Определение вероятности

Рассмотрим стохастический эксперимент и случайное событие А, наблюдаемое в этом эксперименте. Эксперимент повторили n раз и пусть событие А наблюдалось m(А) раз.

Относительной частотой события А в проведенной серии экспериментов назовем отношение:

.

Относительная частота определяется после проведения серии экспериментов и может меняться от серии к серии. Однако опыт показывает, что во многих случаях при увеличении числа опытов относительная частота приближается к некоторому числу.

Статистическое определение вероятности

Если при увеличении числа опытов относительная частота события стремится к некоторому фиксированному числу, то говорят, что событие А стохастически устойчиво, а это число обозначаюти называютвероятностью события А.

Классическое определение вероятности

Рассмотрим стохастический эксперимент, пространство элементарных событий которого состоит из конечного числа элементов (исходов), все эти элементарные события равновозможны, т.е.

.

Пусть событию А благоприятствует элементарных событий (благоприятных исходов). Вероятность случайного события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих А, к общему числу исходов

.

Свойства вероятности:

1) ;

2) ;

3) если события А и В несовместны ( ), то.

При подсчете числа исходов часто используются формулы и правила комбинаторики.

Перестановки – это комбинации, составленные из различных элементов, которые отличаются только порядком следования элементов. Число перестановок в совокупности изэлементов вычисляется по формуле

.

Пример 1.

Сколькими способами можно рассадить 5 студентов в одном ряду.

Решение.

Поскольку в “пересадке” участвуют все 5 студентов, то, т.е. существует всего 120 способов.

Сочетания – это комбинации, составленные из элементов поэлементов, которые различаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний изэлементов поэлементов находится по формуле

.

Пример 2.

Сколько билетов можно составить из 25 вопросов, если билет содержит 3 вопроса.

Решение.

В билет произвольным образом отбирается 3 вопроса из списка в 25 вопросов, при этом порядок следования вопросов также произвольный, поэтому

,

т.о. можно составить 300 билетов.

Размешения – это комбинации, составленные из элементов поэлементов, которые отличаются составом элементов или порядком следования элементов. Число размещений изэлементов поэлементов находится по формуле

.

Пример 3.

Сколько сигналов можно подать, вывешивая по 3 флага на мачте, если всего имеют 4 флага (белый, красный, синий, зеленый).

Решение.

Из 4-х различных по цвету флагов выбирают 3 флага, при этом, меняя последовательность следования флагов различных по цвету (например, красный-белый-зеленый и белый-красный-зеленый) передают различные сигналы, т.е. важен и состав и порядок расположения элементов, тогда , следовательно, используя только 3 флага из 4, можно передать 24 сигнала.

Правило суммы. Если объект А может быть выбран из совокупности объектов способами, а объект В -способами, то выбрать либо объект А, либо объект В можноспособами.

Пример 4.

В вазе 5 груш и 4 яблока ( объект А- груша, объект В- яблоко). Сколько существует способов выбрать один из фруктов.