Лекции / Геометрические основы построения чертежа - геометрическое черчение. (лекция) / geometricheskoe cherchenie

Внутреннее сопряжение дуг

При внутреннем сопряжении центры О₁ и О₂сопрягаемых дуг радиусов R₁ и R₂ лежат внутри сопрягающей дуги радиуса R.

Внутреннее сопряжение дуг выполняется в следующей последовательности:

1. Находим центр сопряжения, точку О пересечения дуг окружностей с радиусами R-R₁  и R-R₂ соответственно концентричных окружностям с радиусами R₁ и R₂;

2. Соединяем прямыми центр сопряжения О с центрами окружностей О₁ и О₂, которые пересекаясь с заданными окружностями определяют положение точек сопряжения А и В;

3. Строят сопряжение.

Смешанное сопряжение дуг

При смешанном сопряжении центр О₂ одной из сопрягаемых дуг лежит внутри сопрягающей дуги радиуса R, а центр О₁ другой сопрягаемой дуги вне ее.

Внутреннее сопряжение дуг выполняется в следующей последовательности:

1. Находим центр сопряжения, точку О пересечения дуг окружностей с радиусами R+R₁  и R-R₂ соответственно концентричных окружностям с радиусами R₁ и R₂;

2. Соединяем прямыми центр сопряжения О с центрами окружностей О₁ и О₂, которые пересекаясь с заданными окружностями определяют положение точек сопряжения А и В;

3. Строят сопряжение.

Внешнее сопряжение дуг

При внешнем сопряжении центры О₁ и О₂сопрягаемых дуг радиусов R₁ и R₂ лежат вне сопрягающей дуги радиуса R.

Внешнее сопряжение дуг выполняется в следующей последовательности:

1. Находим центр сопряжения, точку О пересечения дуг окружностей с радиусами R₁+R  и R₂+R соответственно концентричных окружностям с радиусами R₁ и R₂;

2. Соединяем прямыми центр сопряжения О с центрами окружностей О₁ и О₂, которые пересекаясь с заданными окружностями определяют положение точек сопряжения А и В;

3. Строят сопряжение.

Внутреннее сопряжение дуг

При внутреннем сопряжении центры О₁ и О₂сопрягаемых дуг радиусов R₁ и R₂ лежат внутри сопрягающей дуги радиуса R.

Внутреннее сопряжение дуг выполняется в следующей последовательности:

1. Находим центр сопряжения, точку О пересечения дуг окружностей с радиусами R-R₁  и R-R₂ соответственно концентричных окружностям с радиусами R₁ и R₂;

2. Соединяем прямыми центр сопряжения О с центрами окружностей О₁ и О₂, которые пересекаясь с заданными окружностями определяют положение точек сопряжения А и В;

3. Строят сопряжение.

Смешанное сопряжение дуг

При смешанном сопряжении центр О₂ одной из сопрягаемых дуг лежит внутри сопрягающей дуги радиуса R, а центр О₁ другой сопрягаемой дуги вне ее.

Внутреннее сопряжение дуг выполняется в следующей последовательности:

1. Находим центр сопряжения, точку О пересечения дуг окружностей с радиусами R+R₁  и R-R₂ соответственно концентричных окружностям с радиусами R₁ и R₂;

2. Соединяем прямыми центр сопряжения О с центрами окружностей О₁ и О₂, которые пересекаясь с заданными окружностями определяют положение точек сопряжения А и В;

3. Строят сопряжение.

Овал с двумя осями симметрии

Строят овал обычно по осям АВ и СД в следующей последовательности:

1. Соединим прямой линией точки А и С;

2. Радиусом большой полуоси АО засекают продолжение малой оси СD в точке Е;

3. Радиусом СЕ (разность полуосей) засекают линию АС в точке F;

4. Проводят перпендикуляр через середину отрезка АF, он пересекает оси овала в точках 1 и 2, которые являются искомыми центрами дуг окружностей;

5. Центры 3 и 4 находят как точки симметричные центрам 1 и 2;

6. Точки сопряжения К, L, M, и N находятся на линиях центров соответственно 2-1, 2-3, 4-3 и 4-1.

7. Строят овал как последовательность дуг окружностей: первая с центром 1 и радиусом А1, вторая с центром 2 и радиусом С2, третья с центром 3 и радиусом В3, четвертая с центром 4 и радиусом D4.

Овал с одной осью симметрии

Овал с одной осью симметрии называется овоидом (яйцевидный овал) Его задают обычно радиусом или диаметром основной окружности.

Построение овоида производится в следующей последовательности:

1. Проводят линии центров АС и ВС;

2. Радиусом АВ, равным диаметру заданной окружности, проводят дугу BF до линии центров АС, а радиусом ВА - дугу АЕ до линии центров ВС;

3. Замыкают овал дугой EF из центра С.

Эллипс

Эллипс - замкнутая плоская выпуклая кривая, сумма расстояний каждой точки которой до двух данных точек (фокусов), лежащих на его большой оси, есть величина постоянная и равная длине большой оси.

В технике широко применяется способ построения эллипса по большой АВ и малой CD осям/

Построение производится в следующей последовательности:

1. Проводят две перпендикулярные осевые линии;

2. От точки их пересечения откладывают вверх и вниз по вертикальной оси отрезки, равные длине малой полуоси, а влево и вправо по горизонтальной оси - отрезки, равные длине большой полуоси получаем точки A,B,C и D;

3. Проводим две концентрические окружности диаметрами AB и CD;

4. Проводим ряд лучей диаметров;

5. Из точек пересечения лучей с окружностями проводят линии, параллельные осям эллипса, до взаимного пересечения в точках, принадлежащих эллипсу;

6. Полученные точки соединяют плавной кривой.

Парабола

Построение параболы при заданной величине параметра р

Построение параболы при заданной величине параметра p выполняется в следующей последовательности:

1. Проводят ось симметрии параболы и откладывают на ней отрезок KF=p;

2. Через точку K  перпендикулярно оси симметрии проводят директрису DD₁;

3. Отрезок KF делят пополам получают вершину 0 параболы;

4. От вершины отмеряют ряд произвольных точек 1, 2, 3, 5, 6 с постепенно увеличивающемся расстоянием между ними;

5. Через эти точки проводят вспомогательные прямые перпендикулярные оси параболы;

6. На вспомогательных прямых делают засечки радиусом равным расстоянию от прямой до директрисы;

7. Полученные точки соединяют плавной кривой.

Построение параболы при заданной вершине О, оси ОС и точки В

Построение параболы при заданной вершине 0, оси0С и точки В  производится в следующей последовательности:

1. Строят вспомогательный прямоугольник АВС0;

2. Стороны АВ и А0 делят на равные части и полученные точки нумеруют;

3. Горизонтальный ряд делений соединяют с вершиной 0, а через вертикальный ряд делений проводят прямые параллельные оси параболы;

4. Точки пересечения горизонтальных прямых 1₁, 2₁, ... с лучами 01, 02, ...принадлежат параболе;

5. Полученные точки соединяют плавной кривой.

Гипербола

Гипербола - плоская кривая, состоящая из двух разомкнутых, симметрично расположенных ветвей. Разность расстояний от каждой точки гиперболы до фокусов F₁ и F₂ есть величина постоянная и равная расстоянию между вершинами гиперболы.

Рассмотрим алгоритм построения гиперболы по заданным вершинам A и B и фокусному расстоянию FF₁:

1. Делим фокусное расстояние пополам получаем точку 0;

2. Слева от фокуса F отмечаем ряд произвольных точек 1, 2, 3, 4, ... с постепенно увеличивающимся расстоянием между ними;

3. Строят вспомогательные окружности с центром в фокусе F радиусами R₁=1B, R₂=2B, R₃=3B, R₄=4B, ...;

4. Строят вспомогательные окружности с центром в фокусе F₁ и радиусами r₁=1A, r₂=2A, r₃=3A, r₄=4A, ...;

5. Вспомогательные окружности пересекаясь определяют положение точек гиперболы (С, С₁ - точки пересечения окружностей радиусов R₁ и r₁, D,D₁- точки пересечения окружностей R₂ и r₂, и т.п.);

6. Соединив точки плавной кривой получим правую ветвь гиперболы;

7. Аналогично строится левая ветвь.

Синусоида

Синусоида - плоская кривая, выражающая закон изменения синуса в зависимости от изменения величины центрального угла.

Величина r называется амплитудой синусоиды, L - длиной волны или периодом синусоиды. Длина волны синусоиды L=2pR.

Построение синусоиды выполняется в следующей последовательности:

1. Проводят горизонтальную ось и на ней откладывают заданную длину волны AB;

2. Отрезок АВ делят на несколько равных частей, например 12;

3. Слева вычерчивают окружность, радиус которой равен величине амплитуды, и делят её также на 12 равных частей;

4. Точки деления окружности нумеруют и через них проводят горизонтальные прямые;

5. Из точек деления отрезка АВ восстанавливают перпендикуляры к оси синусоиды;

6. Точки пересечения перпендикуляров с соответствующими горизонтальными прямыми - а₁, а₂, ... - точки синусоиды;

Спираль Архимеда

Термины:

Спираль

Архимедова спираль

Спираль Архимеда - плоская кривая, которую описывает точка, движущаяся равномерно-поступательно от центра 0 по равномерно-вращающемуся радиусу.

Построение архимедовой спирали заданным шагом S- расстояние от центра 0 до точки VIII, выполняется в следующей последовательности:

1. Из центра 0 проводят окружность радиусом, равным шагу S спирали и делят шаг и окружность на несколько равных частей Точки деления нумеруют;

2. Из центра 0 радиусами 01, 02, 03, ... проводят дуги до пересечения с соответствующими радиусами в точках I, II, III, ...;

3. Полученные точки принадлежат спирали Архимеда с заданным шагом S и центром 0.

Эволюта

Если у кривой l определить положение центров кривизны для ряда принадлежащих ей точек и соединить их плавной кривой, то полученную кривую m называют эволютой кривой l.

Если у кривой l определить положение центров кривизны для ряда принадлежащих ей точек и соединить их плавной кривой, то полученную кривую m называют эволютой кривой l.

Для графического нахождения центра кривизны кривой в заданной точке А можно использовать свойство, что окружность кривизны имеет общую точку с кривой l, нормалью n и касательной t - точку касания А.

Использую это свойство задача решается в следующем порядке:

1. Выбираем на кривой l ряд произвольных точек А, В, С, и т.д.;

2. Проведем через них полукасательные t_A, t_B, t_C  и т.д.;

3. Отложим на полукасательных равные отрезки произвольной длины, получим точки А₁, В₁, С₁ и т.д.;

4. Через полученные точки проведем плавную кривую l₁;

5. Проведем через точки А₁, В₁, С₁ и т.д. полукасательные t_A1, t_B1, t_C1  и т.д. к кривой  l₁;

6. Проведем через точки А₁, В₁, С₁ и т.д. нормали n_А1, n_В1, n_С1 и т.д. к кривой l₁, а через точки А, В, С, и т.д. - нормали n_А, n_В, n_С и т.д. к кривой l;

7. Точки пересечения нормалей 0_А, 0_В, 0_С и т.д. определят положение центров кривизны для точек А, В, С, и т.д. кривой l;

8. Плавная кривая m, проходящая через полученные центры кривизны кривой  l- эволюта данной кривой.

Эвольвента

Эвольвентой окружности называется траектория точки прямой линии, когда эта прямая перекатывается без скольжения по окружности.

Эвольвентой окружности называется траектория точки прямой линии, когда эта прямая перекатывается без скольжения по окружности.

Построения эвольвенты выполняется в следующей последовательности:

1. Заданную окружность делят на несколько равных частей (к примеру на 12), которые пронумеруем 1, 2, ... 12;

2. Из конечной точки 12 проводят касательную к окружности и откладывают на ней длину окружности, равнуюpD;

3. Полученный отрезок (длину окружности) делят также на 12 равных частей;

4. Из точек деления окружности проводят касательные и на них откладывают отрезки 11₁=pD/12, 22₁=2pD/12, 33₁=3pD/12, ... 1212₁=pD;

5. Соединив полученные точки 1₁, 2₁, 3₁, ... 12₁ плавной кривой получим эвольвенту окружности.

Циклоида

Циклоида - траектория (путь) точка А, лежащая на окружности, которая катится без скольжения по прямойАА₁₂.

Построение циклоиды производится в следующей последовательности:

1. На направляющей горизонтальной прямой откладывают отрезок АА₁₂, равный длине производящей окружности радиуса r, (2pr);

2. Строят производящую окружность радиуса r, так чтобы направляющая прямая была касательной к неё в точке А;

3. Окружность и отрезок АА₁₂ делят на несколько равных частей, например на 12;

4. Из точек  делений 1¹, 2¹, ...12¹восстанавливают перпендикуляры до пересечения с продолжением горизонтальной оси окружности в точках 0₁, 0₂, ...0₁₂;

5. Из точек деления окружности 1, 2, ...12 проводят горизонтальные прямые, на которых делают засечки дугами окружности радиуса r;

6. Полученные точки А₁, А₂, ...А₁₂ принадлежат циклоиде.

Эпициклоида

Эпициклоида - траектория точки А, лежащей на окружности диаметра D, которая катится без скольжения по направляющей окружности радиуса R(касание внешнее).

Построение эпициклоиды выполняется в следующей последовательности:

1. Производящую окружность радиуса r и направляющую окружность радиуса R проводят так, чтобы они касались в точке А;

2. Производящую окружность делят на 12 равных частей, получают точки 1, 2, ... 12;

3. Из центра 0 проводят вспомогательную дугу радиусом равным 00₀=R+r;

4. Центральный угол a определяют по формуле a=360r/R.

5. Делят дугу направляющей окружности, ограниченную углом a, на 12 равных частей, получают точки 1¹, 2¹, ...12¹;

6. Из центра 0 через точки 1¹, 2¹, ...12¹ проводят прямые до пересечения с вспомогательной дугой в точках 0₁, 0₂, ...0₁₂;

7. Из центра 0 проводят вспомогательные дуги через точки деления 1, 2, ... 12 производящей окружности;

8. Из точек 0₁, 0₂, ...0₁₂, как из центров, проводят окружности радиуса r до пересечения с вспомогательными дугами в точках А₁, А₂, ... А₁₂, которые принадлежат эпициклоиде.

Гипоциклоида

Гипоциклоида - траектория точки А, лежащей на окружности диаметра D, которая катится без скольжения по направляющей окружности радиуса R(касание внутреннее).

Построение гипоциклоиды выполняется в следующей последовательности:

1. Производящую окружность радиуса r и направляющую окружность радиуса R проводят так, чтобы они касались в точке А;

2. Производящую окружность делят на 12 равных частей, получают точки 1, 2, ... 12;

3. Из центра 0 проводят вспомогательную дугу радиусом равным 00₀=R-r;

4. Центральный угол a определяют по формуле a=360r/R.

5. Делят дугу направляющей окружности, ограниченную углом a, на 12 равных частей, получают точки 1¹, 2¹, ...12¹;

6. Из центра 0 через точки 1¹, 2¹, ...12¹ проводят прямые до пересечения с вспомогательной дугой в точках 0₁, 0₂, ...0₁₂;

7. Из центра 0 проводят вспомогательные дуги через точки деления 1, 2, ... 12 производящей окружности;

8. Из точек 0₁, 0₂, ...0₁₂, как из центров, проводят окружности радиуса r до пересечения с вспомогательными дугами в точках А₁, А₂, ... А₁₂, которые принадлежат гипоциклоиде.