fizika_umkd / Часть 6
.pdf
a0 = λN0 .
Число ядер, содержащееся в изотопе, равно произведению
постоянной Авогадро NА |
на количества вещества ν: |
N0 |
= νNА = m NА , |
|
µ |
где µ = 2,7·10–2 кг/моль – молярная масса изотопа. Подстановка вышеприведенных выражений в соотношения
для активностей дает
|
a0 = |
ln 2 m |
NА; |
|
|
|
|
− |
ln 2 |
|
|||||
|
T |
µ |
a = a0 exp |
T |
t . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Проверим размерности в первой формуле: |
|
||||||||||||||
|
[a0 |
] = 1 |
кг моль |
|
1 |
= |
1 |
= Бк . |
|||||||
|
|
моль |
с |
||||||||||||
|
|
|
с |
|
|
кг |
|
|
|
|
|
||||
Проведем расчеты: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a0 = |
0,693 0,2 10−9 |
6,02 1023 = 5,13 1012 (Бк); |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
600 2,7 10−2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
− |
0,693 |
|
|
|
|
|
|
||
a = 5,13 1012 exp |
|
|
2,16 104 = 81,3 (Бк). |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
600 |
|
|
|
|
|
|
||
Ответы: a0 ≈ 5·1012 Бк; a ≈ 81 Бк. |
|
|
|
|
|||||||||||
Пример 26. Сколько |
|
α- |
и |
β-распадов испытывает ядро |
|||||||||||
изотопа 22688 Ra , превращаясь в конечном итоге в ядро стабиль-
ного изотопа
Д а н о:
Zн = 88,
Aн = 226,
Zк = 82,
Aк = 206
Nα, Nβ – ?
20682 Pb ?
Р е ш е н и е При α-распаде в соответствии с правилом
смещения Содди зарядовое число уменьшается на 2, а массовое – на 4. При β-распаде массовое число не изменяется, а зарядовое возрастает на единицу. В результате после Nα α-распадов и Nβ β-распадов
60
Zк = Zн − 2Nα + Nβ ; Aк = Aн − 4Nα .
Отсюда получим
Nα = Aн − Aк ; Nβ = Zк − Zн + 2Nα .
4
Все величины безразмерные. Произведем вычисления:
Nα = 226 − 206 = 5; Nβ = 82 − 88 + 2 5 = 4 . 4
Ответ: Nα = 5; Nβ = 4.
Пример 27. При соударении α-частицы с ядром атома бо- ра 105 B произошла ядерная реакция, в результате которой образовалось два новых ядра. Одним из них было ядро атома водорода 11H . Определить порядковый номер и массовое число
второго ядра, дать символическую запись ядерной реакции и определить ее энергию.
Р е ш е н и е
Обозначим неизвестное ядро символом ZA X . Так как α-частица представляет собой ядро гелия 42 He , то запись реакции будет иметь вид
42 He+105 B→11 H+ ZA X .
Применив правило сохранения числа нуклонов (массовых чисел), получим уравнение 4 + 10 = 1 + A, отсюда A = 13. Применив закон сохранения электрического заряда (числа протонов), получим уравнение 2 + 5 = 1 + Z, отсюда Z = 6. Следовательно, неизвестное ядро является ядром атома изотопа углерода 136 C . Теперь окончательно можно записать уравнение
ядерной реакции в развернутом виде
42 He+105 B→11 H+136 C .
Энергия ядерной реакции может быть вычислена с помощью масс покоя соответствующих частиц
Q = 931,5[(mHe + mB )− (mH + mC )].
61
Здесь в первых круглых скобках подставлены массы исходных ядер, во вторых – массы ядер – продуктов реакции.
При практических расчетах удобно массы ядер заменить массами соответствующих нейтральных атомов. Возможность такой замены обосновывается следующими соображениями. Число электронов в электронной оболочке нейтрального атома равно его зарядовому числу Z. Сумма зарядовых чисел исходных ядер равна сумме зарядовых чисел ядер – продуктов реакции. Следовательно, электронные оболочки ядер гелия и бора содержат вместе столько же электронов, сколько их содержат электронные оболочки ядер водорода и углерода. Масса нейтрального атома с очень большой точностью равна сумме масс его ядра и электронной оболочки. Поэтому при вычитании сумм масс нейтральных атомов суммарные массы электронов сократятся, и мы получим тот же результат, как если бы брали массы ядер.
Подставив массы атомов в расчетную формулу, получим для внесистемных единиц (а.е.м. и МэВ)
Q = 931,5 [(4,00260 +10,01294) − (1,00783 +13,00335)] = 4,06 МэВ.
Ответ: Z = 6; A = 13; Q = 4,06 МэВ.
Пример 28. Найти энергию ядерной реакции 49 Be+ 11H → 24He+ 36 Li , если известно, что кинетические энергии протона EH = 5,45 МэВ, ядра гелия EНe = 4 МэВ и что ядро гелия вылетело под углом 90° к направлению движения прото- на. Ядро-мишень 49 Be было неподвижно.
Д а н о:
EH = 5,45 МэВ, EНe = 4 МэВ,
θ = 900
Q – ?
Р е ш е н и е Энергию ядерной реакции можно опре-
делить как разность между суммой кинетических энергий ядер-продуктов и соответствующей энергией налетающего ядра:
Q = ELi + EHe − EH .
62
В этом выражении неизвестна кинетическая энергия ELi лития. Для ее определения воспользуемся законом сохранения импульса (рисунок 10):
r r
Векторы pH и pHe ,
r
p He
θ
r p H
r
p Li
Рис. 10. Диаграмма импульсов взаимодействующих частиц
откуда
r r r
pH = pHe + pLi .
по условию задачи, взаимно перпендикулярны и, следовательно, вместе с
r
вектором pLi образуют прямоуголь-
ный треугольник. Поэтому по теореме Пифагора
pH2 = pHe2 + pLi2 .
Выразим в этом равенстве импульсы ядер через их кинетические энергии. Так как кинетические энергии ядер, по условию задачи, много меньше энергий покоя этих ядер, то можно воспользоваться классической формулой и записать p2 = 2mE, где m – масса частицы.
Подставив соответствующие выражения в уравнение для квадратов импульсов, после упрощения получим
mLiELi = mHeEHe + mHEH,
ELi = mHe EHe + mH EH ≈ 3,58 МэВ. mLi
Подставив числовые значения в формулу для энергии ядерной реакции, найдем
Q = 3,58 + 4 – 5,45 ≈ 2,13 (МэВ).
Ответ: Q = 2,13 МэВ.
63
Пример 29. Для возбуждения реакции (n, α) на покоящихся
ядрах 11B пороговая кинетическая энергия нейтронов равна |
|
5 |
|
7,23 МэВ. Найти энергию этой реакции. |
|
Д а н о: |
Р е ш е н и е |
T = 7,23 МэВ |
α-частица представляет собой ядро гелия |
Q – ? |
4 He , поэтому уравнение ядерной реакции |
|
2 |
можно записать в виде |
|
|
115 B + 01n → ZA X + 24 He , |
где неизвестное ядро обозначено символом ZA X . |
|
Применив правило сохранения числа нуклонов, получим уравнение 11 + 1 = A + 4, отсюда A = 8. Применив закон сохранения электрического заряда (числа протонов), получим уравнение 5 + 0 = Z + 2, отсюда Z = 3. Следовательно, неизвестное ядро является ядром атома изотопа лития 83 Li . Теперь
окончательно можно записать уравнение ядерной реакции в развернутом виде:
115 B + 01n → 83Li + 42 He .
В силу того, что для возбуждения ядерной реакции, протекающей под действием нейтронов, требуется их начальная кинетическая энергия, реакция является эндотермической, и ее энергия отрицательна. В дальнейшем будем пользоваться модулем этой величины. Если бы продукты ядерной реакции оставались в покое, то кинетическая энергия нейтрона равнялась бы модулю энергии реакции. Однако продукты в соответствии с законом сохранения импульса движутся с определенными скоростями, поэтому необходимая кинетическая энергия нейтрона должна быть больше. По условию пороговая кинетическая энергия много меньше энергии покоя нейтрона (939 МэВ), а тем более – других частиц, поэтому в данной задаче можно пользоваться нерелятивистскими соотношениями. В соответствии с законом сохранения энергии
T = Q + T ′ ,
где T' – кинетическая энергия продуктов ядерной реакции.
64
В соответствии с законом сохранения импульса
|
|
r |
|
r |
|
|
pn = pΣ , |
||
где |
r |
– импульс нейтрона; |
r |
– суммарный импульс продук- |
pn |
pΣ |
|||
тов реакции.
Из законов механики следует, что при постоянном суммарном импульсе системы частиц их суммарная кинетическая энергия минимальна, если скорости всех частиц одинаковы, т. е. они движутся как единое тело. В этом случае закон сохранения импульса приводит к скалярному соотношению
mnvn = (mLi + mHe )v ,
где mn – масса нейтрона; vn – его скорость; mLi – масса ядра лития; mHe – масса ядра гелия; v – общая скорость продуктов ядерной реакции.
Используя связь между кинетическими энергиями и скоро-
v |
2 |
|
|
(m + m |
He |
)v |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
стями T = mn |
n ; |
T ′ = |
Li |
|
|
, |
перепишем последнее со- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
отношение в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2mnT = |
|
|
|
( |
|
|
) |
′ |
, |
|||||||||
|
|
|
|
2 mLi + mHe T |
|
||||||||||||||||
откуда следует связь между кинетическими энергиями |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
T ′ = |
|
|
|
|
mn |
|
T . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mLi + mHe |
|
|
|||||||||
Подставим полученное соотношение в уравнение, выра- |
|||||||||||||||||||||
жающее закон сохранения энергии: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
T = |
|
Q |
|
+ |
|
|
mn |
|
|
T . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mLi + mHe |
|
|
||||||
Отсюда получим окончательное соотношение для определения энергии ядерной реакции (с учетом ее знака)
Q = mLi + mHe − mn T .
mLi + mHe
65
Размерности в этой формуле очевидны. При расчетах вместо точных значений масс частиц с достаточной точностью можно использовать соответствующие массовые числа
|
|
|
|
|
Q |
|
= |
8 + 4 −1 |
T = |
11 |
T = |
11 |
7,23 = 6,63 МэВ. |
||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8 + 4 |
|
12 12 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ответ: |
|
Q |
|
= 6,63 МэВ. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример 30 |
. Найти число нейтронов, возникающих в едини- |
||||||||||||||
цу времени в |
|
|
урановом |
реакторе с тепловой мощностью |
|||||||||||
100 МВт, если среднее число нейтронов на каждый акт деле-
ния составляет |
2,42. При каждом делении в среднем освобо- |
|
ждается энергия |
200 МэВ. |
|
|
Р е ш е н и е |
|
Д а н о: |
|
|
t = 1 с, |
|
Энергия, выделяющаяся в урановом реак- |
P = 100 МВт, |
|
торе за время t в соответствии с определе- |
ν = 2,42, |
|
нием мощности, |
E1 = 200 МэВ |
|
E = P t. |
N – ? |
|
Эта же энергия пропорциональна числу |
|
|
|
делений Nдел, происходящих за соответствующее время: |
||
E = E1 Nдел.
Отсюда для числа делений получим
Nдел = P t .
E1
Число возникающих нейтронов (без учета нейтронов, поглощаемых при делении) пропорционально числу делений N = νΔNдел, поэтому
N = νP t . E1
Проверим размерности в полученном соотношении:
66
[ N ] = Вт с = 1 . Дж
Для вычислений переведем энергию одного распада из МэВ в Дж: 200 МэВ = 200 ·106 ·1,6 ·10–19 = 3,2 ·10–11 (Дж), или
N = 2,42 108 1 = 7,56 1018 . 3,2 10−11
Ответ: N = 7,56 ·1018.
ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ
6.1Серое тело со степенью черноты 0,9 нагрето до температуры 750 °С. Определить его излучательность и длину волны, на которую приходится максимальное значение спектральной плотности излучательности.
6.2Определить температуру тела со степенью черноты 0,8, если мощность излучения с поверхности 50 см2 равна 2 кВт.
6.3Температура абсолютно черного тела равна 850 С, а излучательность составляет 9 · 104Вт/м2. Исходя из этих данных, определить значение постоянной Стефана-Больцмана.
6.4Длина волны излучения абсолютно черного тела, соответствующая максимальному значению спектральной плотности излучательности, равна 400 нм. Определить излучательность этого тела.
6.5Определить длину волны излучения, соответствующую максимальному значению спектральной плотности излучательности абсолютно черного тела, если тело нагрето до темпера-
туры 900°С.
6.6 Определить максимальное значение спектральной плотности излучательности абсолютно черного тела, нагретого до температуры 900 °С.
6.7 Определить температуру, до которой нагрето абсолютно черное тело, если максимальное значение спектральной плотности излучательности равно 106 Вт/см2.
67
6.8 Определить интегральную степень черноты тела, нагретого до температуры 700 °С, если его излучательность равна
3· 104 Вт/м2.
6.9Определить излучательность угля, нагретого до темпе-
ратуры 700 °С. Степень черноты принять равной 0,8.
6.8 Определить интегральную степень черноты тела, нагретого до температуры 700 °С, если его излучательность равна
3· 104 Вт/м2.
6.9Определить излучательность угля, нагретого до темпе-
ратуры 700 °С. Степень черноты принять равной 0,8.
6.10 Определить спектральную плотность излучательности абсолютно черного тела, нагретого до температуры 1500 °С для длины волны 800 нм.
6.11Максимум излучения зачерненного тела соответствует
длине волны λm = 750 нм. Определить его температуру и излучательность.
6.12Температура тела t = 140 °С. Определить степень чер-
ноты его поверхности, если с площади S = 4 см2 за время 5 мин излучается энергия W = 166 Дж.
6.13 Определить площадь поверхности абсолютно черного тела, если при длине волны, соответствующей максимуму излучения (λm = 0,5 мкм), энергетический поток излучения составляет Ф = 15 кВт.
6.14 Температура первого абсолютно черного тела Т = 2,6 103 К. Определить температуру второго абсолютно черного тела, если длины волн, соответствующие максимуму их испускательных способностей, различаются на Δλm = 0,2 мкм.
6.15Максимум спектральной плотности излучательности
яркой звезды Арктур приходится на длину волны λm = 0,58 нм. Принимая, что звезда излучает как черное тело, определить температуру ее поверхности и излучательность.
6.16Определить установившуюся температуру зачерненной пластинки, расположенной перпендикулярно солнечным лучам вне земной атмосферы. Солнечную постоянную принять равной
С= 1,4 кДж/(м2 · с).
68
6.17 Определить, какое количество энергии излучает абсолютно черное тело с поверхности площадью S = 5 см2 за время t = 4 с, если максимум спектральной плотности его излучательности приходится на длину волны света λm = 480 нм.
6.18 В астрономии |
Земля условно считается серым телом, |
|
имеющим температуру |
Т = 280 |
К. Определить степень черноты |
Земли, если ее излучательность |
Rэ* = 325 кДж/(м2 · ч). |
|
6.19 На какую длину волны приходится максимум испускательной способности абсолютно черного тела, если его излучательность Rэ* = 400 кВт/м2?
6.20Нагретая чугунная отливка при температуре 750 °С излучает с поверхности площадью S = 5 см2 за время t = 15 с энергию W = 300 Дж. Определить коэффициент поглощения поверхности отливки, считая ее серым телом.
6.21Определить длину волны, на которую приходится максимум спектральной плотности излучательности абсолютно
черного тела, и его излучательность, если температура
Т= 1,2 кК.
6.22Излучение Солнца можно считать близким к излучению абсолютно черного тела с температурой Т = 5800 К. Какое количество энергии излучает Солнце за 1) t = 5 мин; 2) 1 ч; 3) 1 год? Радиус Солнца R = 6,95 · 108 м.
6.23При изменении температуры серого тела в два раза длина волны, соответствующая максимуму испускательной
способности, увеличилась на Δλm = 450 нм. Определить начальную и конечную температуры тела.
6.24Как и во сколько раз изменилась длина волны, соответствующая максимуму испускательной способности в спектре серого тела, если мощность излучения при этом увеличилась в
16 раз?
6.25Степень черноты вольфрамовой спирали равна a = 0,3,
атемпература t = 2200 °С. Определить ее площадь, если мощность излучения составляет P = 25 Вт.
69