Mathcad - ЛР3

Динамика сходимости метода простой итерации

Вывод: В результате вычислительного эксперимента метод обеспечил получение результата при различных начальных приближениях, но процесс сходился к решению тем быстрее, чем ближе к корню находилось начальное приближение.

Задача 3.5. Создать программный модуль для решения нелинейной системы двух

переменных методом простых итераций. Локализовать ближайший к началу координат

решение (x* , y* ) заданной системы и найти его с точностью ε = 10−5 . Для этого привести заданную систему к виду удобному для применения метода простых итераций:

ì x = ϕ1 (x, y)

íîy = ϕ2 (x, y)

Попытаться решить уравнение методом простых итераций при различных

начальных приближениях (x(0) , y(0) ) , выбираемых на различных расстояниях и направлениях от искомого корня (рекомендуется рассмотреть 4-5 различных начальных приближений). Проанализировать полученные результаты: сошелся ли итерационный процесс к искомому корню (хотя бы для одного начального приближения сходимость должна иметь место)? Вывести и проанализировать таблицы, отражающие динамику сходимости (или расходимости, если она для каких-то начальных приближений имела

место) последовательных приближений {(x(n) , y(n) )} для каждого варианта начальных приближений. Сделать выводы.

При решении задания использовать критерий окончания итерационного процесса

вида

x(n+1) − x(n) < 1 −q q ε , где x(n) = (x(n) , y (n) ) .

Значение q, 0< q<1 определяется как верхняя оценка в достаточном условии сходимости итерационного процесса (которое должно выполняться для любых значений

(x, y) из некоторой области локализации искомого корня (x* , y* ) ):

Область локализации решения 0.1<x<0.33, 0.4<y<0.6

Приводим систему к виду х=f1(x,y), y=g1(x,y)

2x+y−4

g1(x,y) := 10 10

Находим частные производные функций f1 и g1 и их модули:

Находим приближенное решение системы и выводим последовательные приближения для нескольких начальных приближений:

Производим проверку полученного решения для всех выбранных начальных приближений:

fæèIter(f1, g1,0.1, 0.4, 0.37, 10− 5)1,Iter(f1 ,g1, 0.1, 0.4,0.37, 10− 5)2öø = 1.31375935286115 ´ 10− 5 fæèIter(f1, g1,0.1, 0.6, 0.37, 10− 5)1,Iter(f1 ,g1, 0.1, 0.6,0.37, 10− 5)2öø = -2.13393924965999 ´ 10− 5 fæèIter(f1, g1,0.33, 0.4, 0.37,10− 5)1, Iter(f1, g1,0.33, 0.4, 0.37, 10− 5)2öø = 2.53782046133466 ´ 10− 5 fæèIter(f1, g1,0.33, 0.6, 0.37,10− 5)1, Iter(f1, g1,0.33, 0.6, 0.37, 10− 5)2öø = 2.22947364765247 ´ 10− 5

gæèIter(f1, g1,0.1 ,0.4 ,0.37, 10− 5)1, Iter(f1 , g1, 0.1, 0.4, 0.37,10− 5)2öø = 1.96420551201726 × 10− 5 gæèIter(f1, g1,0.1 ,0.6 ,0.37, 10− 5)1, Iter(f1 , g1, 0.1, 0.6, 0.37,10− 5)2öø = −4.30491950487166 × 10− 6 gæèIter(f1, g1,0.33, 0.4, 0.37, 10− 5)1,Iter(f1 ,g1, 0.33,0.4 ,0.37, 10− 5)2öø = 3.25167641523905 × 10− 6 gæèIter(f1, g1,0.33, 0.6, 0.37, 10− 5)1,Iter(f1 ,g1, 0.33,0.6 ,0.37, 10− 5)2öø = −2.1477335474529 × 10− 6

Вывод: Итерационный процесс сходится к решению для всех выбранных начальных приближений. Скорость сходимости во всех случаях достаточно большая, но изменяется в зависимости от выбора начального приближения.