Лекции - Калинкин - 2004

Лекция 1

Процесс решения задачи можно разбить на следующие этапы.

1.О Б Ь Е К Т. Постановка задачи. Экспериментальное исследование физико-химического процесса или объекта и определение основных законов управляющих данным объектом или процессом.

2.М О Д Е Л Ь. Построение математической модели (математическая формулировка задачи) - запись законов описывающих процесс в форме уравнения или системы уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных и т.д.).

3.А Л Г О Р И Т М. Разработка численного метода и алгоритма (блок-схема). Поскольку ЭВМ не понимает постановки задачи в математической формулировке, то для решения задачи необходимо найти численный метод, позволяющий свести задачу к некоторому вычислительному алгоритму. Алгоритм можно изобразить в виде блок-схемы.

4.П Р О Г Р А М М А. Алгоритм решения задачи записывается на понятном машине языке в виде точно определенной последовательности операций - программы для ЭВМ. Составление программ (программирование) обычно производится с помощью промежуточного (алгоритмического) языка. В качестве такого языка будем использовать VBA(Visual Basic for Applications).

5.Проведение вычислений и анализ результатов.

Запись алгоритмов в виде блок-схем и написание программ

основные типы алгоритмов

2

2

1

нет да

3

2

3

нет да

6

5

пример алгоритмов и программ

Переменные и константы используются для хранения необходимых программных данных, которым даются уникальные имена (идентификаторы). Переменные получают свои значения во время выполнения программы и сохраняют их, пока им не будут присвоены новое значение. Константы применяют в случаях, когда требуется много раз использовать в программе одно и тоже значение. Обычно, перед использованием переменных и констант необходимо произвести их объявление – т.е. заранее указать их имена и типы данных, для которых они предназначены, а для констант и их значения.

Литейный алгоритм. Вычислить значения констант скорости реакции по уравнению Арениуса для двух значений температур, полагая известными энергию активации Ea и

предэкспоненциальный множитель k0 .

−Ea

k = k0 e RT

k1 ,k2 6

Кон.

Разветвляющий алгоритм. Решить квадратное уравнение ax2 +bx +c = 0

Вычисляем значение дискриминанта

D = b2 −4ac

x_average=s/n cells(2,2)=x_average

End Sub

Вычислить значения констант скорости реакции по уравнению Арениуса в зависимости от температуры ( от T-нач. до T-кон. в n+1 точке)-Табуляция.

−Ea

k = k0 e RT

Полагая известными энергию активации Ea и предэкспоненциальный множитель k0 .

нач

− Ea

k = k0e RT

T_Big, T_End, T_Step | 1

T:=T_Big шаг T_Step до T_End | 2

T, k(T) | 3

кон

Const R = 8.314, K0 As Single = 55234, Ea As Single = 32000 Sub blok41()

Dim T_Big As Single, T_End As Single

Dim T_Step As Single, T As Single, i As Byte T_Big = Cells(2, 2): T_End = Cells(3, 2) T_Step = Cells(2, 4)

i = 6

For T = T_Big To T_End Step T_Step Cells(i, 1) = T: Cells(i, 2) = k(T)

i = i + 1 Next T

End Sub

Function k(T As Single) As Single k = K0 * Exp(-Ea / (R * T))

End Function

Лекция- 2

Теория погрешностей

Основная задача теории погрешностей состоит в оценке погрешности результата вычислений при известных погрешностях исходных данных.

Источники и классификация погрешностей результата

Получить точное значение при решении задачи на машине практически невозможно. Получаемое решение всегда содержит погрешность и является приближенным. Источники погрешности:

1.Погрешность математической модели.

2.Погрешность в исходных данных.

3.Погрешность численного метода.

4.Погрешность округления или отбрасывания.

Погрешность математической модели определяется выбором математической модели. Так для описания падения тела с высоты h0 и имеющего скорость v0 используются уравнения.

h=h0-v0*t-g*t2/2; v=v0+g*t. Если учитывать силу сопротивления F(t), действующую на тело массой m. Тогда движение можно описать с помощью уравнений: m*(dv/dt)= m*g - F; (dh/dt) = -v. при t=0, v = v0, h = h0.

Погрешность в исходных данных оределяется: погрешностью измерения или погрешностью вычислений, с помощью которых они были получины.

Погрешность численного метода определяется точностью выбронного численог метода и вычислительного средства. Sin(x) = x - x**3/3 + x**5/5 + x**7/7 + ....

Правила округления: Известны. Обратить внимание, что: если первая из отброшенных цифр равна 5 и все остальные отброшенные цифры являются нулями , то последняя оставшаяся цифра остается неизменной, если она четная ( правило четной цифры), и увеличивается на единицу, если она нечетная. При этом погрешность не превышает пяти единиц отброшенного разряда.

Пример: 6.71 - 6.7 ; 6.77 - 6.8 ; 6.75 - 6.8; 6.65 - 6.6

В ЭВМ происходит отбрасывание или усекание. В некоторых языках работают правила округления.

Особенности машинной арифметики

Вещественные числа в ЭВМ представляются в нормализованном виде. Это

экспоненциальный виде D = ± m b±n , где m - мантисса ,b-основание системы

счисления n – порядок. Мантиссу можно представить, как m = 0.d1 d2 d3 d4 .. .. .. dk , где d1#0, а к – определяет количество цифр в мантиссе и называют разрядной сеткой.

Для десятичной системы счисления D = ± m 10 ±n Примеры записи чисел при k=3:

В последних двух примерах цифры, выходящие за разрядную сетку отброшены. При этом погрешность округления не превышает единицы последнего оставленного разряда.

Выполнение операций над вещественными числами начинается и заканчивается выравниванием порядков. Если порядки различны - погрешность возрастает и может привести к потере точности.

Необходимо заметить, что при вычитании близких чисел происходит катастрофическое падение точности.

4. Относительные погрешности произведения и частного

5. Абсолютная погрешность дифференцируемой функции многих переменных u = f ( x1 , x2 ,K, xn)

y=5.5 δy=0.168

Обусловленность будем определять как отношене δ( y) / δ(x) . Так пример 1 хорошо обусловленδ( y) / δ(x) =2, а пример 2 прлохо δ( y) / δ(x) =20. Задачи с большим отношением δ( y) / δ(x) называют плохо обусловленными, иначе - хорошо обусловленными. Плохо

обусловленные задачи лучше не решать ,а подумать над другим способом представления модели , выбрать иной метод или изменить алгоритм . Часто это возможно.

3. Влияние способа записи формулы на точность результата.

Пример: Пусть требуется отыскать наитеньший корень уравнения y2-140y+1=0 Вычисления проводить с 4 разрядами

Лекция -3

Ошибки измерений Обработка результатов измерения одной величины.

Измерения, проводимые в опытах эксперимента, сопровождаются ошибками, ввиду конечной точности приборов и не идеальности условий эксперимента. Ошибки делятся на три типа.

1)Систематические

2)Грубые

3)Случайные

Ввиду наличия ошибок, точное значение измеряемой величина a установить не удается. Поэтому при n повторных измерений одной и той же величины a получают серию различных результатов x1, x2, x3, x4, . . ., xn и наиболее

вероятной оценкой измеряемой величины a будет являться среднее значение результатов серии.

Замена точного значения измеряемой величины a значением x влечёт ошибку, значение которой точно указать нельзя, а можно определить приближенно с необходимой доверительной вероятностью β. И нам надо определить величину

εβ в неравенстве a − x ≤εβ

Очевидно, εβ будет тем больше, чем с больше вероятностью β мы будем её

определять, чем грубее был проведен эксперимент и чем меньше n (количество опытов в серии измерений).

Для оценки качества измерений, вводят понятие дисперсии, которая вычисляется по формуле:

n

∑(xi − x )

Среднеквадратичным отклонением или стандартом называют величину равную

2

sx = sx В статистике доверительную ошибку вычисляют по формуле: