Добавил:

Mary Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный строительный университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Учебные пособия и методические указания / Ряды

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

04.01.2014

Размер:

137.92 Кб

Скачать

☆

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ

________________

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

________________

Кафедра высшей математики

Методические указания к выполнению расчетного задания по теме «Ряды»

для студентов заочной формы обучения

Москва 2007

-2 -

Со с т а в и т е л и

Доцент кандидат физико-математических наук Титова Т.Н.

- 3 -

Необходимый признак сходимости ряда.

∞

Если ряд ∑un сходится, то его общий член стремится к нулю при n → ∞ :

n =1

lim un = 0

n→∞

Следствие. Достаточное условие расходимости ряда.

Если lim un ¹ 0 , то ряд расходится.

n→∞

∞

2n2 -1

Пример.

Исследовать сходимость ряда ∑

т=0 3n2 + n + 2

2 -

2n 2 -1

Найдем

lim un

= lim

n 2

¹ 0

n→∞

n→∞ 3n 2 + n + 2

n→∞

Ряд расходится по достаточному условию расходимости.

	Первый признак сравнения.
Пусть даны два ряда с положительными членами
∞
∑un , un	> 0	(1)
n=1
∞
∑ vn , vn	> 0	(2)
n=1
Если для всех n выполняется неравенство		un ≤ vn ,

то из сходимости ряда (2) с большими членами следует сходимость ряда (1), а из расходимости ряда (1) с меньшими членами следует расходимость ряда (2).

Второй признак сравнения.

∞		∞
Пусть даны два ряда с положительными членами. ∑un , un	> 0 ,	∑ vn , vn	> 0 .
n=1		n=1

Если существует конечный, отличный от 0, предел отношения общих членов этих рядов:

lim	u n	= k, 0 < k < ¥,

n→∞ vn

то ряды ведут себя одинаково: сходятся или расходятся одновременно.

- 4 -

∞

+ 3n -1

Пример.

∑

n=1 7n5 - 2n2 + 4

un =

5n3 + 3n -1

Общий член ряда

7n5 - 2n2 + 4

Рассмотрим

5n3

, оставив в числителе и знаменателе un

старшие члены.

7n5

n 2

∞

Ряд ∑ vn =

∑

- ряд Дирихле, где p=2>1,

сходится.

n=1

n=1 n 2

5n3 + 3n -1

7n5

5 +

lim

= lim

n 2

= 1 ¹ 0.

- 2n 2 + 4

n→∞ vn

n→∞

5n3

7n5

n→∞

Следовательно, исходный ряд сходится по 2 признаку сравнения.

Признак Даламбера.

∞

Если для ряда с положительными членами ∑ un ,un > 0, существует предел отношения

n=1

последующего члена ряда к предыдущему при n → ∞ : lim

un+1

= ρ,

то при ρ > 1 ряд

расходится, при ρ < 1

ряд сходится, при ρ = 1

n→∞ un

требуется провести дополнительное

исследование.

∞

Пример.

∑

n=1 3n

Общий член ряда un

un+1 =

n +1

. Найдем

3n+1

lim

un+1

= lim

n +1

lim

n +1

= lim

(1 +

) ×

< 1,

следовательно, ряд

n+1

n→∞ un

n→∞ 3

n→∞

3 ×3 n→∞

n 3 3

сходится.

- 5 -

Радикальный признак Коши.

∞

Рассмотрим ряд с положительными членами ∑un . Пусть существует предел

n=1

= q.

lim n un

Тогда при

q<1

ряд сходится , при

q>1

ряд расходится, при q=1

n→∞

требуется провести дополнительное исследование.

∞

5n 2 − 3n + 1

Пример.

∑

3n 2 + 4n + 2

n=1

Найдем

5 −

− 3n + 1

− 3n +1

lim

= lim

> 1.

→∞

3n + 4n + 2

→∞ 3n

+ 4n + 2

→∞

3 + +

Ряд расходится.

Интегральный признак Коши.

∞

Пусть члены ряда ∑un положительны и не возрастают: un ³ un+1 , n = 1,2,...

n=1

Пусть существует непрерывная невозрастающая функция f(x) на интервале[1, ∞) такая,

что f(n)= un , n = 1,2,...

∞

Тогда несобственный интеграл ∫ f (x)dx и ряд ведут себя одинаково (оба сходятся или

оба расходятся).

∞	1
Пример. ∑	1


n=1 (n + 1) ln(n + 1)
Заменив в общем члене un		n на x, получим функцию f(x)=		1		, монотонно

			(x + 1)
			(x + 1)		ln(x + 1)
убывающую при x Î[1, ¥).		Исследуем несобственный интеграл

- 6 -

∞

∞ d ln(x +1)

∫

= ∫

= 2 ln(x + 1)

1∞ = lim 2 ln(x +1) − 2 ln 2 = ∞,

(x +1)

ln(x + 1)

x→∞

интеграл расходится, следовательно, ряд тоже расходится.

Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда.

∞

Если знакопеременный ряд∑un

таков, что ряд, составленный из абсолютных величин

n=1

∞

его членов

∑| un |

сходится, то и данный ряд тоже сходится.

n=1

∞ cos n

Пример.

∑

(1)

n=1 3n

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда

∞

cos n

∑|

(2).

n=1

| cos n |

∞

Общий член ряда

| un |=

≤

= vn . Ряд ∑ vn сходится ( геометрическая

n=1

прогрессия со знаменателем q =

< 1).

Следовательно, ряд (2) сходится по 1 признаку

сравнения, а ряд (1) сходится абсолютно.

Признак Лейбница.

∞

Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда ± ∑ (−1)n+1 un , где

n=1

un > 0, n = 1,2,..., монотонно убывают: un > un+1 , n = 1,2,...,

общий член ряда стремится к нулю: lim un = 0 , то ряд сходится.
				n→∞
При этом сумма ряда S удовлетворяет неравенству: \|S\| ≤ u1.
	∞		n
Пример.	∑	(−1)		(4)

	n=1 (5n + 1)3

Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов данного ряда

- 7 -

		∞	1
		∑	1			(5)

				3
		n=1 (5n +1)		3
Общий член ряда (5) un =					1		<	1	.
Общий член ряда (5) un =					(5n +1)3		<		.
					(5n +1)3			n3
∞	1
Ряд ∑		- ряд Дирихле,			p= 3 >1,			сходится.
Ряд ∑		- ряд Дирихле,			p= 3 >1,			сходится.
n=1 n3

Следовательно, ряд (5) сходится по 1 признаку сравнения, ряд (4) сходится абсолютно.

∞

(-1)n+1

Пример.

∑

(6)

n=1

(n +1) ln(n +1)

Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов данного ряда:

∞

(7)

n∑=1 (n +1) ln(n +1)

Исследуем ряд (7) по интегральному признаку Коши,

f(x) =

- монотонно убывает на интервале [1,+∞.)

+1) ln(x +1)

∞

∞ =

∫

d ln(x +1)

= ln | ln(x +1) |

lim ln | ln(x +1) | -ln(ln 2) = ¥.

1 (x +1) ln(x +1)

1 ln(x +1)

x→+∞

Интеграл расходится, следовательно, ряд (7) расходится. Исследуем ряд (6) на сходимость по признаку Лейбница. Члены ряда (6) монотонно убывают по модулю, так как y= f(x)

монотонно убывает,


	1
lim un = lim		= 0.
lim un = lim		= 0.
n→∞	n→∞ (n +1) ln(n +1)

Следовательно, ряд (6) сходится. Так как ряд из абсолютных величин (7) расходится, ряд

(6) сходится условно.

Степенные ряды.

Для отыскания интервала сходимости степенного ряда применяют признак Даламбера к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда.

	∞		x	n
Пример.	∑		x

		3			n+1
		3	n + 3 × 2		n+1
	n=1		n + 3 × 2

- 8 -

Общий член ряда из абсолютных величин

| un (x) |=

| x |n

3 n + 3

× 2n+1

3 n + 3 × 2n+1

| un+1

(x) |=

| x |n+1

3 n + 4 × 2n+2

lim

| un+1 (x) |

| un (x) |

n→∞

| x |n+1

× 2n+1

| x |n+1

2n+1

1 +

n + 3

| x |

lim

×3

= lim

| x | ×3

n→∞ 3 n + 4 × 2n+2

| x |n

n→∞ | x |n

n + 4 2n+2

n→∞

1 +

2 2

Пусть

| x |

< 1 Û| x |< 2 Û -2 < x < 2,

тогда степенной ряд абсолютно сходится по

признаку Даламбера. Пусть

| x |

> 1, тогда степенной ряд расходится по признаку

Даламбера. Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости.

При x=2

имеем ряд:

∞

∑

(8)

n+1

+ 3 ×

n +

n=1

n=1 2 n + 3

2 n=1

Ряд (8) - ряд Дирихле при p= 1 < 1, расходится.

При x=-2 имеем ряд:

∞

(-2)n

∞

(-1)n × 2n

∞

(-1)n

∑

= ∑

∑

(9)

n+1

n + 3 × 2

n=1

2 n=1

n + 3

Ряд (9) – знакочередующийся ряд. Члены ряда убывают по абсолютной величине:


\| un \|=	1		>\| un+1	\|=		1	для всех n= 1,2,…


3	n + 3			3		n + 4
		1
lim \| un \|= lim					= 0.

				3
n→∞		n→∞ 3 n +		3

Следовательно, по признаку Лейбница ряд сходится.

Ряд, составленный из абсолютных величин ряда (9)

∞

(-1)n

∞

∑

3 n + 3

2 n=1

n + 3

совпадает с рядом (8) , который расходится.

- 9 -

Следовательно, ряд (9) сходится условно.

Ответ: область сходимости [− 2,2). При x= -2 ряд сходится условно.

О Г Л А В Л Е Н И Е
Необходимый признак сходимости ряда. ...........................................................................	3
Первый признак сравнения...................................................................................................	3
Второй признак сравнения. ..................................................................................................	3
Признак Даламбера. ..............................................................................................................	4
Радикальный признак Коши.................................................................................................	5
Интегральный признак Коши...............................................................................................	5
Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда..............................................	6
Признак Лейбница.................................................................................................................	6
Степенные ряды.....................................................................................................................	7

Соседние файлы в папке Учебные пособия и методические указания

#
04.01.2014631.81 Кб141Векторная алгебра и аналитическая геометрия.doc
#
04.01.2014564.74 Кб94Неопределённый интеграл.doc
#
04.01.2014573.19 Кб95Определенный интеграл.pdf
#
04.01.2014137.92 Кб63Ряды.pdf
#
04.01.20142.27 Mб137Теория вероятностей.doc
#
04.01.2014392.19 Кб91Теория пределов.doc
#
04.01.20141.18 Mб100Элементы линейной алгебры.doc