kletenik_doc / kletenik_o2

ОТВЕТЫ (Глава 2)

146. f(x, у) =2ах—а². 147. 1) f (x; у) = 2ах; 2) f (x, у) = —2ax — а². 148. f(x, у) = 4x² + 4у² + 2а². 149. f (x, у) = 4x² + 4y² — 4ах — 4ау + 4а². 150. f (х, у) = х² + y² — 25. 151. f (х, у) = 2ху— 16. 152. При повороте координатных осей выражение функции не меняется. 153. (3; 1). 154. Такой точки не существует. 155. ±45° или ± 135°. 156. 30°, 120°, —60°, — 150°. 157. Точки M₁, M₄ и M₅ лежат на ли­нии; точки М_г, М₃ , и М_в не лежат на ней. Уравнение определяет биссек­трису второго и четвёртого координатных углов (черт. 57). 158. а) (0; — 5), (0; 5); б) (—3; —4), (—3; 4); в) (5; 0); г) на данной линии такси точки нет; д) (— 4; 3), (4; 3); е) (0; — 5); ж) на данной линии такой точки нет. Уравне­ние определяет окружность с центром О (0; 0) и радиусом 5 (черт. 58). 159. 1) Биссектриса первого и третьего координатных углов; 2) биссектриса второго и четвёртого координатных углов; 3) прямая, параллельная оси Оу, отсекающая на положительной полуоси Ох, считая от начала координат, отрезок, равный 2 (черт. 59); 4) прямая, параллельная оси Оу, отсекающая на отрицательной полуоси Ох, считая от начала координат, отрезок, равный 3 (черт. 59); 5) прямая, параллельная оси Ох, отсекающая на положительной полуоси Оу, считая от начала координат, отрезок, равный 5 (черт. 59); 6) пря­мая, параллельная оси Ох, отсекающая на отрицательной полуоси Оу, считая от начала координат, отрезок, равный 2 (черт. 59); 7) прямая, совпадающая с осью ординат; 8) прямая, совпадающая с осью абсцисс; 9) линия

Черт. 57. Черт. 58.

состоит из двух прямых: биссектрисы первого и третьего координатных углов и пря­мой, совпадающей с осью ординат; 10) линия состоит из двух прямых: бис­сектрисы второго и четвёртого координатных углов и прямой, совпадающей с осью абсцисс; 11) линия состоит из двух биссектрис координатных углов (черт. 60); 12) линия состоит из двух прямых: прямой, совпадающей с осью

Черт. 59. Черт. 60.

абсцисс, и прямой, совпадающей с осью ординат; 13) линия состоит из двух прямых, параллельных оси абсцисс, которые отсекают на оси ординат, считая от начала координат, отрезки, равные 3 и —3 (черт. 61); 14) линия состоит из двух прямых, параллельных оси Оу, которые отсекают на положительной полуоcи Ох, считая от начала координат, отрезки, равные 3 и 5 (черт. 62); 15) линия состоит из двух прямых, параллельных оси Ох, которые отсекают на отрицательной полуоси Оу, считая от начала координат, отрезки, равные 1 и 4 (черт. 63); 16) линия состоит из трёх прямых: прямой, совпадающей с осью абсцисс, и двух прямых, параллельных оси ординат, которые отсекают на по­ложительной полуоси абсцисс, считая от начала координат, отрезки, равные

Черт. 61. Черт. 62.

` Черт. 63. Черт. 64.

Черт. 65.

2 и 5; 17) линия состоит из двух лучей: биссектрис первого и второго координатных углов (черт. 64); 18) линия состоит из двух лучей: биссектрис пер­вого и четвёртого координатных углов (черт 65, а); 19) линия состоит из двух лучей: биссектрис третьего и четвертого координатных углов (черт. 65, а); 20) линия состоит из двух лучей: биссектрис второго и третьего координат­ных углов (черт. 65,8); 21) линия состоит из двух лучей, расположенных в верх­ней полуплоскости, выходящих из точки (1; 0) и направленных параллельно биссектрисам координатных углов (черт. 64); 22) линия состоит из двух лучей,

Черг. 66. Черт. 67.

расположенных в верхней полуплоскости, выходящих из точки (— 2; 0) и на­правленных параллельно биссектрисам координатных углов (черт. 64); 23) ок­ружность с центром в начале координат и радиусом 4 (черт. 66); 24) окруж­ность с центром O₁ (2; 1) и радиусом 4 (черт. 66); 25) окружность с центром

Черт. 68. Черт. 69.

(—5; 1) и радиусом 3; 26) окружность с центром (1; 0) и радиусом 2; 27) ок­ружность с центром (0; — 3) и радиусом 1; 28) линия состоит из одной точки (3; 0) — вырожденная линия; 29) линия состоит из одной точки (0; 0) — выро­жденная линия; 30) нет ни одной точки, координаты которой удовлетворяли бы данному уравнению («мнимая линия»); 31) нет ни одной точки, коорди­наты которой удовлетворяли бы данному уравнению («мнимая линия»). 160. Линии 1), 2) и 4) проходят через начало координат. 161. 1) а) (7; 0), (—7; 0); б) (0; 7), (0; —7); 2) а) (0; 0), (6; 0); б) (0; 0), (0; —8); 3) а) (— 10; 0), (— 2; 0); б) линия с осью Оу не пересекается; 4) линия с координатными осями не пересекается; 5) а) (0; 0), (12; 0); б) (0; 0), (0; —16); 6) а) линия с осью Ох не пересекается; б) (0; —1), (0; —7); 7) линия с координатны­ми осями не пересекается. 162. 1) (2; 2), (— 2; — 2); 2) (1; — 1), (9; — 9); 3) (3; — 4), (1 ; —4); 4) линии не пересекаются. 163. Точки М₁ М₂ и М₄ лежат на данной линии; точки M₃ и М₅ не лежат на ней. Уравнение определяет окружность (черт. 67). 164. а) (6; ); б) (6; — ) ; в) (3; 0); г) (2; ) ; прямая, перпендикулярная к полярной оси и отсекающая на ней, считая от полюса, отрезок, равный 3 (черт. 688). 165. а) (1;); б) (2; ) и (2; ); в) (; ) и (; ); прямая, расположенная в верхней полуплоскости, параллельная полярной оси и отстоящая от неё на расстоянии 1 (черт. 68). 166. 1) Окружность с центром в полюсе и радиу­сом 5; 2) луч, выходящий из полюса, наклонённый к 2полярной оси под углом(черт. 69); 3) луч, выходящий из полюса, наклонённый к полярной оси под углом — (черт. 69); 4) прямая, перпендикуляр­ная к полярной оси, отсекающая на ней, считая от полюса, отрезок а = 2; 5) пря­мая, расположенная в верхней полуплоско­сти, параллельная полярной оси, отстоящая от неё на расстоянии, равном 1; 6) окруж­ность с центром C₁ (3; 0) и ра2диусом 3 (черт. 70); 7) окружность с центром С₂ (5; ) и радиусом 5 (черт. 70); 8) линия состоит

Черт. 71. Черт. 72.

из двух лучей, выходящих из по­люса, один из которых наклонён к полярной оси под углом ,

а другой — под углом (черт. 70); 9) линия состоит из концентрических окруж­ностей с центром в полюсе, радиусы которых r определяются по формуле , где n —любое целое положительное число или нуль. 167. Черт. 71 и черт. 72,

дачи удовлетворяют две окружности, уравнения которых в полярных коор­динатах , . 204. , . 205. ,

206. ,

207. 1) , ; 2) , ; 3) ,

. 208. 1) 2) 3) . 209. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7)