1. Стислі теоретичні відомості

1. Комплексні передавальні функції лінійних

електричних кіл

Найважливішою характеристикою лінійного електричного кола є комплексна передавальна функція H(j). При цьому електричне коло зручно зображати у вигляді чотириполюсника (рис. 9.1), на вхідні затиски 1–1' якого подається сигнал у вигляді напруги з комплексною амплітудою або струму з комплексною амплітудою, а реакція знімається з вихідних затисків 2–2' також у вигляді напруги або струму з комплексними амплітудами ,. Комплексна передавальна функція(КПФ) визначається як відношення комплексної амплітуди реакції кола до комплексної амплітуди вхідної дії.

Рисунок 9.1

Залежно від типів вхідної дії і реакції кола розрізняють наступні види КПФ:

1. Комплексна передавальна функція за напругою

, (1)

де , , , – комплексні амплітуди і комплексні діючізначення напруги дії на вході і напруги реакції на виході.

2. Комплексна передавальна функція за струмом

, (2)

де – комплексні амплітуди і комплексні діючі значенняструму дії і струму реакції.

3. Комплексний передавальний опір

,(3)

4. Комплексна передавальна провідність

. (4)

З даних визначень виходить, що іє безрозмірними величинами, аі– мають відповіднорозмірності опору і провідності. Комплексні передавальні функції визначаються на частоті  сигналу дії і залежать тільки від параметрів кола.

1.2 Амплітудно-частотні і фазочастотні характеристики

електричних кіл

Частотні залежності гармонічних коливань в електричних колах обумовлені частотною залежністю співвідношень між амплітудами напруг і струмів в реактивних елементах L і С кола – індуктивностях і ємностях – і співвідношеннями, що відрізняються, між фазами коливань в пасивних елементах R, L і С кола.

Частотна залежність відношення амплітуди (діючого значення) гармонічної реакції в деякій гілці кола до амплітуди (діючого значення) гармонічної дії отримала назву амплітудно-частотної характеристики (АЧХ) кола, визначеного щодо вказаної гілки кола. Частотна ж залежність різниці фаз гармонічної реакції в деякій гілці кола і гармонічної дії називається фазочастотною характеристикою кола (ФХЧ), визначеного щодо вказаної гілки кола.

Як будь-яку комплексну величину H(j) можна представити в показовій, тригонометричній і алгебраїчній формі:

H(j) = | H(j)| e ^{j} = H() e ^{j}, (5)

H(j) = H() cos () +jH() sin (), (6)

H(j) = H₁() + jH₂(), (7)

де H() =|H(j)| – модуль комплексної передавальної функції представляє АЧХ кола, а () = argH(j) – аргумент комплексної передавальної функції представляє ФЧХ кола.

Величини:

H₁() = H() cos (),

H₂() = H() sin () (8)

є дійсна та уявна частини комплексної передавальної функції кола.

З виразів (5)(8) неважко отримати співвідношення, які зв’язують АЧХ і ФЧХ з дійсними та уявними частинами комплексної передавальної функції H₁() і H₂():

H() = ; (9) () = arctg(10)

Амплітудно-частотна характеристика кола може бути частотною залежністю деякої або безрозмірної величини у разі, коли зіставляються коливання однакової фізичної природи (напруга з напругою або струм зі струмом), або величини, що має розмірність опору або провідності. Фазочастотна характеристика кола завжди є частотною залежністю безрозмірної величини, тому що цією величиною є різниця фаз двох гармонічних коливань безвідносно до їх фізичної природи. Частотні характеристики електричних кіл не залежать від значень амплітуд і початкових фаз прикладених до кола дій, а визначаються власними даними кола: кількістю, характером, значеннями, порядком з'єднання один з одним її елементів. Іншими словами, частотні характеристики електричного кола описують власне коло.

АЧХ і ФЧХ є найбільш фундаментальними поняттями теорії кіл і широко використовуються на практиці. Важливість цих характеристик для систем електричного зв'язку, радіомовлення і телебачення пояснюється самою природою передачі сигналів певного спектрального складу по каналах зв'язку. Вимоги до АЧХ і ФЧХ різних пристроїв є визначальними при проектуванні будь-якої апаратури зв'язку, оскільки від ступеня їх виконання багато в чому залежить якість передачі інформації.

При графічному зображенні частотних характеристиктого або іншого електричного кола, зазвичай, будують окремі графіки його амплітудно-частотної і фазочастотної характеристик. Часто амплітудно-частотну і фазочастотну характеристики кола представляють одним графіком. Подібна можливість заснована на тому, що кожному значенню частоти відповідає певне значення H(j) у вигляді деякого комплексного числа. На комплексній площині цьому комплексному числу відповідає певна точка площини, або, що те ж саме, вектор, що сполучає початок координат площини з вказаною точкою площини (рис. 9.2). Зі зміною  кінець вказаного радіус-вектора, описує на комплексній площині деяку криву, яку називають частотним годографом комплексної передавальної функції H(j), або просто годографом H(j). Годограф – це графічне представлення H(j) на комплексній площині, тому його часто називають годографом амплитудно-фазової характеристики кола. Будують годограф Рисунок 9.2 звичайно для зміни частоти від  = 0 до   ∞.

По годографу H(j) можна одночасно судити про амплітудно-частотну і фазочастотну характеристики кола. Дійсно, кожній точці годографа відповідають певне значення частоти, певна довжина вектора, що сполучає початок координат з цією точкою, і певний кут (). Довжина вектора пропорційна значенню амплітудно-частотної характеристики кола при вказаній частоті, а кут дорівнює значенню фазочастотної характеристики кола при тій же частоті.

У ряді випадків частотні характеристики кола можуть змінюватися в дуже широких межах, тому зручніше їх оцінювати в логарифмічному масштабі. З цією метою для оцінки АЧХ вводять поняття логарифмічної амплітудно-частотної характеристики (ЛАХ):

K = 20 lg H(). (11)

Оцінюється ЛАХ згідно (11) в децибелах (дБ). У активних колах К називають ще логарифмічним посиленням. Для пасивних кіл замість коефіцієнта посилення оперують ослабленням кола:

A = 20 lg [1/H()] , (12)

яке також оцінюється в децибелах.

Разом з передавальними функціями (1)(4) у ряді випадків знаходять застосування комплексні функції, що визначаються відношенням комплексної реакції до комплексної дії на вхідних затисках електричного кола

Z_вх(j) = Y_вх(j) = (13)

Функції вигляду (13) носять назву комплексних вхідних функцій кіл.