RII_OCR[1]

SDMCO jMCj t jDOj • !OCI,

IMCI =у,

IDOI = +IDBI + IBOI = +

IDBI + IMCI =

10CI = х,

+ IDBI = -

IBMI tg а = -

=+ IDBI +у,

IBM1 у' = -ху',

где перед

1DB 1 ставится

знак

«+ »,

если

у' = tg а < О

(х< Xt, см. рис. 11.3), и

знак

«-»,

если

y'=tga>O

(Х > Xt). Поэтому В обоих случаях IDOI =

-ху' + у. Да­

лее находим:

SDMCO =y-x~' + Ух = 3,

_-}х2у' +ху = 3,

_х2у' + 2ху = 6,

у' -2.у = -

62'

Х =fr. О.

х

х

у = uv, у' = u'v + uv', u'v + uv' - 2uи = -

62'

Х

Х

u'v + u(dV _

2и) =

_.Q.

(1)

dx

х

х2 '

Так как кривая проходит через точку А (2,

2), то 2 =

= 2/2 +4С, С = 1/4. Искомая кривая имеет

уравнение

2

х2

-lfl6.

Она

изображена на

у = - +-, 0< х ~ Ха =

16.

х

4

рис. II.З. При х! =

-(f4 имеем точку

минимума.....

-Зу' +2у=0.

5у' +6у = О;

у" + Зу' = О;

у" +

1.4. а) у" -

б)

в)

+2у' +5у=0.

2у' + 10у = О;

у" + у' -

2у = О;

'1.5. а) у" -

б)

в) у" - 2у' = О.

.

1.6. а) у" -4у=0; б)

у" +2у' + 17у=0;

в)

у" ~

-у' -12у= О.

у" + 9у' =

1.7. а) у" +у' - 6у =

О;

б)

О;

в)

у"­

-4у' + 20у = О.

4у' + 5у =

1.8. а) у" -

49у =

О;

б)

у" -

О;

в)

у" +

+2у' -Зу=О.

5у' +4у =

1.9. а) у" + 7у' =

О;

б)

у" -

О;

в)

у" +

В) у"+5у'=0.

8у' + Зу =

у" - Зу' = О;

1.11. а)

4у" -

О;

б)

В) у"-

-2у' + 10y=0.

у" - Зу' -

1.12. а)

у" + 4у' + 20у =

О;

б)

10y =

О;

В) y"-16y=0.

y"-4y'-2Iy=0;

1.13. а)

9у"+6у'+у=0;

б)

В) у"+у=О;

+ Зу' + У =

у" + 4у' + 8у =

1.14. а)

2у"

О;

б)

О;

В) у" - 6у' +9у = О.

у" - 2у' + 2у =

1.15. а)

у" -

10y' + 2ly = О;

б)

О;

В) у" +4у' = О.

+ 10y' + 29у = О; В) у" -

1.16. а)

у" + 6у' = О; б)

у"

+2у' +2у=0.

Зу' = О; б)

у" -

7у' -

у" +

1.18. а) у" -

8у = О;

В)

+4у' + IЗу=О.

Зу' -

у" + 6у' + IЗу =

1.19. а) у" -

4у = О; б)

О;

В) у" + 2у' = О.

10y' + 16y=0; В) у"­

1.20. а) у" +25у' =

О; б) у" -

- 8у' + 16y = о.

Зу' -

18y =

у" -

у" +

1.21. а) у" -

О;

б)

6у' = О;

В)

+2у' +5у=0.

6у' + IЗу =

б) у" - 2у' -

15y = О;

1.22. а) у" -

О;

В) у" - 8у' = О.

у" + 6у' + 25у =

1.23. а) у" + 2у' + у = О;

б)

О;

В) у"-4у'=0.

6у' + 8у = О; В)

1.24. а) у" + lOy' =

О; б)

у" -

4у" +

+4у' +у=о.

9у" -

6у' +У = О;

1.25. а) у" + 5у = О; б)

В)

у"+

+6у' +8у=0.

у" -

4у' + 4у =

1.26. а) у" + 6у' + 10y = О;

б)

О;

В) у" - 5у' + 4у = О.

5у = О;

1.27. а) у" -

у = О; б) 4у" + 8у' -

В)

у"-

+Зу'-2у=0.

Зу = О; б) yll + 16y = О; В) 4у"-

1.29. а) 6у" + 7у' -

-4у' +у=О:

6у' + у = О; б) у" + 12y' + 37у = О;

1.30. а) 9у" -

В) у" - 2у' =0.

2

2.1. y"+y'=2x-l. (Ответ: y=CI+C2e-х+х2-

-Зх.)

+ 5у =

IOe-хсоs2х. (Ответ: У =

2.2. у" - 2у'

= еХ(С, cos 2х + С2 sin 2х) + е-Х cos 2х.)

2.3. { - 2у' -

= С,е- Х + С2е4Х

+

3 cos 2х.)

2.4. у" -

12у' +

36у =

14е6х. (Ответ: у =

С,е6Х +

+ С2хеБХ +

7х2еБХ

.)

2.5. у" -

3у' + 2у = (34 - 12х)е-Х . (Ответ: у = С,еХ +

+ Се2Х +(4 - 2х)е-Х.)

.

2.6. у" -

6у'

+ 10у =

5le- x • (Ответ: у =

еЗХ(С, cos х +

+ С2 sin х) +

3е-Х .)

(4х + 4) sin х. (Ответ: у =

2.7. у" +у =

2 cos х -

= С, cos х + С2

sin х +(х2 + 2х) cos х.)

2.8. у" + 6у'

+ 10у =

74еЗХ. (Ответ: у = е-ЗХ(С, cos х+

+ С2 sin х) +

2еЗХ

.)

2.9. у" -

3у' + 2у = 3 cos х + 19 siп х.

(Ответ:

у =

= С,еХ + С2е2Х +

6 cos х + siп х.)

2.10. V,"

+ 6у'

+

9у =

(48х + 8)еХ. (Ответ: у = С,е-ЗХ +

+ С2хе- Х + (3х - 1)еХ .& .

2.11. у"

+

5у' =

72е х. (Ответ: у = С, + С2е-5х + 3е2х.)

2.12. у" -

5J( -

6у =

3 cos х + 19 sin х.

(Ответ:

у =

=C,e-Х+С2еХ+соsх-2siпх.)

.

2.13. у" -

8у'

+

12у =

36х4

-

96хЗ + 24х2 + 16х -

2.

(Ответ: у =

С,е2Х

+

С2е6Х

+ Зх4

-

х2.) .

2.15: у"-9у'+20у=126е-2х.

(Ответ: у=С,е4Х +

+ С2е5х + 3е-2Х.)

2.16. у"

+ 36у = 36 + 66х -

36хЗ. (Ответ: у =

=

С, cos 6х+ С2

sin 6x-х

З

+2х+ 1.)

2.17. у"

+ у = - 4 cos х -

2 sin х. (Ответ: у =

=

С, cos х + С2 sin х + x(cos х - 2 sin х).)

2.18. у"

+ 2у' - 24у =

6 cos 3х -

33 siп 3х. (Ответ: у =

=

С,е-6х +

С2е4Х

+ sin 3Х.)

.

2.19. у"

+ 6у' +

13у =

-75 sin 2х. (Ответ: у =

= е-ЗХ(С, cos 2х

+ С2 siп 2х)

+

4cos 2х -

3 sin 2х.)

2.20. у"

+ 5у' = 39 cos 3х -

105 sin 3х.

(Ответ: у =

=

С, + С2е-5х +

4cos 3х

+ 5 sin 3х.)

2.21. у" - 4у'

+

29у =

104 siп 5х. (Ответ: у =

= е2Х (С, cos 5х + С2

sin 5х)

+ 5 cos 5х + sin 5х.)

2.22. у" - 4у'

+

5у =

(24 sin х +

8 cos х)е-2х .. (Ответ:

у = е2Х(С, cos х + С2 sin х) + e-

2X(cos х + sin х).)

+

2.23. у" + 16у =

8 cos 4х. (Ответ: у =

С, cos 4х +

С2 siп 4х+х sin 4х.)

.'

2.24. у"

+ 9у = 9х4 + 12х2 -

27.

(Ответ: у =

= С, cos 3х + С2

sin 3х + х4

- 3.)

2.29. 6у" -

у' - у = 3е2Х. (Ответ: у =

с,еХ/2 +

2.30. 2у" + 7у' + 3у =

+ С2е-Х/3 + е2Х.)

222 sin 3х. (Ответ: у =

С,е-3Х +

+ С2е-х/2 + 7 cos 3х + 5 sin 3х.)

е4Х(С, cos х +

3.1. у" - 8у' + 17y =

3

10e2x. (Ответ:

у =

+ С2 sin х) +

2е2Х.)

.

3.2. у" + у' - 6у = (6х + 1)e3x . (Ответ:

у =

С,е-:-3Х +

+ С2е2Х + (х -

1)e3x.)

3.4. у" -

2у' =

6 + 12x - 24х2. (Ответ:" у =

С, +

6у' + 34у =

+ С2е2Х +4х3

+ Зх2 + 3х.)

3.5. у" -

18 cos 5х + 60 sin 5х. (Ответ: у =

= е3Х (С, cos 5х +

С2 sin 5х)+ 2 cos 5х.)

С, + С2е2Х +

3.6. у" -

2у' = (4х + 4)е2Х.

(Ответ: у =

+ (х2 +х)е2Х.)

.

у =

3.7. у" +2у' +у = 4х3

+ 24х2 + 22х -

4.

(Ответ:

= С,е-Х + С2хе-Х + 4х3 - 2х.)

+ С2е4Х +

3.8. у" -

4у' = 8 -

16x. (Ответ: у = С,

+2х2 _х.)

2у' + у = 4еХ .

С,еХ + С2хеХ +

3.9. у" -

(Ответ:

у =

+ 2х2еХ.)

8у' +20у =

3.10. у" -

16(sin 2х -

cos 2х). (Ответ: у =

= е4Х (С, cos 2х +

С2 sin 2х) + sin 2х.)

3.11. у" -

6у'

+ 13y =

34е-3Х

sin 2х. (Ответ: у =

= е3Х (С, cos 2х

+

С2 sin 2х)

+ 2е- 3Х cos 2х.)

3.12. у" + 2у' - 3V

=

(12x2

+

6х -

4)еХ.

(Ответ:

у =

= С,е-3Х + С2е + (х

-

x)ex.l

3.13. у" + 4у' + 4у = 6е-

. (Ответ: у =

С,е-2Х +

-х2 +4х.)

.

3.15. у" + 10y' + 25у =

40:t 52х - 240х2 - 200х3• (ОТ­

вет: у = С,е-5Х +

С2хе-5х -

8х

+ 4х.)

3.16. у" + 4у' + 20у =

4 cos 4х - 52 sin 4х. (Ответ: у =

= е-2Х (с\ cos 4х

+ С2 sin 4х) +

3 cos 4х - sin 4х.)

3.17. у" +4у'

+

5у =

5х -

32х + 5. (Ответ: у =

= е-2Х (с\ cos х +

С2 sin х) +

х2

-

8х +7.)

3.18. у" +

2у'

+

у = ~12x -

10)е-Х•

(Ответ: у =

= С\е-Х + С2хе-Х

+ (2х - 5х2)е-Х.)

3.19. у" -

4у =

(-24х - 10)е2х• (Ответ: у =

=

С\ COS 2х + С2

siп 2х -

(3х2 +х)е2Х.)

3.20. у" +

6у'

+

9у =

72еЗХ•

(Ответ: у = С\е-ЗХ +

+ С2хе-ЗХ + 2еЗХ.)

3.21. у" +

16у =

80е2Х• (Ответ: у =

С\ cos 4х +

+ С2 sin 4х +

4е2Х.)

С\ + С2е-4х + 3еХ.)

.3'.22. у" +

4у' =

15еХ•

(Ответ:

у =

3.23. у" +

у' -

2у = 9 cos х - 7 sin х. (Ответ: у =

=

С\е-2х + С2еХ + 3 sin х - 2 cos х.)

.

нения, удовлетворяющее данным начальным условиям.

4.1. у" -

2у' +у = -12 cos 2х - 9 sin 2х,

у(О) =

-2,

у'(О) = О. (Ответ: у = -

2е

Х

4хе

Х

+3 sin 2х.)

-

4.2. у" -

6у' + 9у =

9х2

-

39х

+ 65, у(О) =

-1, у'(О)=

= 1. (Ответ: у = - 6еЗХ

+22хеЗХ +х2 -

3х + 5.) .

4.3. у" + 2у' + 2у = 2х2

+8х + 6,

у(О) = 1,

у'(О)

.4.

(Ответ: у = e-:-X(cos х +

3 sin х) +

х2 +

2х.)

.

4.4. у" -

6у' +25у =

9 sin 4х - 24 cos 4х,

у(О) = 2,

у'(0) = -2.

(Ответ: у = еЗХ(2 cos 4х -

3 sin 4х) + sin 4х.)

4.5. у" -

14у' + 53у = 53хЗ -

42х2 + 59х -

14, у(О) =

=0, у'(О) =7. (Ответ: у=3е7Х Siп2х+хЗ +х.)

у'(О) = 5.

4.6. у" +6у = eX(cos 4х -

8 siп 4х),

у(О) = О,

(Ответ: у =

sin 4х - cos 4х

+е

Х

cos 4х.) .-

4.7. у" -

4у' +20у =

16хе2Х, Рх(О) =

1, у'(О) =

2. (Ответ:

4.8. у" -

12у' +

36у = 32 cos 2х +

24 sin 2х,

у(О) =

2,

у'(О) = 4.

(Ответ: !1 =

е6Х -

2хе6х + cos 2х.)

4.9. у" +

У = хЗ -

4х2 +

7х -

10,

.jJ(0) = 2,

у'(О) =

3.

(Ответ: у =4 сos х +2 sin х +х

З

+х -2.)

- 4х

4.10. у" -

У = (14 - 16х)е-Х, у(О) =

О, у'(О) =

-1: (ОТ­

вет: у =

еХ -

е-Х +

(4х2 - 3х)е-Х.)

4.11. у" + 8у' +

16у = 16х2 -

16х +

66, у(О} =

3,

у'(0) =0.

(Ответ:

у= -2е-4Х_6хе-4Х+х2_2х+5.)

4.12. у" +

10у' + 34у =

-9е-5х,

y~O) = о.

у'(О) = 6.

4.13. у" - 6у' +

25у = (32х -

12) sin х - 36х cos 3х,

у(О) = 4,

у'(О) = о.

(Ответ:

у = еЗХ (4 cos 4х - 3 sin 4х) +

+ 2х sin 3х.)

4.14. у" + 25у =

eX(cos 5х -

10 sin 5х), у(О) = 3, у'(О) =

= -4. (Ответ: у =

2 cos 5х - sin 5х +

е

Х

cos 5х.)

4.23. у" 13У' =

(40х + 58)е2Х,

у(О) =

О,

у'(О) =

2.

(От­

вет: у =

4е-

Х - 7 + (4х

+ 3)е2Х.)

у(О) = О,

4.24. у" -

9у' +

18у = 26 cos х - 8 sin х,

!/(О) = 2. (Ответ: у = 2е6Х - 3е3Х -

sin х + cos х.)

4.25. у" +

8у' =

18х +

60х2 - 32хЗ,

у(О) = 5, у'(О) = 2.

(Ответ: у =

3

+ 2е-8Х -

х4

+ ЗХЗ.)

4.26. у"

-

3у' +2у =

-

sin х -

7 cos х, у(О) = 2,

у' (0)= 7. (Ответ: у = еХ

+ 2е2Х -

cos х + 2 sin х.)

4.27. у" +

2ц' =

6х2 + 2х + 1,

у(О) = 2,

у'(О) =

2.

(От­

вет: у =

3 -

е-"'2х +

хЗ -

х2.)

4.28.

у"

+ 16у = 32е4х,

у(О) = 2,

у'(О) = о.

(Ответ:

(Ответ: у = 2е-2Х + е-3Х -

5 cos 2х + sin 2х.)

4.30. у" - 4у = 8е2Х,

у(О) = 1, у'(О) = -8. (Ответ:

нения по виду функции f(x).

(2х + 1)e3X ;

5.1. 2у" -

7у' +

Зу =

f(x);

а)

f(x) =

cos 3х.

Зу" -7у' + 2у = f(x);

б)

f(x) =

5.2.

а)

f(x) = 3хе2Х;

б)

f(x) =

=

sin 2х -

З cos 2х.

5.3.

2у"

+у' - у = f(x);

а)

f(x) =

(х2 -

5)е-\ б)

f(x) =

=х sin х.

9у' + 4у =

5.4. 2у" -

f(x);

а)

f(x) =

-2е4\

б)

f(x) =

=

е

Х

cos 4х.

х3 + 4х; б) ((х) =

5.5.

у" +49у = f(x); а) f(x) =

3 sin 7х.

5.6. Зу"+lОу'+Зу=f(х); а)

f(x)=e- 3x ;

б)

f(x)=

=

2 cos Зх -

sin Зх.

f(x) = х + 2еХ ;

5.7.

у" -

Зу' + 2у = f(x);

а)

б)

f(x) =

=З cos 4х.

4у' + 4у = f(x);

а) f(x) = sin 2х + 2еХ ;

5.8.

у" -

б)

f(x) = х2 -

4.

5.9. у" -

у' +у = f(x);

а)

f(x) = е

Х

cos

х;

б)

f(x) =

=7х+2.

5.10. у" -

Зу' =

f(x);

а)

f(x) =

2х2 -

5х;

б)

f(x) =

=е-

Х

sin 2х.

5.11. у" + Зу' :....

4у =

f(x);

а)

f(x) =

Зхе-4Х ;

б)

f(x) =

=х sin х.

+ З6у =

f(x);

f(x) =

4хе-Х ; б) f(x) =

2 sin 6х.

5.12. у"

а)

5.13. у" -

6у' + 9у = f(x);

а)

f(x) = (х -

2)е3Х ;

4 cos х.

5.14. 4у'; - 5у' + у =

б)

f(x) =

f(x); а) f(x) = (4х + 2)еХ; б)

f(x)=

=е

Х

sin Зх.

+ 7у' -

2у = f(x);

а) f(x) = Зе-2х;

f(x) =

5.15. 4у"

б)

=(x-l)cos 2х.

5.16. у" -

у' - 6у =

f(x);

а)

f(x) =

2хе3Х;

б)

f(x) =

- 4 siп х.

5.18. у" -

4у' = f(x);

а)

f(x) = (х -

2)е4Х;

б)

f(x) =

=Зсоs4х.

2у' + 2у =

5.19. у" -

f(x);

а)

f(x) = (2х -

З)е4Х ;

6у' + у =

.6)

f(x) = е

Х

sin х.

5.20. 5у" -

f(x);

а)

f(x) =

х2еХ ;

б)

f(x) =

5.21.

5у" +9у' -

2у = f(x);

а)

f(x) = х3 -

2х; б)

f(x) =

=

2 sin 2х -

3 cos 2х.

f(x) = 4хе3Х ;

5.22.

у" -

2у' -

15у =

f(x);

а)

б)

f(x) =

=х sin 5х.

5.23.

у" -

Зу' =

f(x);

а)

f(x) = 2х3 -

4х;

б)

f(x) =

=

2е3Х cos х.

j(x) = хе3Х + 2еХ ;

5.24.

у" -7у' + 12у = f(x);

а)

б)

f(x) =

3х sin 2х.

х2 + 4х -

" 5.25. у" +

9у' = f(x);

а)

f(x) =

3;

б)

f(x) =

=хе2Х sin х.

4у' +5у = f(x);

f(x) = -2хеХ ;

5.26.

у" -

а)

б)

f(x) =

=х cos 2х -

sin 2х.

5.27.

у"

+

3у'

+2у = f(x);

а) f(x) = (3х -

7)е-Х ;

у" - 8у' + 16у =

б) f(x) =

cos х -

3 siп х.

5.28.

f(x);

а)

f(x) = 2хе4Х;

б)

f(x) =

=

cos 4х

+

2 sin 4х.

'

5.29.

у"

+

у' -

2у = f(x);

а) f(x) = (2х -

l)е-Х .

у" +

3у' -

б)

f(x) =

3х cos 2х.

5.30.

4у =

f(x);

а)

f(x) = 6хе-Х ;

б)

f(x) =

1. а) 4у"-llу'+6у=0; б) 4у"-4у'+у=0;

в)

~

•

Характеристическое

уравнение

л2 -

3л - 4 = О

имеет

корни Л, = 4, Л2 = -

1. Следовательно,

общее ре­

Выражение

(Ах + В)е-

Х

домножили

иа х, так

как Z =

='а +ib =

-1 является

корнем

характеристического

уравнения.

Коэффициенты

А и В

определяем

методом

2А +Ах2 +Вх - 4Ах - 2В - 6Ах -

3В +ЗАх2 +

+ ЗВх -

4Ах2 - 4Вх = 6х,

х2 А + ЗА - 4А = О,

)

х

О

2А -

2В - 3В = О,

откуда А =

-3/5, В = -6/25. Тогда

у* =

_(2.

х2 +~x)e-X

.

5

25

у= у+у* =

С,е4Х + С2е-Х - ( ~x2 +265х)е-Х• ....

3. у" +у' =

5х +cos 2х.

~ Находим

корни

характеристического уравнения

л2 + Л = О: Л, =

О, Л2 = -

1. Следовательно, общее реше­

у = С, + С2е-Х•

.