Добавил:

Mary Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный строительный университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Учебные пособия и методические указания / Определенный интеграл

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

04.01.2014

Размер:

573.19 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Q = 2π t2

x (t )

( x ' )2

+ ( y ')2

(3.4.)

∫

y = y ( x)

x = x (t )

Рис. 3.12

Рис. 3.13

3.12.

Найти

площадь

поверхности,

образованную

вращением

кривой

x = a cos3 t, y = a sin 3 t вокруг оси OX . (рис. 3.14)

Рис. 3.14

Учитывая симметрию кривой (астроида) относительно осей координат, достаточно найти поверхность, образованною ветвью астроида в первом координатном угле

0 ≤ t ≤ π , а полученный результат удвоить. 2

Решение:

Для решения воспользуемся формулой (3.3)

π
2
2	(t ) ( xt′)2 + ( yt				′)2 dt =
Q = 2π 2∫ y	(t ) ( xt′)2 + ( yt				′)2 dt =
0
x′ = −3a cos2 t sin t; y′ = 3sin2 t cos t
t			t
π											π
2										2
= 4π ∫ a sin3 t		9a2 cos4 t sin2 t + 9a2 sin4 t cos2 tdt = 4π a2 ∫ 3sin4 t cos tdt =
0									0
π						π
2				12		π	2
2							2
= 12a2π ∫ sin4 td (sin t ) =					π a2 sin5 t	2	=	12a	π		.
= 12a2π ∫ sin4 td (sin t ) =					π a2 sin5 t		=				.
0	5					0	5
0						0

3.13 Найти площадь поверхности, образованной вращениями линии x = y 3 вокруг оси

OY , y = 0, y = 1.(рис. 3.15)

		0											x
		0
					Рис. 3.15
Решение:
Используем (3.2)																			(1 + 9 y 4 )12 d (1 + 9 y 4 ) =
Q = 2π 1					x(y)	1 + (x′ )2				dy = 2π			1			dy =	π	1
													1	y 3	1 + 9 y 4		π	1
													∫	y 3	1 + 9 y 4			∫
			∫					y					∫		18			∫
								y
		0									(10		0	−1).				0
=	π		2	(1 + 9 y 4 )3 2			1	=	π
							1
												10
												10
18		3					0	27
18		3					0	27
3.14 Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси OX петли кри-
вой 9 y 2					= x(3 − x 2 ). (рис. 3.16)

Рис. 3.16

Решение:

Для верхней части кривой при 0 ≤ x ≤ 3 имеем: y = 1 (3 − x) x . 3

Отсюда dL = 1 + (y′)2 dx = x + 1 dx . 2 x

Используя формулу (3.1), получим

S = 2π ∫ 1 (3 − x) x ( x +1) dx = π ∫(3 − x)( x +1) dx = 3π .
3				3

0 3	2			3 0
0 3	2		x	3 0
3.15 Найти площадь		поверхности, образованной вращением одной арки циклоиды
x = a(t − sin t ),	y = a (1− cos t )			вокруг ее оси симметрии (рис. 3.17).

	B
0	πa	2π a	x
	Рис. 3.17
Решение:
	Искомая поверхность образуется вращением дуги OA вокруг прямой AB , урав-
нение которой x = πa . Принимая y			за независимую переменную и учитывая, что ось

вращения AB сдвинута относительно координатной оси OY на расстоянии πa , будем иметь (используя формулу (3.4)):

S = 2π ∫ (πa − at + a sin t )

(xt′)2 + (yt′)2

dt = 2π ∫ (πa − at + a sin t )2a sin

dt =

3 t

= 4πa

∫

π sin

− t sin

+ sin t sin

dt = 4πa

− 2π cos

+ 2t cos

− 4 sin

sin

2 3

= 8π

π −

3.3 Объем тела

3.3.1 Объем цилиндрических тел.

Объем V цилиндра, ограниченного сверху непрерывной поверхностью z = f ( x, y ) ,

снизу плоскостью z = 0 и с боков прямой цилиндрической поверхностью, т.е. ее обра-

зующая параллельна оси OZ , вырезающей на плоскости XOY	область S (Рис. 3.18)
V = ∫∫ f (x, y)dS	(3.5)
S

z	z = f ( x, y )

x	Рис. 3.18
3.17	Вычислить	объем	тела,	ограниченного	поверхностями
x = 0, y = 0, x + y + z = 1, z = 0 . (рис. 3.19)
	z
	1
			x + y + z = 1
	S		1 y
		x + y = 1
	1

Рис. 3.19

Решение:

V = ∫∫(1 − x − y)dydx ,

здесь S - заштрихованная на рис. 3.19 треугольная область –												есть проекция плоскости
x + y + z = 1 на плоскость XOY , ограниченная прямыми x = 0; y = 0; x + y = 1.
1	1−x	1	1		2	1−x		1	1	2		1

V = ∫ dx ∫ (1 − x − y)dy = ∫ y − xy −				y			dx =		∫ (1 − x)		dx =		.

0	0	0	2			0		2	0			8
												z = 9 − x2 и плоскостями
3.18 Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью
2x + y = 6, z = 0, y = 0 . (Рис. 3.20)

2x + y = 6

6 y

Рис. 3.20

Решение:

6−2 x

V = ∫∫(9 − x2 )dS = ∫ dx ∫

(9 − x2 )dy = ∫(9 − x2 )dx y

06−2 x = ∫(9 − x2 )(6 − 2x) dx =

54x − 2x2 +

(9 − x2 )2

= 67, 5.

x 2 + y 2 + z 2 = 9 и

3.19 Вычислить

объем

тела, ограниченного сферой

цилиндром

x 2

+ y 2 = 1 . (Рис. 3.21)

0	S	y
	1
		3

	x	Рис.
	x	3.21
	Решение:	3.21
	Решение:
	Вычислим объем части тела, расположенного выше плоскости XOY и удвоим его. Об-
	ласть S - круг x2 + y2 ≤ 1.
	V = 2∫∫ 9 − x 2 − y 2 ds .
	S

Перейдем к полярным координатам

V = 2 ∫ dϕ∫		9 − r2 rdr = − ∫ dϕ∫		9 − r2 d (9 − r 2 ) = −2π 2	(9 − r 2 )3 2		= 4π (27 − 8 8 ).
2π	1	2π	1			1

0	0	0	0	3		0	3

3.3.2 Вычисление объема тела с помощью тройного интеграла.

3.20 Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями hz = x 2 + y 2 ; z = h (рис. 3.22)

z z

					M (r,ϕ, z)
	h				z
			0			y
		y		r		y
		y		r
	h		ϕ
			ϕ
x			x
x	Рис. 3.22			Рис. 3.22 а
	Рис. 3.22			Рис. 3.22 а

Решение:

(x 2

+ y 2 )

Данное тело ограниченно снизу параболоидом z =

, сверху плоскостью

z = h проектируется в круг x 2

+ y 2

≤ h 2

плоскости XOY .

Используя цилиндрические координаты, в которых уравнение параболоида при-

r 2

x = r cosϕ

мет вид

z =

, объем тела равен

y = r sin ϕ

(рис. 3.22а)

z = z

r 2

2π

V = ∫∫∫dxdydz = ∫∫∫rdrdϕdz = ∫ dϕ∫ rdr ∫ dz = ∫ dϕ∫ h −

rdr =

r 2

2π

πh

−

∫ dϕ =

= ∫

dϕ =

2x2 = y, 2x + y + z − 4 = 0;

3.21.

Найти

объем тела,

ограниченного

поверхностями

4x + 2 y + z − 8 = 0 .

Здесь2x 2 = y

параболический

цилиндр

образующей,

параллельной оси OZ ,

2x + y + z = 4;

4x + 2 y + z = 8 - плоскости, пересекающие оси координат в точках (2,4,4)

и (2,4,8) соответственно. Очевидно, что обе плоскости пересекают плоскость XOY по одной и той же прямой y = 4 − 2x

4x +

2 y + z = 8

2x + y + z = 4

−2

y = 2x2

Рис. 3.23

Тело

R (Рис. 3.23) есть часть параболического цилиндра, ограниченного снизу

плоскостью z = 4 − 2x − y , а сверху – плоскостью z = 8 − 4x − 2 y . Область S

- (проек-

ция на ось XOY

отсеченного цилиндра) – сегмент параболы

y = 2x 2 , отсеченный пря-

мой y = 4 − 2x . Точки пересечения параболы с прямой определяются путем совместно-

го решения уравнений этих линий.

= −2, x2 = 1

y = 2x

= 4

− 2x x1

y = 4 −

y = 2x2

y2 = 2.

y1 = 8,

Объем тела R вычисляем по формуле:

∫∫∫

äëÿ

∫∫

8−4 x−2 y

y =4−2 x

V =

dV =

п о верхн о ст ь

âõî äà

x= −y2

−

+ 4

∫

dx=

∫

x(4 −y2dy− ) =

dxdy=

п о верхн о ст ь

âû õî äà

=x8 − 4y

− 2

4−2 x− y

−2

y=2 x2

(4 − 2x − y)2

4−2 x

= − ∫ dx

∫

(4 − 2x − 2x

) dx

= 2

4x − 2x

− x

= 16, 2.

−2

2 x

−2

(x2 + y2 );

3.22

тела,

z =

Вычислить

объем

ограниченного параболоидами

z = x2 + y2 +1. (рис. 3.24)

										1														y







							0					S			1
							0								1
							1
							1
						x
												Рис. 3.24
Решение:
S -	проекции тела R										на плоскость XOY -														круг радиуса = 1. Поверхность входа
z =	1	(x 2	+ y 2 ), поверхность выхода z = x 2																					+ y 2	+1.
z =		(x 2	+ y 2 ), поверхность выхода z = x 2																					+ y 2	+1.
	2		x2 + y 2 +1
									x2			+	y 2	1							2	+ y	2			x = r cosϕ
																					2		2

V = ∫∫dS					∫ dz = ∫∫dS z									+	= ∫∫					x							=

									1		(x2 + y 2 )											2		+1 dS =		x = r sin ϕ
									1		(x2 + y 2 )													+1 dS =
	S		1	(x2 + y 2 ) S				2									S
	S		1					2									S
			2
			2
2π		1	r		2							r	4		r	2		1				5π
2π		1			2								4			2		1

					+									+					=			.
= ∫ dϕ∫					+		1 rdr = 2π					8		+	2				=			.
0		0	2									8			2			0				4
0		0																0

3.3.3 Объем тел вращения.

Объем тела вращения. Объемы тел, образованных вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x), осью OX и двумя вертикальными прямыми x = a и x = b , вокруг оси OX , выражается формулой:

	b
Vx	= π ∫ y 2 dx	(3.6)
	a
Если же вокруг оси OY , то выражается формулой:
	b
Vy	= 2π ∫ xydx	(3.7)
	a
	В том случае, если объем тела, образованною вращениями вокруг оси OY фигу-
ры, ограниченной кривой x = g(x) , осью OY и двумя прямыми		y = c и y = d , то он
определяется формулой:
	d
Vy	= π ∫ x 2 dy	(3.8)
	c
	В более общем случае объемы тел, образованных вращением фигуры, ограни-
ченной кривыми y1 = f1 (x) и y2 = f 2 (x), при этом f1 (x) ≤ f 2 (x)		и прямыми x = a и

x = b вокруг координатных осей OX и OY , соответственно равны:

Vx = π ∫b ( y2	2 − y12 ) dx	(3.9)
a

b
Vy = 2π ∫ x ( y2 − y1 ) dx	(3.10)
a
В случае, если кривая задана в других координатах (полярных,	параметриче-

ских), то в формулах 3.6 – 3.10 следует так же перейти к соответствующим координатам.

3.23 Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной одной половиной синусоиды y = sin x и отрезком 0 ≤ x ≤ π оси OX , вокруг а) оси OX и

б) оси OY . (рис. 3.25) y

Vx = π ∫sin2 x = π

; Vy = 2π ∫ x sin xdx = 2π (−x cos x + sin x)

= 2π 2 .

x 2 + (y − b)2 ≤ a 2 ; (b ≥ a) , во-

3.24 Найти объем тора, образованного вращением круга

круг оси OX . (рис. 3.26)

−a

x a

Рис. 3.26

Решение:

y = b − a 2 − x 2

; y

= b + a 2 − x 2

Vx = π ∫ (b +

)2 − (b −

)2 dx = 4πb ∫

dx = 2π 2 a 2b.

a 2

− x

a 2 − x2

a 2 − x 2

−a

Пусть, объем тела получен в результате вращения сектора, ограниченного дугой

кривой

r = F (ϕ)

и двумя полярными радиусами ϕ = α,ϕ = β , вокруг полярной оси,

может быть вычислен по формуле:

Vr = 2 π ∫ r 3 sin ϕdϕ (3.11) 3 α

3.25 Найти объем тела, образованный вращением кривой r = a sin 2ϕ полярной оси. Решение:

				π				π				π
		2		2		4		2		32		4				64
Vr	= 2	2	π	∫	r 3 sin ϕdϕ =	4	πa3	∫	sin 2ϕ sin ϕdϕ =	32	πa 3	∫	sin 4	ϕ cos3	ϕ =	64	πa 3 .
Vr	= 2		π		r 3 sin ϕdϕ =		πa3		sin 2ϕ sin ϕdϕ =		πa 3		sin 4	ϕ cos3	ϕ =		πa 3 .
	3				3				3						105
				0				0				0
3.26 Вычислить объем тела, образованного вращением кривой															y = ctgx; π ≤ x ≤ π во-
															4			2

круг оси OX . (рис. 3.22)

		x
0	π /	4 π / 2

Рис. 3.27

Решение:

ππ

2	2	2		1					π	π	2
2		2					−1 dx = π (−ctgx − x)				2
V = π ∫ ctg xdx = π ∫									2	= π − .
									2

					2
π		π	sin			x			π	4
π		π	sin			x				4

								4
4		4

3.27 Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной параболой y2 = 8x и прямой x = 2 , вокруг этой прямой. (рис. 3.28)

		2 − x
0		x
		x
	x	2

				Рис. 3.28
Решение:
4	(2 − x)	2	4			y2		4			1		2		1		4		128
V = π ∫			dy = π ∫	2	−		dy = 2π ∫		4	−		y		+		y		dy =		π .
V = π ∫			dy = π ∫	2	−		dy = 2π ∫		4	−	2	y		+	64	y		dy =	3	π .
−4			−4			8		0			2				64				3

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Учебные пособия и методические указания

#
04.01.2014631.81 Кб141Векторная алгебра и аналитическая геометрия.doc
#
04.01.2014564.74 Кб94Неопределённый интеграл.doc
#
04.01.2014573.19 Кб95Определенный интеграл.pdf
#
04.01.2014137.92 Кб63Ряды.pdf
#
04.01.20142.27 Mб137Теория вероятностей.doc
#
04.01.2014392.19 Кб91Теория пределов.doc
#
04.01.20141.18 Mб100Элементы линейной алгебры.doc