которой проходят через начало координат. (Ответ: у = Сх.)
4.24. Записать уравнение кривой, каждая касательная к которой пересекает прямую у = 1 в точке с абсциссой,
равной удвоенной абсциссе точки касания. (Ответ:
y=Cjx+l.)
4.25. Записать уравнение кривой, обладающей следую щим свойством: если через любую ее точку превести
·прямые, параллельные осям координат, до пересечения с
этими осями, то площадь полученного прямоугольника
делится кривой на. две части, причем площадь одной из
них вдвое больше площади другой. (Ответ: у . сх2.)
4.26. Записать уравнение кривой, |
если касательная |
к ней отсекает на оси Оу отрезок, |
равный по длине |
~ -й сумме' координат точки J<зсания. (Ответ: у =
=Cx(n-I)/n - х.)
4.27.Записать уравнения кривых, для которых длина
отрезка, отсекаемого нормалью в точке М(х, у) на оси Ох,
равна у2j х. (Ответ: у= |
Х-У2 In (Сj х).) |
4.28. Записать уравнения кривых, для которых длина |
отрезка, |
отсекаемого |
касательной на оси· Оу; равна |
квадрату |
абсциссы точки касания. (Ответ:· у= Сх - х2.) |
. 4.29. |
Записать уравнения кривых, ДЛЯ' которых длина |
отрезка отсекаемого нормалью в тdчке М(х, у) на оси Оу
равна х2 jy. (Ответ: С = x2 j(2y2) + Iп у.)
4.30. В точке с ординатой 2 кривая наклонена к оси
Оу под углом 450. Любая ее касательная отсекает на
оси абсцисс отрезок, равный по длине квадрату ординаты
точки касания. Записать уравнение данной кривой. (Ответ:
Решение типового варианта
1. Найти частное решение линейного однородного диф
ференциального уравнения
ylV _ у = 'О' у(О) , 5; у'(О) = 3, у" (О) = у'"(О) = О.
~Составляем характеристическое уравнение и ре
шаем его:
1.4 - 1 = О, (1.2 - 1) (1.2 + 1) = 0,1.1 = -1,1.2 = 1, 1.3.4 = +i.
Общее решение исходного уравнения имеет вид
у = C1e- x + С2еХ + С3 COS Х + С4 sin х.
Находим |
-Cle- x + С2еХ - Сз sin х + С4 COS х, |
у' |
= |
у" |
= |
C1e- x + С2еХ - Сз cos х - С4 |
sin х, |
у'" = |
- Cle- x + С2еХ + Сз sin х - |
С4 COS х. |
Используя начальные условия, составляем систему для
спределения значений C1, С2, Сз, С4 И решаем ее:
С1 |
+С2 |
+Сз |
=5, } |
|
|
|
-С1 |
+ С2 |
+ С4 =3, |
|
|
|
С1 + С2 - Сз |
=0, |
2С1 +2С2=5,} |
-C 1 +C2 -C4 =0, |
-2C1 +2C2 =3, |
|
откуда С1 = |
1/2, С2 = 2, |
Сз = 5/2, |
С4 = 3/2. |
|
Частное решение исходного уравнения имеет вид |
|
|
1 |
е |
-Х + 2 Х + 5 |
+ З. |
.... |
|
У =""2 |
|
е |
""2 cos х |
""2 S1П х. |
~ |
2. Решить |
систему |
дифференциальных |
уравнений |
|
х'= -:7х+у, |
х = x(t), |
х' = dx/dt,} |
|
у'= -2х-5у, |
у = y(t), |
у' = dy/dt |
двумя способами: а) сведением к дифференциальному уравнению высшего порядка; б) с помощью характери
стического уравнения.
~ а) Дифференцируем первое уравнение данной
сИстемы. Получаем: х" = - 7х' +у!. Затем заменяем в
последнем уравиении у' его выражением из второго урав
нения данной системы: х" = - 7х' - 2х - 5у. В последнем уравнении у заменяем выражением у = х' +7х, найденным
из первого уравнения системы. В итоге приходим к
дифференциальному уравнению ~TOPOГO порядка относи
тельно неизвестной функции x(t):
х" = -7х' - 2х - 5(х' + 7х), х" + 12х' + 37х = о.
Решаем ПОС.'Iеднее уравнение известным методом
(см.§ 11.7):
Л,2 + 12Л, +37 = |
о, л'1,2 = |
- 6 ±.,J36 - 37 |
= - 6 + i, |
х = |
е-6/(С1 |
cos t + С2 |
sin t). |
.Отсюда находим |
|
|
е-б/(- С, sin t + |
х" = -6е-б/(С1 |
COS t + |
С2 sin t) + |
|
+ С2 COS t.) |
|
|
Подставляя полученные выражения для Х и х' в у = х' +
+7х, имеем
у = -6е-бt (С1 cos t + С2 sin t) +е-бt ( -С1 sin t + + С2 cos t) +7е-61 (С1 cos t + С2 siп t).
Следовательно, искомым решением являются функции:
Х = |
e-бl(С1 cos t + С2 sin t), |
|
у = |
e-бt(С1 (cos t - |
sin t) + C2(cos t + sin t»; |
б) Составляем характеристическое уравнение и ре |
шаем его: |
|
|
|
|
- 7 -Л |
|
(7 + л) (5 + л) + 2 = О, |
1 -2 |
|
=0, |
|
л2 + 12л + 37 =0, |
Л1.2 = |
- 6 +i. |
Для "'1 |
= - 6 +i получаем |
систему (ср. с примером |
2 из § 11.7): |
|
|
|
|
(-7+6-nа+ |
|
~=~} |
|
-2а |
(-5 +6 -i)~=О, |
|
-(1 +Оа |
|
+ |
~=o,} |
|
-2a+(1-i) |
~=O. |
Полагая а = 1, ~ = 1 +i, находим первое частное ре
шение исходного уравнения:
ХI =е(-~+Ф, УI =(1 +i)e(-6+i)t.
ДЛЯ Л2 = |
- 6 - i имеем систему |
|
( - |
7 +6 +i)a + |
|
~ = О,} |
|
. -2а +<-5 +6 |
+ i)~ =0, |
|
(-1 +i)a+ |
(1 |
~=o,} |
|
-2а+ |
+i)~=O. |
Полагая а = |
1 и ~ = 1 - i, получаем второе частное реше |
ние исходного уравнения: |
|
|
Х2 = е(-б-i)l, У2 = (1 - i)е(-б-i)l.
Переходим к новой фундаментальной системе решений
по формулам:
ХI |
= (ХI |
+Х2)/2, |
Х2 |
= (ХI - |
X2)/(2i), |
УI |
= (УI |
+У2)/2, |
У2 |
= (УI - |
У2)/ (2i). |
Используя формулу Эйлеr,а
e<,,±~)t = е" (cos ~t + i sin ~t),
находим:
ХI = е-бl cos t, |
Х2 = е-бl sin t, |
УI = е-бt(соs t - siп t), |
У2 = е-бt(соs t +sin t); |
Общее решение_исходl!..ОЙ систе~ы име~ вид |
|
х = C1XI + С2Х2, У = C1YI + С2У2, |
т. е. |
|
cos t + С2 sin t), |
х = |
e-бt(С1 |
У = |
e-бt(С1 |
(cos t - |
siп t) +C2(COS t +siп t». ~ |
3. Решить дифференциальное уравнение
Y"-Y=~
еХ -1
методом вариации ПРОИЗВОЛЬQЫХ постоянных.
.. Решаем соответствующееоднор<}Дное уt'авнение:
у"-у=о, л2 -1=0, лi=·...:..1, 1...2=1.
Общим решением однородного уравнения будет
У = |
C1e- x + С2еХ• |
Считаем, что С1 и С2 - |
функции от Х, т. е. |
У = СI (х)е-Х + С2(х)еХ•
Определяем C1(x) и С2(х) из системы (см. систему (11.39»
|
C~ (х)УI + СНХ)У2 |
. О, |
|
|
} |
|
|
|
|
|
C~ (x)y~ + CHx)Y~ ...:.. '(х), |
|
|
|
|
|
которав для данного уравнения имеет вид |
|
|
|
|
C~(х)е- |
Х |
+ CHx)~ = о, |
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
(е |
|
- |
|
|
- |
C~ (х)е- |
Х |
+ СНх)е |
= 2е / |
|
1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Х |
|
Х |
|
Х |
|
|
|
|
Находим из нее СНх), СНх): а затем и С2(Х), С1 (х): |
|
2C~(x)eX=~, |
|
CHx)=_I_, |
|
|
|
|
|
|
|
|
eX -1 |
|
|
|
еХ _1 |
|
|
|
|
С () |
(dx |
= |
|
It...:.. еХ, |
х = |
lп 1'1 |
|
( |
dt |
|
= |
2 Х =]е _ 1 |
|
|
dx = |
dt/t |
|
|
=) |
t(t |
- 1) |
=(~_(dt =In It-ll-ln Itl +C2=ln It - |
t |
1 1 + • |
)t - 1)t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
-~ |
е2х |
d _1 t = ех, dt = е dx, I- |
СtX( ) - --Х |
|
Х |
х- |
It - |
|
|
е _1 |
|
х= n |
= _( .tdt |
....:.... _( t - 1 + 1 dt = |
_ t -In 1t - 11 + С! = |
)1-1 |
) |
t-1 |
|
=-~-In lex - ll +C t •
Следовательно, согласно формуле (11.38), общее ре
шение исходного уравнения имеет вид.
у=(_е- |
Х |
-1п I~ -11 +Ct)e- |
X |
+(IП I~; 11 |
+ С2)е |
х |
= |
|
|
|
|
|
|
= C1e- X + С2еХ +еХ lп lex ;: 11_ е-Х Iп lex- |
11 - 1. ~ |
4. |
Записать уравнение кривой, проходящей через точку |
Р(I, |
2) и |
|
обладающей следующим свойством:' площадь .' |
треугоЛьника, обр-азованного радиусом-веКТОРОl\:1 любой
точки кривой, касательной в этой точке и осью абсцисс,
равна 2.
х
Рис. 11.4
~Как видно из рис. 11.4, 10AI = 10BI + IABI =Х +
+1АВ 1. Из треугольника ВМА получаем: .
IБАI =сtg(л-а)= -ctga, |
IBAI = |
-у ctg а, |
у |
|
|
|
|
IBAI = _ L= _JL= _ydx |
10AI = |
10BI + IBAI = |
tg tt |
dy |
dy' |
|
|
dx
dx
=X - Ydy '
SOMA =O,510AI IMBI =2.
·Подставляя в последнее равенство выражения для IОА I и 1МВ 1, приходим К дифференциальному уравнению
~(X_ydX)Y=2 |
'. |
xy_ y 2 dx |
=4 |
2 |
dy |
|
dy' |
|
|
dx х |
- |
4 |
|
|
dy -у = |
у2' |
т. е. получили уравнение первого порядка, линейное
относительно функции |
х = х(у). |
Решаем его |
с помощью |
подстановки х = иv. Имеем: |
|
|
|
|
и'v.+ иv' - |
и; = |
- |
;2' |
|
и'v +и(~~ - |
;) = - |
;2 ' |
dv -.!:..=О |
dv =dy |
, (dv =(dy |
Iп |
'иl =In 'уl |
, |
dy |
у |
'v |
у |
J |
v |
J у , |
|
|
|
v = у, du У = _.! dи = _ 4ду |
|
и = ~ + с |
|
dy |
|
у2 ' |
|
|
!I |
' |
у2 |
' |
|
|
|
|
x=(~ + с)у= Cy+~. |
|
|
|
|
|
|
у2 |
|
|
|
|
У |
|
|
Искомая кривая проходит через точку P(l, 2), поэтому |
1 = |
2С + 1, |
С = |
о. Следовательно, |
ее уравнение х = 2/У |
или ху = |
2, |
т. е. |
данная кривая - |
гипербола. |
~ |
11.9.ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 1( ГЛ. 11
1.Ускорение локомотива прямо пропорционально силе
тяги F и обратно пропорционально массе поезда m. На
чальная скорость локомотива ио, -сила тяги F = Ь - kv,
где v - скорость; |
Ь, k - постоянные |
величины. |
Найти |
силу тяги локомотива по истечении времени |
t, |
если в |
начальный момент |
времени при t = О |
F = РО |
= Ь - kVQ. |
(Ответ: F = Fое-щт.)
2. Стальная проволока длиной 1 и площадью попереч ного сечения S растягивается с силой, значение которой постоянно возрастает дО Р. Найти работу силы растяже
ния, если удлинение проволоки определяется по формуле
Ы = k: 10, где k - коэффициент удлинения; /0 - перво-
начальная длина проволоки. (Ответ: А =~;P2.)
3. Моторная лодка движется по озеру со скоростью
ио = 20 км/ч. Через 40 с после выключения ее мо.тора
скорость лодки уменьшается до иl = 8 км/ч. Определить
скорость лодки через 2 мин после выключения мотора.
(Сила сопротивления воды движению лодки пропор циональна ее скорости.) (Ответ: 1,28 км/ч.)
4.Наполненный водой цилиндрический сосуд высотой
Ни площадью дна S 1 имеет в дне отверстие пло щадью S2. Определить время полного истечения воды };Iерез отверстие. (Скорость истечения определяется по
формуле U =-.j2gh, где h - высота слоя воды в данный
момент; g - ускорение свободного падения.) (Ответ:
т = Sl_ f2ii.) |
|
|
|
|
|
|
S2'Jg |
|
|
|
|
|
|
5. Концы каната цепного моста |
находятся |
на |
вы |
соте Н = 5 м, а его середина - на |
высоте h = |
4 |
м |
от |
проезжей части моста. Длина моста |
2l = 20 |
т. |
|
Найти |
кривую провисания каната. (Ответ: |
у - |
4 = |
х2л00.) |
|
6. В куске горной породы содержится |
100 мг |
урана |
и 14 мг уранового свинца. Определить возраст горной
породы, если известно, что период полураспада урана
составляет 4,5. 109 лет и при полном распаде 238 г урана
образуется 206 г уранового свинца. (Считать, что в
момент образования горная порода не содержала свинца, и пренебречь наличием промежуточных продуктов распада
урана и свинца, который распадается гораздо быстрее.)
(Ответ: 975·106 лет.)
7. Масса ракеты с полным запасом топлива равна М,
без топлива - т, скорость истечения продуктов горения
из ракеты - с, начальная скорость ракеты равна нулю.
Найти скорость ракеты после сгорания топлива, прене
брегая силой ее тяжести и сопротивлением воздуха.
(Ответ: с Iп(М/m).)
8. С высоты 18 м над уровн.ем Земли брошено верти
кально вверх тело со скоростью 30 м/с. Найти высоту,
на которой тело находится в момент времени t, как функ цию времени. Определить наибольшую высоту подъема
тела. ( Ответ: S = h = - -} gt2 +30t + 18, hНаИб = 63,9 м.)
9. Известно, что скорость охлаждения тела в воздухе
пропорциональна разности температур тела и воздуха.
Температура тела в течение 20 мин снижается от 100 до 60 ос. Температура воздуха равна 20 ос. Определить вре мя, за которое температура тела понизится до 25 ос. (Ответ: 1 ч 20 мин.)
1. Контрольная работа ~Неопределенные интегралы» (2 часа)
Найти неопределенные интегралы.
1.3. ~ |
-..}sin х cos5 xdx. |
|
r ""';1 + 1п х |
|
|
1.5. J |
|
|
. |
х |
dx. |
|
17 r |
|
|
|
dx |
|
|
|
. . J ';;(1 +-F;' |
|
1.9. r |
|
|
sin xdx |
|
J у3 +2cos х |
|
1.11. ~ х3 |
arctg xdx. |
|
1 . 13 .. |
dx |
. |
|
|
|
~ |
2 SIП Х - |
3 cos х |
|
1.15. ~x2.2xdx. |
|
|
|
1.17. r |
|
fi..2 |
|
J X 2 |
|
х +1 |
|
1.19. ~ sin 5х cos xdx. |
|
1.21. r |
|
sin 5х |
|
dx. |
|
J |
1 + cos2 5х |
|
1.23. r |
3х |
З |
+~2,+5x+ 1dx. |
|
J |
|
|
|
х +х |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
1.25. ) |
(1 |
+ х2) (arctg х - 3) . |
1
J У7+ 2cos х
1.4. r х + (arccos 3х)2dx.
J -..}1 _ 9х2
( загсtg.х
1.6.J 1 + ~dx.
1.8.( cos xdx .
J Vsin 2 х
1.10.(J хХ3-+х1 dx.
3х-I
1.12. ) 4х2 -4х+ 17 dx.
1.14. ) |
х-8 |
dк.. |
-..}3 + 2х _ х2 |
|
dx· |
|
1.16. ~Х""';1 -ln 2 х. |
|
|
21пх |
|
1.18. ) |
_~dx. |
|
х-у1+41пх |
|
1.20. ( |
3 х +22 |
dx. |
Jx-2x+2x
1.22.(3 - 2 ~tg2 хdx.
J cos х
1.24. ( |
-.,J;idx .. |
|
J |
х(х-7) |
|
1.26. ( |
dx |
. |
J cos2 х(1 + tg хjЗ |
|
