RII_OCR[1]

(Ответ: 4,14.)

sin3 х,

1.26. у" = 2 sin х cos2 х -

хо =

n/2,у(0) = О,

у'(О) = 1. (Ответ: 1,90.)

1.27. у" = 2 cos х sin 2 х -

cos3 Х,

ХО =

n/2,

у(О) =

2/3,

у'(О) = 2. (Ответ: 3,47.)

1.28. у" = х -ln х, хо = 2, у(l) =

-5/12,

у'(I) =

3/2.

2.5.

у"х ln х =

у'. (Ответ: у =

C1x(ln х -1) +

С2.)

2+

2.6.

ху" - у' =

x2~. (Ответ:

у = еХ(х - 1)

+ C IX

2.13. ху" = у' ln (у'/х). (Ответ: у =

~, ес•Х +1

-

_~eCIX+1 + С2.)

2.14. ху" +у' = ln х. (Ответ: у =

С,

(х + C1)

lп х - 2х +

+ С2.)

-С1 COS Х - Х + С2.)

2.15. у" tg х = у' + 1. (Ответ: у =

2.16. у" + 2xf = О.

(Ответ: у =_I_ln х - С1

+ С2')

2ху,у,,=у,2 + 1.

2С1 Х+С1

2.17.

(Ответ: y=_2_(C1x_l)3/2+

3С1

+ С2.)

,

-С1 соsх+С2х+Сз.)

sin 3 х/3 +

2.20. у" -

2у' ctg х = sin3 х. (Ответ: у =

-

+ C.lx/2 - Сl sin 2х/4 + С2.) .

- C 1e- 4x/4 + С2.)

1) +

2.22. ху" -

у' =

2х2еХ• (Ответ: у = 2еХ (х -

.

+ 1) +у' = О. (Ответ: у =

t

C1x2/2 +С2.)

2.23. х(у"

-х /4 + С( In x-t

+С2.)

/0 sin 2х -

2.24. у" +4у' =

cos 2х. (Ответ: у =

I

2

С1

-4х + С

2·

)

-20сОS

х-те

2.25. у" +у' =

sin х. (Ответ: у =

-

{- cos х -

-{- sin х -

C1e- x + С2.)

2.26. х2у" = у'2.

(Ответ:

у = CIX -

СТ In (х + C1) + С2.)

2.27. 2ху"у' = у'2 - 4.

(Ответ:

у = 3~I (C1x +4)3/2 +

+ С2.)

3) +

2.28. у"'х In х =

у". (Ответ: у =

C~2(2 In х -

+ С2х+ СЗ.)

2.30. (1 +х2)у" = 2ху. (Ответ:

у = C1x3 /3 + C1x + С2.)

уравнения, допускающего понижение порядка.

3.1. у" =у'efI, у(О) =0, у'(0) =

1. (Ответ: у= -In 11-

-xl, у=О.)

.'

3.2. у,2 +2Vy" = О, у(О) = 1,

у'(О) = 1.

(Ответ: у =

3.7. уу" - у,2 =

у\

у(О) = 1,

у'(О) = 1.

(Ответ:

х =

= +In(1 +-../2)±In

+

ш,.)

1

у2+ 1

3.8. у" = _1/(2у3),

у(О)= 1/2, у'(О) =-../2, (Ответ:

y=,jx-J2+ 1/4.)

у'(О) = о.

(Ответ:

3.9. у" = 1 - у,2, у(О) = О,

х =

~ + In 1еУ +-JеУ

11.)

3.10. М"2 = у',

у(О) =

2/3,

у'(О) = 1.

(Ответ:

у=

=(Х!2)2

+1)

.3.12. у" = 2 - у,

у(О) =

2,

у'(О) =

2.

(Ответ:

у =

=2 sin х+2.)

о.(Ответ: УС=-Jу2+ 1.)

3.13. у" = l/у3, у(О) = 1, у'(О)=

3.14. уу" - 2у'2 = О, у(О) = 1,

у'(О) =

2. (Ответ:

у =

1

=1_2x,y=I.)

3.15. у" = у' +у,2,

у(О) =

О,

у'(О)=

1.

(Ответ: х =

_1

2eY

1

о)

-

п--, у- .

3.16. у" + _ 2_у,2 = О,

е

У

у(О) = О,

у'(О) = 1. (Ответ:

3.18. у"(2у +3) -

2у,2 = О,

У(О) = О,

у'(О) = 3.

(Ответ:

у = ~ (е

Х

1),

У = О.)

-

3.19.

4у,,2= 1 +у,2,

у(О) =

1,

у'(О)=О. (Ответ:

Х=

= 21п+1у+ 1 +,.j(у+ 1? -

41.)

3.20.

2у,2 = (у -

l)у", у(О) = 2, у'(О) = 2.

(Ответ: у =

= 1 +-1-, У=2.)

1-2x

3.21.

1 +у,2 = уу',

у(О)=

1,

у'(О) =

О.

(Ответ:

х =

=ln ly+,.jy2

11.)

3.22. у" + уу'3 = О,

у(О) =

1,

у'(О) =

2.

(Ответ:

у =

=-V6X + 1,

у= 1.)

3.23. уу" -

у,2 = О,

у(О) = 1,

у'(О) =

2.

(Ответ:

у =

. е2х, у = 1.)

3.24. уу" -

у,2 = у2 In у,

у(О) = 1,

у'(О) = 1.

(Ответ:

х = In Iln у+,.jln 2 у +

11.)

3.25. у(1 -

In у)у" +

(1

+

In у)у,2 =

О,

у(О) = 1,

у'(О) = 1. (Ответ: х = I

-\п у -

1,

у = 1.)

3.26. у"(1 + у) = у,2 + у',

у(О) = 2,

у'(О) = 2.

(Ответ:

у=2ех, у=2.)

у'(0)=2. (Ответ: у=(х+

3.27.

у"=у'/-УУ, у(О) = 1,

+ l?, У= 1.)

3.28. у" = 1(1 +у"),

у(О) = О,

у'(О) = О.

(Ответ:

х =

=

2 arctg,.jеУ

1.)

у(О) = 1,

3.29. уу" -

2уу' In у = у,2,

у'(О) = 1.

(Ответ:

у =

etg Х,

у =

1.)

.

3.30.

у" = 1/-УУ,

у(О) =

у'(О) = О. (Ответ: х =

~ у3/4.)

4.2.

Xd; -

Y~X = О. (Ответ: arctg(x/y) = С.)

Х +У

."

4.3.

(2х -

у + l)dx + (2у -х -

l)dy. (Ответ: х2 + у2_

4.4.

xdx + ydy +Yd~- X~Y =

о.

(Ответ: х2 +у2 +

Х +У

2

+ С.)

+arctg ;

4.5. (~- 1)dx

ydy

у2

= о. (Ответ:

х2 _

у2

';х2

_

.Jx2 _у2 -х= с.)

4 6

2х(1 -

eY)d

х+

е

У

d

О

(о

. еУ -

I2

с)

••

(1 +х2)2

1 +К

У=.

твет. 1 +х

= .

2х

+

у2_3к

dy =

о.

(

Ответ:

х2

1

=

)

4.7. зdх

у

4

- 3 -

-

у

с.

у

у

4.8. (l - eX/Y)dx +eX/Y(l -

xjy)dy =

о. (Ответ:

х +

+уеХ/У = с.)

4.9.

+у4=С.)

+ 3х2у2 +у4 = с.)

к+у2 х

У

х2 +у2 У

У

=0. (Ответ: .Jx2+y2+1n Ixyl +~=c.)

у

4.12. (3х2

tg у_2::)dX +(х3 sec2 у+4у3+3::)dy=0.

(Ответ: х3 tg у+у4+ ~=

с.)

4.13. (2Х + к+ y2)dX =х2

+у2dy. (Ответ: х2 +~

х2 +у

ху2

У

-

~ = с.)

4.14. СiПу2Х +x)dx +(У-

Si~:x)dY = о. (Ответ:

х2 +у2 + siп2 х =с.)

2

у

4.15. (зх2 -

2х -

u)dx + (2у -

х + 3y 2)dy =

о.

(Ответ:

~+y3_x2 _ху+у"'2= с.)

.

4.16. xdx +ydy +xdy -; ydx =

о.

(Ответ: JL +.J

=

х2 +у2

-VX2 +у2

Х

Х

+у2)=Со)

-+- у2

+a2)dy +х(х2 -

у2 -

a2)dx = 00

4.18. у(х2

(Ответ:

(х2 +у2)2 +2a~(y2

_ х2)

= Со)

4.19. ( sin у +у sin х + ~ )dx +(х cos у -

cos х +

++)dY = 00

(Ответ: tg ху -

cos х - cos у = Со)

4.20. у + sin х cos 2 ух dy +(_х_

_

sin У) dy =

ао

cos2 ух

cos2 ху

(Ответ: tg ху -

cos х - cos у::::;:: Со)

'4.21. (зх2 -

У cos ху + y)dx +(х -

х cos xy)dy =

00

(Ответ: х

З

sin

ху +ХУ= Со)

-

4.22. (12х

З

е/У ~.)dX+( 16у+

;2 eX/Y)dY =

00

-

(Ответ: зх4 + 8у2 -

еХ/У = Со)

2 -.,J;i

2 -.,J;i

+ х2 sin х2у)dy = 00 (Ответ: -у;у- cos х2у+4х =

Со)

4.24. у. зху lп Зdх +(х . ЗХУ lп З -

З)dу = О, (Ответ:

зху -

Зу =

Со)

4.25. (_I_+Зх2у7)dХ+(7хзуб __I_)dУ=Оо

(ОТ-

х-у

х-у

вет: lп 'х - уl +хЗу7 =

Со)

00

(ОТ-

вет: sin ху -

У2 =

Со)

Х

2x)dx +

4.27. (у

xdy

00

(Ответ:

1/-

х2у2

./1 _х2у2

arcsin ху -

х2 =

Со)

4.28. (5х4у4 +28x6 )dx +(4х5уЗ -

Зу2)dу =

00

(Ответ:

х5у4 _ уЗ +4х7 = Со)

4.29. (2хе' +У' +2)dx +(2уе'Н' -

З)dу = 00

(Ответ:

е'Н' +2х - Зу = Со)

4.30. (ЗуЗ cos Зх +7)dx +(Зу2 sin Зх - ~y)dy = О.

(ОТ-

вет: уЗ sin Зх -

у2

+7х

+ Со)

о

5. Записать

уравнение

кривой,

проходящей

через

5.7.' А(2,

5),

n =

8. (Ответ: у = 2~б х8.)

5.8. А(3,

-

1),

n = 3/2. (Ответ: у = - x~/(3-{3).)

тельную к кривой, равна абсциссе точки касания.

5.15. А(2,

3). (Ответ: (х -

13/4? +у2 = 169/16.)

5.16. А(-4, 1). (Ответ: (x+17/~?+JI~

289/64.)

5.17. А(I,

-2). (Ответ. (х -

2,5) +У

-

6,25.)

5.18.

А(-2, -2). (Ответ:

(х +2?

+ у2 = 4.)

5.19.

А(4,

-3). (Ответ: (х -

25/8?

+

у2 = 625/64.)

5.20.

А(5,

О). (Ответ: (х -

2,5? +у2 =

6,25.)

5.25.

А (3, О). (Ответ: у = 3х - х2.)

5.26.

А(2, 8). (Ответ: у=6х-х2.)

нения

у"(х +

2)5 =

и вычислить

значение

полученной

функции

при х = -3

с точностью до двух знаков после запятой.

~ Найдем

общее

решение

данного

уравнения

(см. § 11.5,

ура внение 1 типа):

+ С

У

" _

I

, _ r dx

_

1

-

(х + 2)5' У

-

j (х + 2)5

-

- 4(х + 2)4

1,

ния у"(е

Х

~ Данное

уравнение

является

уравнением II типа

(см. § 11.5 и

пример

2).

Поэтому

сделаем подстановку

у' = z(x). Тогда у" = ~: и

~:(eX + 1) +

z = о, ~:(eX +

1) = -z,

dz

dx

f dz

f

dx

Путем замены переменной еХ + 1 =

t находим:

In

Izl = In (е

Х

+ 1) - In е

Х

+ In C1•

Потенцируя последнее выражение, получаем:

z = СI е

Х

+ 1, dy

= СI е

Х

+ 1,

е

Х

dx

е

Х

f pdp =

_f dy

р2

=_1_ + C1,

)

)

уЗ'

2

2у2

p2=~ +2C1,

р= +_

У

VУ

dy =

±";I +2с,у2,

dx= +

ydy ,

dx

у

-

.)1 + 2с,у2

Х = +f

ydy

+ С2 =

:С1 f (1 + 2C 1y2)-1/2d(1 +2C 1y2),

) ";1

+ 2с,у2

, j

Х=

+ 2~,-.jl

+ C1y2+ С2,

Геометрически оно представляет собой левую или правую

половину окружности (х - 1)2 +

у2 = 1.

~

4.

Проинтегрировать уравнение

(~ -

уЗ +4)dX +( -+-зху2)dу= О.

~

Введем

обозначения:

Р(х,

у) = 1/х - уЗ +4,

дР = _зу2 aQ = _3у2.

ду

, дх

- Х

•

~

(+-уЗ+4) dx +~ ( - +-3хоу2)dy = СО.

ХО

уо

Имеем:

х

х

х

у

у

ХО

ХО

хо

уо

Уо

х

- УЗхl

х

х

у

31 У

=

СО,

In Ixll

+4xl

- In Iyll

- 3xof

ХО

ХО

ХО

уо

уо

In 'хl -

In IХоl - хуЗ + хоуз + 4х -

4хо -

In

'уl

+

+ In IУоl

- хоуз +ХоУ5 =

СО,

In 1~1-ХУЗ+4Х= С,

у

--

где С =

СО+ In 1;:1

+4хо -

хоу5. ~