, что перестановка столбцов равносильна переименованию неизвестных.

Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений.

Если система плохо обусловлена, то это значит, что погрешности коэффициентов матрицы и свободных членов или погрешность округления при расчетах могут сильно исказить решение.