3. Платіжна матриця (матриця гри). Матриця ризиків.

В іграх з природою, як і в стратегічних іграх, створення моделі повинно починатися з побудови платіжної матриці. Це найбільш трудомісткий і відповідальний етап підготовки прийняття рішення, оскільки помилки у платіжній матриці не можуть бути компенсовані жодними обчислювальними методами і можуть призвести до невірного підсумкового результату.

1. Розглянемо стратегічну гру з двома гравцями А і В. Нехай гравець А має m стратегій , а гравець В (супротивник) – n стратегій . Натуральні числа m і n ніяким чином не пов’язані.

Якщо кожний з гравців А і В свідомо визначеним чином обирає відповідно стратегії і, то ситуація, яка склалася, однозначно визначає виграш (результат гри) гравця А, який виражається дійсним числом , що одночасно характеризує і програш гравцяВ. А число (-) визначає програш гравцяА і виграш гравця В.

Виграші можна розмістити у вигляді матриці, номера рядків якої відповідають номерам стратегій гравцяА, а номера стовпчиків – номерам стратегій гравця В. Дану матрицю називають матрицею виграшів (платіжною матрицею, матрицею гри) гравця А:

			…
			…
			…
…	…	…	…	…
			…

Після побудови матриці гри необхідно обрати оптимальну (ефективну) стратегію, тобто вирішити гру. Розроблено багато методів розв’язування стратегічних ігор, з якими детально можна ознайомитися у роботах [1, 4, 6].

2. Розглянемо нестратегічну гру – гру з природою.

Нехай гравець А має m можливих стратегій , а природа П може знаходитися в одному з n станів , які можна розглядати як її “стратегії”. Сукупність формується або на основі досвіду аналізу станів природи, або в результаті передбачень та інтуїції експертів, тобто використання експертних оцінок. Виграш гравця А за умов вибраної ним стратегії і станів природи П позначимо . З виграшів гравцяА формують платіжну матрицю А,

			…
			…
			…
…	…	…	…	…
			…

яка змістовно відрізняється від матриці стратегічної (антагоністичної) гри тим, що елементи стовпчиків не є програшами природи при відповідних її станах.

При вирішенні питання про вибір можливої стратегії в іграх з природою гравець А повинен спиратися на матрицю виграшів (програшів). Але матриця виграшів не завжди адекватно відображає ситуацію. На вибір стратегії повинні впливати не лише виграші, які складають матрицю гри, але й показники, що характеризують вдалою чи невдалою є дана стратегія. Для цього вводять поняття ризику.

Ризиком гравця А при виборі ним стратегії в умовах стану природиП називається різниця між виграшем, який би гравець А отримав би, якщо б знав наперед, що природа прийме стан , і виграшем, який він отримає при цьому ж стані , обравши стратегію :

(5.1)

Таким чином, величину ризику можна інтерпретувати як своєрідну плату за відсутність інформації про стан природи.

Для матриці А матриця ризиків має ту ж розмірність і наступний вигляд:

			…
			…
			…
…	…	…	…	…
			…

Зауважимо, що матриця виграшів А однозначно породжує матрицю ризиків (обернене твердження невірне).

Таким чином, математична модель задачі прийняття рішень в іграх з природою визначається множиною станів , множиною стратегій , матрицею можливих результатів (виграшів) (), в окремих задачах − матрицею ризиків .

Методи прийняття рішень в іграх з природою залежать від того, відомі чи ні ймовірності станів природи, тобто має місце ситуація ризику чи повної невизначеності.