Mathcad - ЛР1

ORIGIN := 1

Функция, вычисляющая количество значащих цифр в записи,

получающая в качестве входных данных точное значение величины (True) и её приближенно вычисленное значение (Current)

true_digits(True, Current) := D ¬ True - Current Temp ¬ Current Current ¬ Current k ¬ 10

i ¬ 0

while Temp ³ 0.1 if Temp ³ 1 k

i ¬ i + 1 k ¬ k×10

Temp ¬ Current - floor(Temp) Temp2 ¬ Temp

j ¬ 0

while floor(Temp) ¹ Temp2

∞

Задача 1.1. Дан ряд å an . Найти сумму ряда аналитически. Вычислить значения частичных сумм ряда n=0

N

SN = å an и найти величину погрешности при значениях N = 10, 102 , 103 , 104 , 105 . n=0

Теоретический материал.

Пусть a - точное значение, a * - приближенное значение некоторой величины. Абсолютной погрешностью приближенного значения a * называется величина

D(a*) = a - a* . Относительной погрешностью значения a * (при a ¹ 0)

Величины (a*) и δ (a*) называют верхними границами (или просто границами) абсолютной и относительной погрешностей.

Значащую цифру числа a *называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит одной второй единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Решение задачи средствами MathCAD:

Находим сумму ряда при N=10:

sum = 10.6857142857143

D(14, sum) = 3.31428571428572

Находим сумму ряда при N=100

sum = 13.5406593406593

D(14, sum) = 0.459340659340665

Находим сумму ряда при N=1000

sum = 13.9522150205149

D(14, sum) = 0.047784979485053

Находим сумму ряда при N=10000

sum = 13.9952021590164

D(14, sum) = 0.004797840983551

Находим сумму ряда при N=100000

sum = 13.9995200215991

D(14, sum) = 0.000479978400936

MT

Таблица 1 - Результаты вычислительного эксперимента:

Сарруса. В каждый из диагональных элементов матрицы A по очереди внести погрешность в 1%. Как изменился определитель матрицы А? Указать количество верных цифр и вычислить величину относительной погрешности определителя в каждом случае.

Функция, вычисляющая определитель квадратной матрицы по методу Сарруса:

Решение задачи:

det3(A) = -852

True := det3(A) Точное значение определителя (без внесенных возмущений)

Внесем погрешность в 1% последовательно в каждый из диагональных элементов матрицы A:

D(True, det3(A)) = 900.600000000006

d(det3(A) , D(True,det3(A))) = 18.5308641975288

true_digits(True, det3(A)) = 0 Количество верных цифр в записи

(True, det3(A)) = 1.24608000000002 × 103

δ(det3(A) , (True,det3(A))) = 3.16199756394632

true_digits(True, det3(A)) = 1 Количество верных цифр в записи

Вывод: В данном вычислительном эксперименте даже при однопроцентом возмущении некоторых элементов матрицы, в её определителе не оказалось в результате ни одной верной цифры. Это связано с тем, что погрешность вводилась в диагональные элементы, следовательно, даже

небольшая погрешность в некоторых случаях увеличивалась значительно (много операций умножения “неточного” числа на другие числа, достаточно большие по модулю). Наименьшая погрешность результата была достигнута при внесении наименьшего абсолютного возмущения, т.е. при внесении возмущения в наименьший из диагональных элементов.

Задача 1.3. Для заданной матрицы A найти обратную матрицу (если это возможно).

Затем в элемент a11 внести погрешность в 10% и снова найти обратную матрицу. Объяснить полученные результаты.

Исходные данные:

Вывод: До внесения возмущений в матрицу она имела определитель, равный нулю. Внесение абсолютной погрешности привело к изменению первого сомножителя в выражении, вычисляемом по правилу Сарруса. Определитель принял значение, отличное от нуля и вычисление обратной матрицы стало возможным.

Задача 1.4. Найти ранг заданной матрицы A. Затем внести погрешность в 0.1% а) в элемент a11;

Вывод: Ранг матрицы численно равен максимальной степени отличного от нуля минора матрицы. Минор четвертого порядка (т.е. определитель данной матрицы) является вырожденным (определитель равен нулю). Однако после внесения возмущения в первый её элемент определитель матрицы A принял значение, отличное от нуля (соответственно ранг матрицы стал равен четырем, т.к. минор четвертого порядка уже не являлся вырожденным). Но

после внесения одинаковых процентных возмущений во все элементы матрицы её ранг снова стал равным трем, т.е. минор четвертого порядка снова стал вырожденным. Это объясняется тем, что внесение одинаковых

процентных возмущений во все элементы эквивалентно умножению всех элементов матрицы на одно и то же число. Умножение матрицы на число не изменяет её ранг.