3. Классическое, статистическое, геометрическое определение вероятности.

Классическое: Вероятностью появления события А называют отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению этого события, к общему числу всех единственно возможных и несовместных элементарных исходов.

Статистическое: Статистической вероятностью события А называется относительная частота (частость) этого события, вычисленная по результатам большого числа испытаний.

Будем обозначать ее Р^*(А). Следовательно

Геометрическое: Если пространство элементарных событий содержит бесконечное множество элементов и ему можно поставить в соответствие некоторое геометрическое пространство, а вероятность каждого события зависит только от меры этого события, а не от его положения, то говорят, что на этом пространстве определена геометрическая вероятность. При этом вероятность каждого события А есть отношение меры А к мере U пространства элементарных событий.

Одним из недостатков классического определения вероятности является то, что оно предполагает конечное число возможных исходов испытаний. Иногда этот недостаток преодолевается использованием геометрического определения вероятности, т.е. находят вероятность попадания точки в некоторую область

G>g

На G на удачу бросается точка. Событие А состоит в попадании этой точки на фигуру g. Тогда вероятность этого события пропорционально площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G, ни от формы g.

Фигуру «g» называют благоприятствующей событию А, а область применения геометрической вероятности может быть n-мерной.

Вероятность события А есть отношение области g к области G: P(A)= S_g/S_G

4. Аксиоматическое определение вероятности (по Колмогорову). Свойства вероятности. Свойства вероятности для полной группы событий.

Пусть F – подмножество элементарных событий.

Мн-во R нзв алгеброй множеств, если выполн.след.требования:

1) алгебра мн-в содерж.достоверные события:

ΩF, ØF

2) F содерж.как само событие, так и противоположное ему:

если АF, то ĀF

3) С любыми 2-мя событиями алгебра содержит их объединение и пересечение:

АF, BF => ABF, ABF

4) Для конечного набора событий алгебра содержит их объединение и пересечение:

A_n – конечный набор событий

,

Если все 4 усл-я выполн., то F нзв -алгеброй.

Элементы мн-ва F нзв случайными событиями. Вероятностным пространством принято называть тройку символов: (Ω, F, P). F (-алгебра подмн-ва Ω) нзв случ.событиями. Р(А) – вероятность, опред.на -алгебре.

Аксиоматическое определение вероятности: Вероятностью соб.А нзв ф-ция Р(А), определенная на -алгебре F, удовлетв. след. аксиомам вер-ти:

1. Р(А) ≥ 0 ; неотрицательность

Каждому соб.А F ставится в соответствие неотрицательное число Р(А), называемое его вер-тью.

2. Р(Ω) = 1, Ω - достоверное событие ;

Вер-ть достовер.события равна 1.

3. Для любых попарно несовмест.событий А₁, А₂…A_n справедливо след.рав-во:

Р(A₁+A₂+…A_n)=P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_n)

4. Если послед-ть А₁, А₂…A_n такова, что каждое последующее ведет за собой предыдущее, и произведение событий есть невозможное событие, имеет место рав-во:

Осн.св-ва вероятности:

Если вер-ть соб.А Р(А)=1, но соб. АΩ, то говорят, что соб А в опыте G происходит почти наверное.

Если вер-ть соб.А Р(А)=0, но соб. АØ, то говорят, что соб А в опыте G почти никогда не происходит.

Ω=Ø+Ω По аксиоме 3: Р(Ω)=Р(Ø)+Р(Ω)

1) Вер-ть невозможного соб.равна 0

Р(Ø) = 0

2) Если вер-ть соб. Р(А)=1, то отсюда не следует, что соб.А явл.достоверным

3) Если вер-ть соб. Р(А)=0, то отсюда не следует, что соб.А явл.невозможным

4) Если соб.А влечет за собой соб.В, то

АВ => P(A)P(B)

Док-во: Если вер-ть монотонна, то Р(А)=Р(В). В=А+В\А; А(В\А)=Ø т.к. А и В\А несовместны. По аксиоме 1 и 3 Р(В)=Р(А)+Р(В\А)Р(А)

5) Каково бы ни было случ.соб. А, его вер-ть неотрицательна и не больше 1.

0Р(А)1

Док-во: АΩ. По св-ву 4: Р(А)Р(Ω)=1. По св-ву 1: 0Р(А)

6) Вер-ть суммы 2-х произвольных событий А и В  F выражается формулой:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Док-во: А+В=А+(В-АВ)

В=АВ+(В-АВ)

По аксиоме 3: Р(А+В)=Р(А)-Р(В-АВ)

Р(В)=Р(АВ)+Р(В-АВ)

=> Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

7) Р(А+В)Р(А)+Р(В) (по св-ву 6, Р(АВ)0)

8)

Если соб. А₁, А₂…A_n несовмест., тогда нерав-во переходит в рав-во

Вер-ть суммы нескольких несовмест.соб.равна сумме их вер-тей.

9) Если А и В F и АВ=Ø, то Р(С(А+В))=Р(СА)+Р(СВ)

Док-во: (СА)(СВ)=Ø, т.к. АВ=Ø

С(А+В)=СА+СВ => (по аксиоме 3) Р(С(А+В))=Р(СА+СВ)=Р(СА)+Р(СВ)

Св-ва вероятности для полной группы событий

Соб. Н₁, Н₂…Н_n в некоем опыте G образ.полную группу несовмест.событий, если они попарно несовместны и в рез-те опыта произойдет хотя бы одно из событий Н_i.

Н₁+Н₂+…+Н_n =Ω

При этом соб. Н₁, Н₂…Н_n , к-рые имеют положит.вер-ть, нзв гипотезами.

10) Если соб. Н₁, Н₂…Н_n образ.полную группу, то

Р(Н₁)+Р(Н₂)+…+Р(Н_n) =Р(Н₁+Н₂+…+Н_n)=1

11) Для любого соб.А вер-ть противоположного соб.Ā определяется по формуле: Р(Ā)=1-Р(А)

Док-во: Ā= Ω/А, А*Ā= Ø – несовмест., А+Ā= Ω

Р(А+Ā)=1; по аскиоме 3: Р(А+Ā)=Р(А)+Р(Ā)=1

=> Р(Ā)=1- Р(А)