Сопромат 1_a_рус_2001

h1max и h2max определяются с учетом масштаба из рисунка 2.6 . (Максимальные расстояния от соответствующей оси до наиболее удаленной точки сечения проводятся касательные к точкам сечения, параллельные соответствующей оси).

2.3.8. Проверки:

а). Инвариантность моментов инерции

Ix + Iy = I1 + I2

22596 + 16534 = 30311 + 8819

39130 = 39130

б). Эксперементальность моментов инерции:

I1 > Ix > Iy > I2

30311 >22596 >16534 > 8819

аналогично

I2 < Iy < Ix < I1

в).Перпендикулярность главных осей 1 и 2:

| 1| + | 2| = \2

36,79 + 53,21 = 90o = \2.

24

Пример выполнения расчетной работы.

Пример 3.4.1.

Построить эпюры Мх и Qy. Данные взять из Табл.3.1.

1. Проверяем статическую определимость балки. Для нахождения трех неизвестных реакций RA, Rc и Н имеем три уравнения статики 3 3=0.

Задача статически определима. 2. Определяем опорные реакции

9

15

Рис.3.1

Z=0, H=0,

MA =0; P1·1 Rc·3+P2·4+M=0

1

Rc 3 18 1 3 4 612kH

Mc=0; RA·3+M P1·2+P2·1=0

1

RA 3 6 18 2 31, 9kH

4. Проверяем найденные значения реакций:

Y=RA P1+Rc P2=9 18+12 3 = 0 .

Реакции найдены верно.

3. Балка имеет 3 участка: АИ, ВС, СD.

25

4. Записываем для каждого участка аналитические выражения для Мх и Qy. 1 участок 0 Z1 1

Qy =RA= 9 кН

MIx RA Z1; Mz=0 =0; Mz=1= 9·1 = 9кНм. II участок 0 Z2 2

Qy =RA P2= 9 18 = 9 кН

Mx= RA (1+Z2) P1Z2 +m; Mz=0 =15 кНм; Mz=2=3кНм. III участок

Qy = P2=3 кН

Mx = P2Z3; Mz=0 =0; Mz=1 = 3 кНм.

5.По найденным значениям Мх и Qy строим эпюры (см.рис.3.1).

6.Используем зависимость dМх / dz= Qy для анализа эпюр Мх и Qy:

эпюра Мх график функции;

эпюра Qy график первой производной функции.

На I и III участках производная Qy положительная функция возрастает, на II участке Qy = 9 кН, момент убывает от 15 кН до 3 кН.

На эпюре Мх скачек в сечении, где приложен сосредоточенный момент. На эпюре Qх скачки в сечениях, где действуют сосредоточенные нагрузки P1, RA, P2, Rс.

Пример 3.2.

26

1. Проверяем статическую определимость балки. Для нахождения трех неизвестных RA, RD и Н имеем три уравнения статики: 3 3=0. Задача статически определима.

2. Находим величины опорных реакций;

Проверяем найденные значения опорных реакций:

Fy= RA q·4+ RD =5 8+3=0.

3.Балка имеет три участка.

4.Записываем аналитические выражения Мх и Qy для всех участков.

I участок 0 Z1 4

Qy =RA qZ1;

Qz1=0 =3 кН; Qz=4=3 8 = 5кН;

II участок 0 Z2 1 Qy = RD= 5 кН;

Mx= RA (4+Z2) q·4(2 +Z2); Mz=0 =3·4 2·4·2= 4 кНм; Mz=1=3·5 2·4·3= 9кНм.

III участок 0 Z3 1

Qy = RD= 5 кН;

Mx= RD Z3; Mz3=0 =0; Mz=1 = 5·1=5 кНм.

5.Строим эпюры Mx и Qy (рис.3.2).

6.На эпюре Qy скачки в точках А и D на величину реакций RA и RD. На эпюре Mx скачек в точке С на величину М = 14 кНм.

На первом участке при 0 Z 1,5, где Qy > 0 момент возрастает от 0 до 2,25 кНм. На всех остальных участках, где Qy < 0, функция момента убывающая.

Эти выводы справедливы для правосторонней системы координат.

28

II участок 0 Z2 1 Qy=P q·2=5 4=1 кН; Mx= PZ2+q·2(1+Z2); Mz=0=4кНм; Mz=1= 5+8=3кНм. III участок 0 Z3 2

Qy = qZ3; Qz=0 =0; Qz=2= 4 кН;

Mx qZ32 ; Mz=0=0; Mz=2=4кН;

2

5.По найденным значениям строим эпюры (рис.3.3).

6.На эпюре Мх скачек в точке В на величину сосредоточенного момента М=7 кНм. На эпюре Qу скачек в точке С на величину силы Р=5кН. На первом и втором участках эпюра Qy

>0, функция момента возрастает. На третьем участке Qy< 0, функция момента убывает от 4 кН до 0.

7.Подбираем поперечные сечения балок, исходя из условия прочности по нормальным напряжениям при изгибе.

а) принимаем сечение двутавра № 12с Wx=58,4 см3, F=14,7см2

Принимаем 2 [ № 8 Wx=22,4·2=44,8см3 F = 2·8,98 = 17,96 см2;

F = r2 = 3,14·3,932 = 49,2 см2

f) сравниваем балки с различными поперечными сечениями по массе длинной l = 1м и плотностью .

G1пм=V· = F l , l · const

Следовательно, достаточно сравнить балки по площади поперечного сечения. Результаты расчета сводим в табл.3.7

Таблица 3.7

Наиболее рациональной является двутавровая балка.

30

Пример 3.4

Для рамы, изображенной на рис.3.5, построить эпюры Мх, Qy, Nz. 1. Проверяем статическую определимость рамы.

Данная рама является статически определимой, так как для нахождения трех опорных реакций RA, HA и RE имеем три уравнения статики: 3 3 = 0.

2. Определяем опорные реакции рамы:

Z = 0; HA+ P1 = 0; HA = P1 = 3 кН;МА = 0; P2· 2 + M P1 ·4 q·2·1+RE·2=0;

1

RE 2 3 4 2 2 4 2 2 3кН;

МЕ = 0; НА·4 М Р2 ·4 q·2·1+RA·2 = 0;

1

RA 2 2 4 4 2 2 3 4 5кН.

Проверка;

FY = RA q·2 P2+RE = 5 4 4+3 = 0. 3. Определяем количество участков:

Границами участков в рамах, кроме перечисленных в балках, являются узлы рамы. Данная рама имеет 4 участка.

4. Записывая выражения Мх, Qy, Nz для вертикальных элементов рамы, нужно условно стать лицом к этому элементу с любой стороны и рассуждать как в случае с балкой. Учитывая, что момент Мх при подходе с разных сторон имеет противоположные знаки, последние на эпюре Мх не указываются. Ординаты эпюр откладываются перпендикулярно оси рамы.

I участок 0 Z1 2;

Q4I RE qZ1; Z1 = 0; Q4I RE = 3кН;

Z1=2; Q4II 3 2 2 1кН;

MIx(max) 3 1,5 2 1,52 4,5 2,25 2,25кНм.

2

d2Ma q; ( ) выпуклая

dZ2

Z = 0; Nz1 =0

IIучасток 0 Z2 3;

MIIz 0 3 2 2 2 2кНм; MIIz 3 3 3 3 2 2 2 7кНм