kletenik_doc / kletenik_11

§ 11. Параметрические уравнения линии

Обозначим буквами х и у координаты некоторой точки М; рассмотрим две функции аргумента t:

При изменении t величины х и у будут, вообще говоря, меняться, сле­довательно, точка М будет перемещаться. Равенства (1) называются параметрическими уравнениями линии, которая является траекторией точки М; аргумент t носит название параметра. Если из равенства (1) можно исключить параметр t, то получим уравнение траектории точки М в виде

F(x, y) = 0.

204. Стержень АВ скользит своими концами А к В по координатным осям. Точка М делит стержень на две части АМ = а и ВМ = b. Вывести параметрические уравнения траекто­рии точки М, приняв в качестве параметра

Черт. 8. угол t = <OBA (черт. 8). Исключить затем параметр t и найти уравнение траектории точки М в виде F(x, y) = 0

205. Траекторией точки М является эллипс, уравнение которого

(см. задачу 190). Вывести параметрические уравнения траектории точки М, принимая в качестве параметра t угол наклона отрезка ОМ к оси Ох.

206. Траекторией точки М является гипербола, уравнение которой (см. задачу 191). Вывести параметрические уравне­ния траектории точки М, принимая в качестве параметра t угол наклона отрезка ОМ к оси Ох.

207. Траекторией точки М является парабола, уравнение кото­рой у² =2рх (см. задачу 192). Вывести параметрические уравнения траектории точки М, принимая в качестве параметра t:

1) ординату точки М;

2) угол наклона отрезка ОМ к оси Ох;

3) угол наклона отрезка FM к оси Ох, где точка F — фокус параболы.

208. Даны полярные уравнения следующих линий:

1)  = 2Rcos; 2)  = 2Rsin; 3)  = 2p.

Составить параметрические уравнения этих линий в декартовых прямоугольных координатах, совмещая положительную полуось абсцисс с полярной осью и выбирая в качестве параметра полярный угол.

209. Даны параметрические уравнения линий:

1) 2) 3)

8

4) 5) 6)

7)

исключив параметр t, найти уравнения этих линий в виде

F(x, y) = 0