Лекции / Геометрические основы построения чертежа - геометрическое черчение. (лекция) / geometricheskoe cherchenie

Построение внутренней касательной к двум дугам окружности 

Внутреннее касание к двум дугам разного диаметра выполняется следующим образом:

1. Проводят окружность радиусом R+r из центра Одуги большего радиуса;

2. К полученной окружности строят касательную МO*, проходящую через центр дуги меньшего радиуса;

3. На  луче ОМ отмечаем точку касания 1 - точка пересечения луча с дугой радиуса R;

4. Из центра O* проводим луч параллельный ОМ  до пересечения с дугой радиуса r и отмечаем точку касания2;

5. Через точки 1 и 2 проводим искомую касательнуюt.

Построение касательной к окружности

Касательную из точки А к окружности можно провести следующим образом:

1. На отрезке ОА как на диаметре строят окружность радиуса R=0,5[OA];

2. Точки 1 и 2 пересечения полученной окружности с заданной определяют положение точек касания;

3. Отрезки [1A] и [2A]  определяют положение касательных t₁ и t₂ проведенных из точки А к окружности.

Построение внешней касательной к двум дугам окружности

Внешнее касание к двум дугам разного диаметра выполняется следующим образом:

1. Проводят окружность радиусом R-r из центра Одуги большего радиуса;

2. К полученной окружности строят касательную МO*, проходящую через центр дуги меньшего радиуса;

3. На продолжении луча ОМ отмечаем точку касания1;

4. Из центра O* проводим луч параллельный ОМ  до пересечения с дугой и отмечаем точку касания 2;

5. Через точки 1 и 2 проводим искомую касательнуюt.

Построение внутренней касательной к двум дугам окружности 

Внутреннее касание к двум дугам разного диаметра выполняется следующим образом:

1. Проводят окружность радиусом R+r из центра Одуги большего радиуса;

2. К полученной окружности строят касательную МO*, проходящую через центр дуги меньшего радиуса;

3. На  луче ОМ отмечаем точку касания 1 - точка пересечения луча с дугой радиуса R;

4. Из центра O* проводим луч параллельный ОМ  до пересечения с дугой радиуса r и отмечаем точку касания2;

5. Через точки 1 и 2 проводим искомую касательнуюt.

Построение касательной к окружности

Касательную из точки А к окружности можно провести следующим образом:

1. На отрезке ОА как на диаметре строят окружность радиуса R=0,5[OA];

2. Точки 1 и 2 пересечения полученной окружности с заданной определяют положение точек касания;

3. Отрезки [1A] и [2A]  определяют положение касательных t₁ и t₂ проведенных из точки А к окружности.

Построение внешней касательной к двум дугам окружности

Внешнее касание к двум дугам разного диаметра выполняется следующим образом:

1. Проводят окружность радиусом R-r из центра Одуги большего радиуса;

2. К полученной окружности строят касательную МO*, проходящую через центр дуги меньшего радиуса;

3. На продолжении луча ОМ отмечаем точку касания1;

4. Из центра O* проводим луч параллельный ОМ  до пересечения с дугой и отмечаем точку касания 2;

5. Через точки 1 и 2 проводим искомую касательнуюt.

Построение внутренней касательной к двум дугам окружности 

Внутреннее касание к двум дугам разного диаметра выполняется следующим образом:

1. Проводят окружность радиусом R+r из центра Одуги большего радиуса;

2. К полученной окружности строят касательную МO*, проходящую через центр дуги меньшего радиуса;

3. На  луче ОМ отмечаем точку касания 1 - точка пересечения луча с дугой радиуса R;

4. Из центра O* проводим луч параллельный ОМ  до пересечения с дугой радиуса r и отмечаем точку касания2;

5. Через точки 1 и 2 проводим искомую касательнуюt.

Построение касательной к кривой

Построение касательной из точки А к кривой m, можно выполнить следующим образом:

1. Через точку А проведем секущие прямые а₁, а₂, а₃, а₄;

2. Отметим точки 1, 1₁, 2, 2₁, 3, 3₁, 4, 4₁ в которых секущие пересекают кривую m;

3. Через середины полученных хорд проведем плавную кривую p, которую называют "кривой ошибок";

4. Точка М пересечения кривой p  с заданной кривой m - точка касания, а прямая АМ - касательная t к кривой mпроведенная из точки А.

Построение касательной к кривой параллельно направлению

Построение касательной  к кривой n параллельно заданному направлению s, можно выполнить следующим образом:

1. Проведем секущие прямые а₁, а₂, а₃, а₄ параллельно заданному направлению s;

2. Отметим точки 1, 1₁, 2, 2₁, 3, 3₁, 4, 4₁ в которых секущие пересекают кривую n;

3. Через середины полученных хорд проведем плавную кривую p, которую называют "кривой ошибок";

4. Точка М пересечения кривой p  с заданной кривой n - точка касания, а касательная t к кривой n проводится через эту точку параллельно  заданному направлению s.

Построение касательной в точке кривой

Построение касательной  к кривой l  в точке А, можно выполнить следующим образом:

1. Проведем произвольную прямую n примерно перпендикулярную искомой касательной;

2. Через точку А проведем секущие прямые а₁, а₂, а₃, а₄так, чтобы они пересекали  и кривую l и прямую n;

3. От точек пересечения секущих с прямой n откладываем (на секущих) отрезки равные хордам А1, А2, А3, А4, при этом длины хорд, расположенные по разные стороны от точки касания А,  откладываются по разные стороны от прямой n;

4. Полученные точки соединяем плавной кривой m;

5. Пересечение кривой m с прямой n укажет точку M, принадлежащую искомой касательной;

6. Прямая проходящая через точки А и М является искомой касательной t.

Построение касательной к кривой

Построение касательной из точки А к кривой m, можно выполнить следующим образом:

1. Через точку А проведем секущие прямые а₁, а₂, а₃, а₄;

2. Отметим точки 1, 1₁, 2, 2₁, 3, 3₁, 4, 4₁ в которых секущие пересекают кривую m;

3. Через середины полученных хорд проведем плавную кривую p, которую называют "кривой ошибок";

4. Точка М пересечения кривой p  с заданной кривой m - точка касания, а прямая АМ - касательная t к кривой mпроведенная из точки А.

Построение касательной к кривой параллельно направлению

Построение касательной  к кривой n параллельно заданному направлению s, можно выполнить следующим образом:

1. Проведем секущие прямые а₁, а₂, а₃, а₄ параллельно заданному направлению s;

2. Отметим точки 1, 1₁, 2, 2₁, 3, 3₁, 4, 4₁ в которых секущие пересекают кривую n;

3. Через середины полученных хорд проведем плавную кривую p, которую называют "кривой ошибок";

4. Точка М пересечения кривой p  с заданной кривой n - точка касания, а касательная t к кривой n проводится через эту точку параллельно  заданному направлению s.

Построение касательной в точке кривой

Построение касательной  к кривой l  в точке А, можно выполнить следующим образом:

1. Проведем произвольную прямую n примерно перпендикулярную искомой касательной;

2. Через точку А проведем секущие прямые а₁, а₂, а₃, а₄так, чтобы они пересекали  и кривую l и прямую n;

3. От точек пересечения секущих с прямой n откладываем (на секущих) отрезки равные хордам А1, А2, А3, А4, при этом длины хорд, расположенные по разные стороны от точки касания А,  откладываются по разные стороны от прямой n;

4. Полученные точки соединяем плавной кривой m;

5. Пересечение кривой m с прямой n укажет точку M, принадлежащую искомой касательной;

6. Прямая проходящая через точки А и М является искомой касательной t.

Деление окружности на восемь равных частей

Деление окружности на восемь равных частей производится в следующей последовательности:

1. Проводят две перпендикулярные оси, которые пересекая окружность в точках 1,2,3,4 делят ее на четыре равные части;

2. Применяя известный прием деления прямого угла на две равные части при помощи циркуля или угольника строят биссектрисы  прямых углов, которые пересекаясь с окружностью в точках 5, 6, 7, и 8 делят каждую четвертую часть окружности пополам.

Деление окружности на три, шесть и двенадцать равных частей

Деление окружности на три, шесть и двенадцать равных частей выполняется в следующей последовательности:

1. Выбираем в качестве точки 1, точку пересечения осевой линии с окружностью

2. Из точки 4 пересечения осевой линии с окружностью проводим дугу радиусом равным радиусу окружности R до пересечения с окружностью в точках 2 и 3;

3. Точки 1, 2 и 3 делят окружность на три равные части;

4. Из точки 1 пересечения осевой линии с окружностью проводим дугу радиусом равным радиусу окружности R до пересечения с окружностью в точках 5 и 6;

5. Точки 1 - 6 делят окружность на шесть равных частей;

6. Дуги радиусом R, проведенные из точек 7 и 8 пересекут окружность в точках 9, 10, 11 и 12;

7. Точки 1 - 12 делят окружность на двенадцать равных частей.

Деление окружности на пять равных частей

Деление окружности на пять равных частей выполняется в следующей последовательности:

1. Из точки А радиусом, равным радиусу окружности R, проводим дугу, которая пересечет окружность в точке В;

2. Из точки В опускают перпендикуляр на горизонтальную осевую линию;

3. Из основания перпендикуляра - точки С, радиусом равным С1, проводят дугу окружности, которая пересечет горизонтальную осевую линию в точке D;

4. Из точки 1 радиусом равным D1, проводят дугу до пересечения с окружностью в точке 2, дуга 12 равна 1/5 длины окружности;

5. Точки 3, 4 и 5 находят откладывая циркулем по данной окружности хорды, равные D1.

Деление окружности на семь равных частей

Деление окружности на семь равных частей выполняется в следующей последовательности:

1. Из точки А радиусом, равным радиусу окружности R, проводим дугу, которая пересечет окружность в точке В;

2. Из точки В опускают перпендикуляр на горизонтальную осевую линию;

3. Длину перпендикуляра ВС откладывают от точки 1 по окружности семь раз и получают искомые точки 1 - 7.

Деление окружности на любое количество равных частей

Таблица 1.

Для деления окружности на любое количество равных частей можно воспользоваться коэффициентами (см. таблицу 1.). Зная на какое число n следует разделить окружность, находят коэффициент k. При умножении коэффициента k на диаметр D этой окружности, получают длину хорды, которую циркулем откладывают на заданной окружности n раз.

Скругление прямого угла

Cкругление прямого угла, имеющего вершину О, дугой радиуса R осуществляется в следующей последовательности:

1. Из вершины О проводят дугу заданным радиусомR, до пересечения со сторонами угла в точках А и В (точки сопряжения);

2. Центр скругления О₁ должен находится на геометрическом месте точек, равноудаленных от сторон угла, т.е. на биссектрисе угла АОВ и определяется точкой пересечения дуг радиуса R, проведенных из точек сопряжения А и В;

3. Проводят дугу АВ  радиусом R и центром О₁.

Скругление острого угла

Скругление острого угла дугой радиуса R можно выполнить в следующей последовательности:

1. Геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла, будут являться прямые, параллельные сторонам угла и проходящие от них на расстоянии R;

2. Точка пересечение этих прямых определяет центр скругления О₁;

3. Пересечение перпендикуляров опущенных из центра скругления  со сторонами определят положение точек сопряжения А и В;

4. Поводим дугу АВ из центра О₁ радиусом R.

Скругление тупого угла

Скругление тупого угла производится точно так же, как и острого. Можно несколько изменить ход построения, если воспользоваться биссектрисой угла:

1. Строят биссектрису угла;

2. Проводят прямую, параллельную одной из сторон угла и отстоящую от нее на расстоянии R;

3. Точка пересечения этой прямой с биссектрисой определяет положение центра скругления О₁;

4. Пересечение перпендикуляров опущенных из центра скругления  со сторонами определят положение точек сопряжения А и В;

5. Поводим дугу АВ из центра О₁ радиусом R.

Внешнее сопряжение прямой линии с дугой

Сопряжение дуги окружности радиуса R с прямой, заданной отрезком АВ, дугой радиусом r выполняется в следующей последовательности:

1. Находим центр сопряжения - точку О₁, как точку пересечения прямой параллельной АВ и отстоящей от нее на расстоянии r и дуги  окружности радиуса R+ r, концентричной заданной;

2. Опускаем перпендикуляр из точки О₁ на прямую АВ. Основание перпендикуляра - точка D - точка сопряжения;

3. Соединяем прямой центр окружности О с центром сопряжения О₁, которая пересекая заданную окружность, определит положение второй точки сопряжения Е.

Внутреннее сопряжение прямой линии с дугой

Сопряжение дуги окружности радиуса R с прямой, заданной отрезком АВ, дугой радиусом r выполняется в следующей последовательности:

1. Находим центр сопряжения - точку О₁, как точку пересечения прямой параллельной АВ и отстоящей от нее на расстоянии r и дуги  окружности радиуса R- r, концентричной заданной;

2. Опускаем перпендикуляр из точки О₁ на прямую АВ. Основание перпендикуляра - точка D - точка сопряжения;

3. Соединяем прямой центр окружности О с центром сопряжения О₁, которая пересекая заданную окружность, определит положение второй точки сопряжения Е.

Внешнее сопряжение прямой линии с дугой

Сопряжение дуги окружности радиуса R с прямой, заданной отрезком АВ, дугой радиусом r выполняется в следующей последовательности:

1. Находим центр сопряжения - точку О₁, как точку пересечения прямой параллельной АВ и отстоящей от нее на расстоянии r и дуги  окружности радиуса R+ r, концентричной заданной;

2. Опускаем перпендикуляр из точки О₁ на прямую АВ. Основание перпендикуляра - точка D - точка сопряжения;

3. Соединяем прямой центр окружности О с центром сопряжения О₁, которая пересекая заданную окружность, определит положение второй точки сопряжения Е.

Внутреннее сопряжение прямой линии с дугой

Сопряжение дуги окружности радиуса R с прямой, заданной отрезком АВ, дугой радиусом r выполняется в следующей последовательности:

1. Находим центр сопряжения - точку О₁, как точку пересечения прямой параллельной АВ и отстоящей от нее на расстоянии r и дуги  окружности радиуса R- r, концентричной заданной;

2. Опускаем перпендикуляр из точки О₁ на прямую АВ. Основание перпендикуляра - точка D - точка сопряжения;

3. Соединяем прямой центр окружности О с центром сопряжения О₁, которая пересекая заданную окружность, определит положение второй точки сопряжения Е.

Внешнее сопряжение дуг

При внешнем сопряжении центры О₁ и О₂сопрягаемых дуг радиусов R₁ и R₂ лежат вне сопрягающей дуги радиуса R.

Внешнее сопряжение дуг выполняется в следующей последовательности:

1. Находим центр сопряжения, точку О пересечения дуг окружностей с радиусами R₁+R  и R₂+R соответственно концентричных окружностям с радиусами R₁ и R₂;

2. Соединяем прямыми центр сопряжения О с центрами окружностей О₁ и О₂, которые пересекаясь с заданными окружностями определяют положение точек сопряжения А и В;

3. Строят сопряжение.