I. Задача.

Имеются три одинаковые на вид урны. В первой урне – 2 белых и 1 черный шар, во второй – 3 белых и 1 черный, в третьей – 2 белых и 2 черных. Некто наудачу вынимает шар из урны. Найти вероятность того, что шар белый.

Решение. Событие А – извлечение белого шара.

Выдвинем гипотезы:

B₁ – шар выбран из первой урны;

B₂ – шар выбран из второй урны;

B₃ – шар выбран из третьй урны.

Гипотезы равновероятны, т.е. во всех случаях m=1, n=3.

P(B₁)=P(B₂)=P(B₃)=1/3.

Вероятность извлечения белого шара из первой урны –условную вероятность - найдем по формуле классического определения вероятности ( формула (1)), если m=2, n=3, P(А/B₁)=2/3;

из второй урны - m=3, n=4, P(А/B₂)=3/4;

из третьей урны - m=2, n=4, P(А/B₃)=2/4;

По формуле полной вероятности (2) находим вероятность появления события А

Р(А)=1/3*2/3+1/3*3/4+1/3*1/2.

Пусть теперь событие А произошло - из урны извлечен белый шар.

Найдем вероятность того, что этот шар извлечен из первой урны Р(В₁/А) по формуле (3).

Р(В₁/А)=(1/3*2/3)/Р(А).

Вычисления выполним на компьютере в программе EXCEL.

Для запуска программы EXCEL щелкнуть на кнопке Пуск-Программы –Microsoft Excel.

Выполнение работы.

1.В столбце А выделить ячейку А1, для этого подвести курсор мыши к ячейке и щелкнуть левой клавишей мыши. Записать с клавиатуры в ячейке А1 заголовок гипотезы В_i , нажать клавишу ENTER, ячейку A2 выделить, записать - В1, повторить для В2, В3. Чтобы разместить заголовок в две строки (или больше строк), нажмите клавиши ALT+ ENTER в том месте текста, где вы хотите перейти на другую строку. (Рис. 1).

Рис.1.

2. В столбце В записать : 1) заголовок в ячейке В1 - данные для расчета вероятностей гипотез(см.п.1), нажатием клавиши ENTER перейти к В2;

(Заголовок занимает ячейки В1-Е1. Объединение ячеек заголовка выполняется следующим образом: выделить мышью ячейки, содержащие текст; использовать команду меню Формат – Ячейки – Выравнивание.. В открывшемся окне щелчком мыши поставить точку – напротив окна центрировать по выделению.)

2) в ячейке В2 записать символы n= .

3. Выделить ячейку С2, записать число, равное значению n (см.п.1).

4. Выделить ячейку D2(см.п.1), записать заголовок m1= , в ячейках D3, D4 соответственно записать заголовки m2= , m3= .

5. В ячейках Е2-Е4 записать соответствующие значения m_i.

6. В столбце G 1) в ячейке G1 записать заголовок данные для расчета условных вероятностей Р(Вi/А), 2) в ячейках G2 – G4 записать соответственно n1= , n2= , n3= (Рис. 2).

Рис.2.

7. В ячейках Н2 - Н4 записать соответствующие значения n_i .

8. В ячейках I2 – I4 записать m1= , m2= , m3= .

9. В ячейках J2 - J4 записать соответствующие значения m_{i .}

10. В столбце F выделить ячейку F1, записать заголовок Р(Вi), нажав клавишу ENTER перейти к ячейке F2, рассчитать вероятность гипотезы В1 по формуле (1). Для этого щелкнуть мышью на ячейке В2 и вычислить значение вероятности (равное 1/3), т.е. набрать на клавиатуре знак = , щелкнуть мышью на ячейке Е2, содержащей значение m1, набрать знак деления / , щелкнуть мышью на ячейке С2, содержащей значение n, нажатием клавиши ENTER получить результат. (Проследите, чтобы в ячейке F2 была записана формула =Е2/С2.) В ячейках F3, F4 рассчитать вероятности аналогично (Рис. 3).

Рис.3.

9. 11. В столбце K записать :1) в ячейке K1 заголовок условные вероятности P(A/Bi) ; 2) в ячейках K2 – K4 вычислить условные вероятности P(A/Bi) по формуле (1), т.е. в ячейке K2 набрать формулу =J2/H2 (см.п.10), в ячейках K3, K4 рассчитать условные вероятности аналогично.

12. В столбце L записать 1) в ячейке L1 заголовок полная вероятность P(A); 2) в ячейке L2 вычислить значение полной вероятности по формуле (2), щелкнуть мышью на ячейке L2, набрать формулу =F2*L2+F3*L3+F4*L4, нажатием клавиши ENTER получить результат (Рис. 4).

9. 13. В столбце M записать 1) в ячейке M1 заголовок апостериорная вероятность P(Bi/A); 2) в ячейках M2-M4 вычислить значения апостериорных вероятностей P(Bi/A) по

Рис.4

формулам (3), выделить ячейку M2, набрать формулу =F2*K2/L2, нажатием клавиши ENTER получить результат (Рис.5).

Большее число в ячейках M2-M4 укажет более вероятную гипотезу.

14. Выбрать из полученных чисел наибольшее. Наиболее вероятную гипотезу и ее вероятность выделить жирным шрифтом.. (Для того, чтобы выделить всю строку, щелкните по номеру строки).

Рис. 5.

Для решения аналогичных задач достаточно изменить значения n и m в столбцах С, Е, H, J. При этом количество несовместных событий – гипотез Вi - должно соответствовать смыслу задачи.

II. Решить задачи, используя таблицу.

I уровень:

При отклонении от нормального режима работы автомата сигнализатор С-1 реагирует на сбой в 50 случаях 40 раз, а сигнализатор С-11 – в 50 случаях 50 раз. Из 10 автоматов снабжены сигнализатором С-1 - 6, а сигнализатором С-11 - 4. Получен сигнал от автомата. Что вероятнее: автомат снабжен сигнализатором С-1 или С-11 ?

II уровень:

Событие А может появиться при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) B1, B2, B3, образующих полную группу событий. После появления события А произошло перераспределение вероятностей, были найдены условные вероятности гипотез Р(А/В1)=0,6; Р(А/В2)=0,3. Чему равна условная вероятность гипотезы В3 ?

Два из трех независимо работающих элементов вычислительного устройства отказали. Найти вероятность того, что отказали первый и второй элементы, если вероятности отказа первого, второго и третьего элементов равны соответственно 0,2; 0,4; 0,3.