Mathcad - ЛР4-2

Задача 4_2.1. Функция y=f(x) задана таблицей значений y0, y1,...yn в точках x0, x1,...xn . Используя

метод наименьших квадратов (МНК), найти многочлен pm (x) = a0 + a1 x + ...+ am xm наилучшего

среднеквадратичного приближения оптимальной степени m=m* (среди возможных вариантов m =0,1,2,3). За оптимальное значение m* принять ту степень многочлена, начиная с которой величина остаточная

ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ:

1.Считать векторы x и y исходных данных.

2.Используя функцию mnk (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 4_2.В), найти многочлены Pm (x) , m=1,2,3 по методу

наименьших квадратов. Вычислить соответствующие им значения S(m) .

функции.

Теоретический материал:

Пусть функция y=f(x) задана таблицей своих значений: , i=0,1,-n. Требуется найти многочлен фиксированной степени m, для которого остаточная дисперсия

то фактически нужно подобрать набор коэффициентов , минимизирующий

функцию .

Используя необходимое условие экстремума, , k=0,1,-m получаем так называемую

нормальную систему метода наименьших квадратов: , k=0,1,-m.

Полученная система есть система алгебраических уравнений относительно неизвестных

. Можно показать, что определитель этой системы отличен от нуля, то есть решение существует и единственно. Однако при высоких степенях m система является плохо обусловленной. Поэтому метод наименьших квадратов применяют для нахождения многочленов, степень которых не выше 5. Решение нормальной системы можно найти, например, методом Гаусса.

Задача 4_2.2. Зависимость между величинами x и y описывается функцией y=f(x, a, b), где a и b –

неизвестные параметры. Найти эти параметры по табличным данным, сведя исходную задачу к линейной задаче метода наименьших квадратов.

Теоретический материал:

При эмпирическом (экспериментальном) изучении функциональной зависимости

одной величины у от другой х производят ряд измерений величины у при различных значениях величины х. Полученные результаты можно представить в виде таблицы, графика:

Задача заключается в аналитическом представлении искомой функциональной зависимости, то есть в подборе функции, описывающей результаты эксперимента. Свести исходную задачу к линейной задаче МНК можно, сделав подходящую замену переменных. Например, если исходная зависимость имеет вид

y =a+bx+2, то преобразовав данное равенство к виду (y-2)2 =a+bx

Для линеаризации данной зависимости необходимо произвести две замены переменных - т.к. мы видим, что не только функция являеться нелинейной, но и аргумент также нелинеен.

Замена переменных: t=y^2, x2=x^3

Задача 4_2.3. Функция y=f(x) задана таблицей значений y1 , y2 ,...yn в точках x1 , x2 ,...xn . Построить

кубический сплайн по заданным узлам и с его помощью восстановить пропущенное значение функции. На один чертеж вывести график сплайна и точечный график функции.

Теоретический материал:

В алгебраическом интерполировании при увеличении числа узлов увеличивается, как правило, степень интерполяционного многочлена. Кроме того, когда интерполирование выполняется для функций, не являющихся достаточно гладкими, интерполирование высокого порядка нецелесообразно. В этих случаях лучший результат может дать сплайн- интерполирование.

Пусть функция f (x) определена на отрезке [a,b] и известны ее значения в системе узлов a = x1 < x2 < ... < xn = b . Назовем функцию Sm (x) интерполяционным сплайном порядка m для функции f (x) , если выполнены следующие условия:

1) на каждом из отрезков [xk −1, xk ] (k=2,…,n) Sm (x) является многочленом степени m;

2)на всем отрезке [a,b] Sm (x) имеет непрерывные производные до порядка m-1;

3)Sm (xk ) = f (xk ) (k=1,…,n).

Примечание. Сплайн с такими дополнительными условиями называется естественным. Возможны и другие способы выбора дополнительных условий.

Зададим вектор - столбец свободных членов:

B= ç-0.428571428571429 ÷ çç 42.4285714285714 ÷÷

è -43 ø

Зададим главную и побочные диагонали в виде 3 массивов:

Сформируем из выше заданных массивов трехдиагональную матрицу:

A(d0, d1, d2,n) := for i Î 0.. n - 2 Ai , i ¬ d1i

for i Î 0.. n - 3 Ai+1, i ¬ d0i Ai , i+1 ¬ d2i

A

A := A(d0, d1,d2, n)