RII_OCR[1]

+/0 sin 2х. ....

4.Найти частное решение дифференциального уравне­

ствующего однородного уравнения определяется фор­

мулой

у = C1 COS 4х + С2 sin 4х,

а частное его решение имеет вид

у* = (Ах +В)е-Х •

Находим:

у*' = Ае-Х - (Ах +В)е-х, у*" = -2Ае-Х +(Ах +В)е-Х•

323

Подставим выражения у*' и у*"в исходное уравнение

и из полученного тождества

-2А +Ах +В + 16Ах + I6B == 34х+ 13

найдем А = 2, В = 1. Тогда

у* = (2х + I)e- X

иобщее решение исходного уравнения имеет вид

у= r, ('os 4х + С2 sin 4х +(2х + I)e- x •

Используя начальные условия у(О) = -1, у'(О) = 5,

сос~авляем систему для вычисления значений С, и С2:

y(0)=-I=C1+I, } y'(0)=5=4C2 +2-1,

решение которой: С1 = -2, С2 = 1. Подставив значения

С, и С2 В общее решение, найдем частное решение

исходного уравнения:

у = sin 4х - 2 cos 4х + (2х + l)e- x . ....

5. Определить и записать структуру частного решения

у* линейного неоднородного дифференциального уравне­

НИЯ У""7" 9у = '(х) по виду функции '(х), если:

а) '(х) = (5 - х)е3Х; б) '(х) = х sin 2х.

ИД3-11.4

1. На~ти частное решение линейного однородного диф­

вет: у= 1 +x-еХ .)

324

у= 1 - cos х - sin х.)

1.6.уlll - у' = О, у(О) = О, у'(О) = 2, у" (О) = 4. (Ответ:

325

у'"(О) = -8. (Ответ: у={е2х _{е-2Х +-} sin 2Х.)

= у'"(О) = О, yIV(O) = 27. ( Ответ: у = 1 + 2х + ~ х2 _ еЗХ +

+ хе3Х.)

2. Решить систему дифференциальных уравнении дву­

мя способами: а) сведением к дифференциальному урав­

нению высшего порядка; б) с помощью характеристи­

ческого уравнения.

326

3. Решить дифференциальное уравнение методом

вариации произвольных постоянных.

3.1. у,,_у=_еХ _. (Ответ: y=(-~+~lп(еХ +

328

+С2 sin 2х +4 sin 2х ~ 'П Itg xl.)

3.14.у" + у = ctg х. (Ответ: у = с. cos х + С2 sin х +

+sinx·ln Itg(xj2)1.)

329

3.23. у" + 2у' +у= 3e-x-Гx+I. (Ответ: у =

+С2 sin х + 2 cos х ln \ctg (xj2) \ ~ 2.)

3.29.у" +2у'+ 5у = s~:~x' (Ответ: у=( - ; +

+CI)e-Х cos 2х +(+ln \sin 2х\ + С2)е-х sin 2х-)

3.30. у"+ 9у= соs'зх' (Ответ: у =( ~ ln Icos 3х\ +

+ CI) COS 3х+( ~ + С2) sin зх.)

4. Решить следующие задачи.

4.1. Записать уравнения кривых, обладающих следую­

щим свойством: площадь треугольника, образованного

. касательной к кривой, перпендикуляром, опущенным из

точки касания на ось абсцисс, и осью абсцисс, есть

величина постоянная, равна Ь2• (Ответ: у = 2ь2 j(C + х).)

4.2. Записать уравнение кривой, если известно, что

точка пересечения любой касательной к кривой с осью

абсцисс одинаково удалена от точки касания и от начала

.координат. (Ответ: у = с(х2 +у2).)

4.3. Записать уравнения кривых, обладающих следую­ щим свойством: площадь трапеции, ограниченной осями

координат, касательной к кривой и перпендикуляром,

опущенным из точки касания на ось абсцисс есть ве­

личина постоянная, равная 3а2• (Ответ: у-= Сх2 + 2а2jx.)

4.4. Записать уравнения кривых, обладающих следую­

щим свойством: площадь треугольника, ограниченного

касательной, осью абсцисс и отрезком от начала коорди-

330

нат до точки касания, есть величина постоянная, равная

а2. (Ответ: х = а2/у + Су.)

4.5.Записать уравнение кривой, если известно, что

с осью абсцисс имеет абсциссу, вдвое меньшую абсциссы

точки касания. (Ответ: у = сх2.)

4.7. Записать уравнения кривых, для которых сумма

катетов треугольника, образованного касательной, пер­

пендикуляром, опущенным из точки касания на ось

абсцисс, и осью абсцисс, есть величина постоянная, рав­

ная а. (Ответ: +х=С+аlпу-у(О<у<а).)

I 4.8. Записать уравнения кривых, для которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс имеет абсциссу, равную 2/3 абсциссы точки касания. (Ответ:

у= СхЗ .)

4.9.Записать уравнения кривых, обладающих следую­

щим свойством: длина отрезка оси абсцисс, отсекаемого

касательной и нормалью, проведенными из произвольной

точки кривой, равна 2/. (Ответ: х = С + llп(l +

+';z2 - y~ + -Vz2 - у2.)

4.10. За писать уравнение кривой, проходящей через точку А(2, 4) и обладающей следующим свойством:

длина отрезка, отсекаемого на оси абсцисс касательной, проведенной в любой точке кривой, равна кубу абсциссы

точки касания. (Ответ: у= 2-VЗХ/~1.)

4.11. Записать уравнение кривой, проходящей через

точку A(l, 5) и обладающей следующим свойством:

длина отрезка, отсекаемого на оси ординат любой каса­ тельной, равна утроенной абсциссе точки касания.

(Ответ: у = 3х 1п х + 5х.)

4.12. Записать уравнение кривой, проходящей через точку А(I, 2) и обладающей следующим свойством:

отношение ординаты любой ее точки к абсциссе этой точки пропорционально угловому коэффициенту касатель­

ной к искомой кривой, проведенной в той же точке. Коэф­

фициент пропорциональности равен 3. (Ответ: уЗ = 8х.)

4.13. Записать уравнение кривой, проходящей через точку А(2, -1), если известно, что угловой коэффициент

касательной в любой ее точке пропорционален квадрату

ординаты точки касания. Коэффициент пропорциоиаль­

ности равен 6. (Ответ: у = e6x - 12 .)

131

4.14. Записать уравнение КРИlюй, проходящей череа

точку А (1,2), .если. известно, что произведение углового коэффициента касательной в любой ее точке и суммы

координат точки касания равно удвоенной ординате Э'f.ой

точки. (Ответ: у = 2(у - х)2.)

4.15. Записать уравнение кривой, проходящей через

4.16. Записать уравнение кривой, обладающей следую­

щим свойством: длина перпенДИкуляра,' опущенного из

начадв координат на касательную, равна абсциссе точки

касания, (Ответ: у2 = ос _ х2 .) , "

4.17. Записать уравнение кривой, для которой угловой

коэффициент касательной в какой-либо ее точке в n' раз

больше углового коэффициента прямой, соединяющей эту

точку с началом координат. (Ответ: у = Схn .)

4.18. З:ЩQсать уравнение кривой, обладающей следую­

щим свойством: отрезок касательной к кривой, заклю­

ченный между осями КQординат, делится в точке касания

пополам. (Ответ: ху = с.) .

4.19. Записать ураВНение кривой, для которой' длина

отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведен­

fiОЙ' в каКОЙ-{l~бо т~чке I}РИВО~,раВRа'расстоянию от

этой точки до' начала:координат. (Ответ: у =-}-(Сх2 -

~~»), '.', . "

4До.. Записать уравnение кривой, для которой произве­

деftие абсциссы какой-либо ее точки и длины ОТр.езка, отсекаемого нормалью в этой точке на оси Оу, равно удвоенному квадрату расстояния от этой точки до начала

треугольник, образованный осью Оу, касательной и радиу­

com-вектоfом' .точки касания, является равнобедренным.

(Ответ: х +у2 = су, у2 = с2 - 2Сх, ху = с.)

4.22. Записать уравнение кривой, проходящей через точку А (2, О) и обладающую следующим свойством:

отрезок касательной между точкой касания и осью Оу

,2 + -../Х - х2

4.23.Записать уравнение кривой, все касательные к

332