Добавил:

Mary Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный строительный университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Учебные пособия и методические указания / Определенный интеграл

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

04.01.2014

Размер:

573.19 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

Решение:

Область S (проекция R на плоскость XOY ) - круг x2 + y2 ≤ 1 Поверхность входа z = 2 − x

Поверхность выхода z = 4 − 2x Следовательно, по (2.16)

		4−2 x
V = ∫ ∫ ∫dV = ∫ ∫dS		∫	dz = ∫ ∫dSz	2−x
				4−2 x
R	S	2−x	S

перейдем к полярным координатам

= ∫ ∫(2 − x)dS =

x = r cosϕ , y = r sin ϕ , r = 1 .

2π

cosϕ)

2π

= ∫dϕ∫(2 − r cosϕ)rdr = ∫ (r 2 − r

0 dϕ = ∫ (1− 1 cosϕ)dϕ

2.3.5. Вычислить объем эллипсоида (рис. 41)

= 1 .

−b

Рис. 41

= (ϕ − 1 sin ϕ) 3

2π = 2π

Решение:

Эллипсоид ограничен снизу поверхностью z = −c 1−

−

сверху поверхностью

z = c

−

Проекцией эллипсоида на плоскость XOY (область S ) является эллипс

= 1.

Тогда:

c 1−

−

b 1−

V = ∫ ∫ds

∫

dz = 2c∫ ∫

1−

−

ds = 2c ∫dx

∫

1−

−

dy =

−a

−c 1−

−

−b 1−

Так как при вычислении внутреннего интеграла x считается постоянной, то можно сделать следующую замену

y = b 1−

sin t;

dy = b

1−

cos tdt

, поэтому t меняется от − π доπ

Переменная y изменяется от −b

1−

до b

1−

2 2

( b 1−	x2	sin t = b	1−	x2	;	sin t = 1; t = π )
	a2			a2
						2

Подставим в интеграл новые пределы и значения переменных, получим:

V = 2c ∫

∫

−

− 1

−

sin2 t b 1

−

cos tdt

dx = 2cb ∫ (1−

)dx ∫ cos2 tdt =

−a

−

cbπ

∫

− x

)dx ∫ (1+ cos 2t)dt =

∫

− x

)dx =

x −

)

−a

−

−a

= 4abcπ

Ответ:

V =

4abcπ

Если a = b = c , то получим объем шара V =

π a3

2.3.6. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: сферой x2 + y2 + z2

= 1

и конусом z2 = x2 + y2 (z ≥ 0) (рис.42)

P (ϕ,θ, r )

Рис. 43

Рис. 42

Решение:

Для решения задачи перейдем к сферической системе координат (рис.43) x = r cosϕ sinθ

y = r sin ϕ sinθ

z= r cosϕ

∫∫∫f ( x, y, z ) dxdydz = ∫∫∫ f (r cosϕ sinθ, r sin ϕ cosθ, r cosθ ) r 2 sinθdrdϕdθ

R R

Тогда для нашей задачи имеем:

								2π	π				2π	π					2π	π
								2π	4			1	2π	4	1			1	2π	4
V = ∫ ∫ ∫dv = ∫ ∫ ∫r 2 sinθ drdϕdθ = ∫dϕ ∫ sinθ dθ ∫r 2 dr = ∫dϕ ∫ sinθ dθ (																r3 )	0 =		∫dϕ ∫ sinθ dθ =
															3	r3 )	0 =	3	∫dϕ ∫ sinθ dθ =
		R	R		1 2π		2	0	0	2π		0	0	0	3			3	0	0
		R	R					0	0			0	0	0					0	0
	1 2π			4								2	π
		∫dϕ(−cosθ )		π		∫ (−
=				0 =				+1)dϕ =			(1−		) = (2 −	2)
=				0 =	3		2	+1)dϕ =		3	(1−	2	) = (2 −	2)
3		0			3	0	2			3		2	3

Допустим, что 0 ≤ r ≤ 1, т.к. точка P на рис.43 является точкой сферы, а ее радиус

равен1. 0 ≤ θ ≤ π

т.к. S есть проекция на XOY круга радиуса 2 , этот круг - есть линия пе-

4					2
ресечения сферы и конуса т.е.

x2 + y2 + x2 + y2 = 1;	x2 + y2	=	1	есть круг с радиусом		2	, треугольник OFD - равно-
x2 + y2 + x2 + y2 = 1;	x2 + y2	=		есть круг с радиусом			, треугольник OFD - равно-
		2			2
бедренный т.к. OD2	= OF 2 + FD2 , следовательно DOF = π , а значит углы между
прямой OD и осью OZ = π					4
прямой OD и осью OZ = π
	4
2.3.7. Вычислить интеграл		∫ ∫ ∫(x2 + y2 )dV , где область R ограничена поверхностями

z = 4 − x2 − y2 , z = 3(x2 + y2 )

Поверхность z = 3(x2 + y2 ) и z = 4 − x2 − y2 представляют собой параболоиды враще-

ния с осью симметрии OZ		и вершинами соответственно в начале координат и в точке
(0, 0, 4) (рис.44).
	z
z = 3(x2 + y2 )	4
z = 3(x2 + y2 )		z = 4 − x2 + y2
		z = 4 − x2 + y2

0		y
	S	1
	S

Рис. 44

Найдем линию пересечения этих поверхностей

z = 3(x2 + y2 )

z = 4 − x2 − y2

Имеем

3(x2 + y2 ) = 4 − (x2 + y2 )

Откуда

x2 + y2 = 1

Проекция области, заключенной между параболоидами, на плоскость XOY представляет собой круг x2 + y2 = 1− S

													z =4−(x2 + y2 )	=∫∫(x									)dxdy z					z =4−(x2 + y2 )
∫ ∫ ∫(x	2		+ y	2	)dxdydz = ∫ ∫(x			2	+ y	2	)dxdy ∫ dz						2	+ y				2						z =4−(x2 + y2 )				=
∫ ∫ ∫(x			+ y		)dxdydz = ∫ ∫(x				+ y		)dxdy ∫ dz							+ y										z =3 x2	+ y	2	)	=
R						S							z=3( x2 + y2 )		S													(			)
R						S							z=3( x2 + y2 )		S
= 4∫∫(x2 + y2 ) 1− (x2 + y2 ) dxdy =
S
перейдем к полярной системе координат
x = r cosϕ,					y = r sin ϕ;
r = 1(x2 + y2					= 1)
						2π			1				2π	1			1						1		1	2π				2π
		2			2					3		5		1		4	1			6					1					2π
= 4∫ ∫r			(1− r )rdrdϕ = 4 ∫dϕ∫(r									− r )dr = 4 ∫dϕ(			r	−			r		)			= 4			∫dϕ =

														4			6						0		12						3
S						0			0				0	4			6								12		0				3
S						0			0				0														0
3. Приложение определенного интеграла в геометрии
3.1. Площадь плоской фигуры
3.1.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией y = (x2 + 4x)e−2 x																													и осью OX
						y
			−4				0					x
			−4				0
						S
							4, 76
												Рис. 3.1

Решение

S = − ∫(x2 + 4x)e−2 x dx =

−4

[Интегрируем по частям u = x2 + 4x , du = (2x + 4)dx

dV = −e−2 x dx :V = 1 e−2 x ] 2

=	1	(x2 + 4x)e−2 x			0 − ∫0 (x + 2)e−2 x dx =
	1

2					−4		−4				1
2					−4		−4
[еще раз u = x + z, du = dx,								dV = −e−2 x dx :V =				e−2 x ]
[еще раз u = x + z, du = dx,								dV = −e−2 x dx :V =				e−2 x ]
								2
	1					1	0		1
=		(x + z)e−2 x		−04 −			∫ e−2 x dx =			(5 + 3e8 )


2			2				−4	4

3.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной астроидой x = 2 cos3 t, ó = 2sin3t

(рис. 3.2)

	2


	0	S	2		x
					x


				Рис. 3.2
Решение:
Решение:
t2							π			π
t2	0				2				2
S = ∫ y (t )x'(t)dt = 4∫ 2sin 3t(−6 cos 2 t sin t)dt = 48∫ sin t cos2tdt = 6∫ sin2 2t(1+ cos 2t)dt =
t1	π				0				0
	2
π	π							π
2	2					3		π	3
2	2							2 =
= 3∫ (1− cos 4t)dt + 6∫ sin3 2t cos 2t = (3t −							sin 4t + sin3 2t)			π
= 3∫ (1− cos 4t)dt + 6∫ sin3 2t cos 2t = (3t −							sin 4t + sin3 2t)		2	π
0	0				4			0	2
0	0							0

3.3. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой (x2 + y2 )2 = 18xy (рис. 3.4)

Рис. 3.3

Решение:

Перейдем к полярным координатам

r 4 = 18r 2 cosϕ sin ϕ

r = 3

sin 2ϕ

2π

π 3

sin 2ϕ

dϕr 2

cos 2ϕ

= 9

S = 2∫ 2 dϕ

∫

rdr = ∫

= 9∫ sin 2ϕdϕ = −

3 sin 2ϕ

3.4.Найти площадь фигуры, ограниченной линией

x= t2 −1, y = t3 − t (рис.3.4.) (петля)

	S	y
	S
		1
		4
−1	1	0	x
−1	1	0
	2	1
		4

Рис. 3.4

Решение:

Ось OX - ось симметрии

0 ≤ z ≤ 1.

1	t2		0	= 8
S = −2∫ (t3 − t)2tdt = ∫ y (t )x '(t )dt = − 4(1 t5 − 1 t3 )
			1
0	5	3		15

	t1

3.5. Вычислить площадь заключенную между кривыми y = 2 − x2 ; y3 = x2 (рис 3.5.)

y = 2 − x2

y3 = x2

	−1		0	x
	−1		0	1
				Рис. 3.5.
Решение
y = 2 − x
		2
Решая систему	= x2		находим пределы интегрирования по координате x :
y3	= x2

x1 = −1, x2 = 1

1	y=2−x2	1	x3		3		1	2

S = ∫ dx ∫ dx = ∫ dx (2 − x2 − x2 / 3 ) = 2x −				−		x5 / 3		= 2

−1	y=x2 / 3	−1	3 5				−1	15

3.2.Площадь поверхности

3.6.Найти площадь части поверхности конуса z = x2 + y2 ,вырезанную плоскостями

y = x, y = 1, x = 0 (рис. 3.6.)

0	S	y
	S	1

y = x

Рис. 3.6

Решение

S = ∫∫ dq = ∫∫

1+ (zx' )2 + (zy' )2 ds

= Zx' =

; Z y' =

x2 + y2

y = x

dq = 1+

ds = 2ds = ∫∫ 2ds =

2 ∫ dx ∫ dy =

2 ∫ xdx =

+ y

3.7.Вычислить площадь полной поверхности тела, ограниченного параболами z = 2 − x2 − y2 ; z = x2 + y2 (рис.3.7.)

z = 2 − x2 − y2

z = x2 + y2

0 S

Рис. 3.7

Решение

S = 2∫∫ dq

z = x2 + y2 ; z 'x = 2x ; z 'y = 2y dq = 1+ 4x2 + 4 y2 dS

аналогично

z = 2 − x2 − y2 ; z′			= −2x;
		x
z′
z′	= −2 y; dq = 1+ 4x2 + 4 y2 dS
y

=2 2

проекция на плоскость XOY - S -есть круг x2

+ y2 = 1

перейдем

2π

(1+ 4r

S = 2∫∫

1+ 4x2 + 4 y2

2 ∫ dϕ∫

1+ 4r 2 rdr = 2

∫

полярным

координатам

3.8.Вычислить площадь параболы x2 + z2 + y = 8, отсеченной плоскостью

0	4	y
		8

x −2

Рис. 3.8

	)		dϕ = π	(		)
	)	0		(		)
2		1			5	5	−1
			3
			3

y = 4 (рис.3.8.)

Решение:

Уравнение поверхности запишем в виде y = 8 − x2 − z2

Проекция поверхности на плоскость XOZ (S ) - круг x2 + y2 ≤ 4 y 'x = − 2x ; y 'z = − 2z

	∫∫	x	z	∫∫
S =		1+ ( y ' )2	+ ( y ' )2 ds =		1+ 4x2	+ 4z2 dxdz =
	S			S

перейдем к полярной системе координат x = r cosϕ; z = r sin ϕ

=2∫π dϕ∫2 1+ 4r 2 rdr = π5 (1717 −1)

0 0

3.2.1. Площади цилиндрической поверхности

3.9. Найти площадь части цилиндрической поверхности x2 + y2 = 1, заключенной меж-

ду плоскостью z = 0 и поверхностью z = 4 − x2 (рис 3.9.)

x Рис. 3.9

Решение:

S = ∫ zdL =∫(4 − x2 )dL

L L

Уравнение окружности L ( x2 + y2 = 1) запишем в параметрическом виде x = cos t, y = sin t

dt = dt

dL =

(x' )2 + ( y ')2

S =

2π (4 − cos2 t )dt =

2π

4 −

1+ cos 2t

dt =

3,5t −

sin 2t

2π

= 7π

∫

3.10. Вычислить площадь части параболического цилиндра y = 2x , ограниченного плоскостями z = y; x = 2; z = 0 (рис.3.10)

z = y		x
0	2	x
	2

y =

Рис. 3.10

Решение:

x =

y2 ; dL = 1+ y2 dy

(1+ y2 )

= 1

(5 5 −1)

S = ∫ zdL = ∫ y 1+ y2 dy = 1

3/ 2

3.11. Найти площадь той части поверхности цилиндра x2 + y2 = a2 , которая вырезает-

ся цилиндром x2 + z2 = a2 (рис. 3.11)

x2 + z2

= a2

x2 + y2 = a2

Рис.3.11

Решение:

На рис.

3.11

изображена 1

часть поверхности. Уравнение поверхности имеет вид

y =

a2 − x2 ,

поэтому

dy = −

; dy = 0

a2 − x2

dy 2

2 =

dq = 1+

= 1+

− x

a2 − x2

Область интегрирования представляет собой четверть круга, т.е. определяется усло-

виями x2 + z2

≤ a2 ; x ≥ 0; z ≥ o,

тогда

a2 −x2

a2−x2

1 Q = ∫ dx ∫

dz = a ∫

dx = a∫ dx = a2

a2 − x2

3.2.2. Площадь поверхности вращения

Если поверхность образована вращением линии y = y ( x) , x [a, b]			вокруг оси
OX (рис 3.12), то ее площадь Q вычисляется по следующей формуле:
Q = 2π ∫ab y(x)		dx
	1+ ( y 'x )2		(3.1)

При вращении линии x = x ( y ) , y [c, d ]			вокруг оси OY (рис. 3.13.) формула определе-
ния площади вращения имеет вид:
d

Q = 2π ∫ x ( y ) 1+ (x 'y )2 dy			(3.2.)
c

Если линия задана параметрически уравнением x = x (t ) , y = y (t ) , t [t1 , t2 ] , то

площадь поверхности, образованной вращением ее относительно оси ox , определяется формулой:

Q = 2π t2	y (t )			dt
Q = 2π t2	y (t )	( x ' )2	+ ( y ')2	dt	(3.3)
∫		t	t
t1

а если вокруг оси OY ,то

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Учебные пособия и методические указания

#
04.01.2014631.81 Кб141Векторная алгебра и аналитическая геометрия.doc
#
04.01.2014564.74 Кб94Неопределённый интеграл.doc
#
04.01.2014573.19 Кб95Определенный интеграл.pdf
#
04.01.2014137.92 Кб63Ряды.pdf
#
04.01.20142.27 Mб137Теория вероятностей.doc
#
04.01.2014392.19 Кб91Теория пределов.doc
#
04.01.20141.18 Mб100Элементы линейной алгебры.doc