1.6.2. Дисперсия, её математические свойства и способы расчёта

Дисперсия наряду со среднеквадратическим отклонением являются мерилом надёжности средней величины. Чем меньше дисперсия и среднеквадратическое отклонение, тем лучше средняя арифметическая отражает всю представляемую ею совокупность.

Дисперсия обладает рядом свойств (доказываемых в математической статистике), которые часто позволяют упростить расчёты. Эти свойства следующие:

1. Если из всех значений вариант отнять какое-либо постоянное число то дисперсия от этого не изменится.

2. Если все значения вариант разделить на какое-либо постоянную число то дисперсия уменьшится от этого враз.

3. Средний квадрат отклонений от любой величины отличной от средней арифметическойвсегда больше дисперсии, причём

или

Используя свойства дисперсии, её можно вычислить упрощёнными способами без привлечения формулы, определяющей дисперсию. Из последней формулы в случае, когда следует

т. е. дисперсия равна разности среднего квадрата признака минус квадрат среднего значения признака. В статистике величины иназывают начальными моментами второго и первого порядка, соответственно.

Способ расчёта дисперсии по формуле

называется способом моментов.

В случае расчёта дисперсии интервального вариационного ряда при условии равных интервалов применяется модифицированный способ моментов, или способ отсчёта от условного нуля. Используя второе свойство дисперсии, разделив все варианты на величину интервала , получим

1.6.3. Виды дисперсий, правило сложения дисперсий и его использование в анализе факторов

Вычисляя общую дисперсию изучаемого признака в пределах совокупности, мы не можем оценить влияние отдельных факторов, определяющих вариацию индивидуальных значений (вариант) признака. Это можно сделать лишь при помощи группировок, подразделив изучаемую совокупность на группы, однородные по признаку-фактору. В статистике, используя метод группировок, определяют три показателя вариации признака в совокупности в виде трех различных дисперсий:

– общей (генеральной) дисперсии;

– межгрупповой (факторной) дисперсии;

– средней внутригрупповых дисперсий (остаточной дисперсии).

Общая дисперсия характеризует вариацию признака, которая зависит от всех условий (факторов) в данной совокупности, и исчисляется по формуле

где – средняя величина изучаемого признака для всей совокупности.

Межгрупповая (факторная) дисперсия отражает вариацию изучаемого признака которая возникает под влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она характеризует вариацию групповых среднихоколо общей среднейи вычисляется по формуле

где – численность отдельных групп; – средние групповые значения признака.

Средняя внутригрупповых дисперсий (остаточная дисперсия) характеризует случайную, не обусловленную признаком-фактором, вариацию. Эта вариация возникает под влиянием других, не учитываемых факторов, и не зависит от признака-фактора , положенного в основание группировки. Она определяется по формуле

,

где – дисперсия изучаемого признака в каждой отдельной группе.

В математической статистике доказывается правило сложения дисперсий, которое говорит, что общая дисперсия равна сумме межгрупповой дисперсии и средней внутригрупповых дисперсий. Оно записывается в виде формулы

Это правило (закон) сложения дисперсий имеет большую практическую значимость, так как позволяет выявить зависимость вариации от определяющих её факторов при помощи соотношения межгрупповой и общей дисперсии

Последнее соотношение называется коэффициентом детерминации и определяет процент различий (отклонений) в совокупности, обусловленный признаком-фактором, выбранным для группировки в качестве основного.

Пример. При исследовании производительности труда (признак ) совокупности рабочих на предприятии была проведена группировка рабочих по размеру заработной платы (признак). В результате статистической обработки данных и расчётов коэффициент детерминации (по признаку) оказался равнымЭто означает, что различия в производительности труда отдельных рабочих лишь на 43% обусловлено фактором заработной платы и, следовательно, на 57 %– прочими факторами (условиями).

В статистике наряду с дисперсией количественного признака определяется дисперсия альтернативного признака. Альтернативными являются признаки, которыми обладают одни единицы совокупности и не обладают другие. Формула расчёта дисперсии альтернативного признака имеет вид

где доля вариант, обладающих определенным значением признака.