Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилёва

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

RII_OCR[1]

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.02.2016

Размер:

8.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3528 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

и частное pe~e у! уравнення
		у" +у = С05 2х.				(3)
	Для уравнення (2) а = о,		ь = 1, z = i = ЛI, поэтому -k = 1- н"
	у1' = х«Ах +		В)СО5 Х + (С% + D) 5in х).
	Вычислнм неопределенные коэффнцненты А, В, С, D по схеме,
прнведенной в примере 6, н найдем yf'. Имеем:
1	у1' = (Ах2 + ВХ)С05 Х + (сх2 +			DХ)5iп х,

О	у1" = (2Ах+ В)С05 х -	(Ах2 +		ВХ)51ПХ + (2 Сх + D)5iп х + (сх2 +
	+ DX)C05 Х = (Сх2 +	2Ах +		Dx + В)С05 Х + (_Ах2 - Вх + 2Сх +
	+ D)5in х,
	yf'" = (2Сх+ 2А + D)C05 х - (сх2 +2Ах +				Dx + В)5iп х + (-2Ах':"':'
	- В + 2C)5in х + (_Ах2 -			Вх + 2Сх +	D)C05 Х,
	+ '1 = (Ах2 + Вх+ 2Сх+ 2А + D-Ar -Вх+2Сх+ D)C05X+
yf'"
+(Сх +Dx- Сх2 -2Ах- Dx-B - 2Ах-.В +2C)sin х =х 5in х.
	Приравнивая коэффнцненты прн подобных членах в левой и пра!}ой
частях последнего ТОЖдества,			наХОДI{М А, В,		С, D и yf':
	х С05 Х			4С=0,		}
	С05 Х			2А +2D=0,

х5in х -4A=I,

5in х -2В+2С=0,

откуда А = -1/4, В ~O: С ~ о, D = J/4.

Следовательно,

Yf'=X( - -{-ХС05Х+ ~5iПХ) =

~х(5iпх-хс05Х).

Для уравнения

(3) а =

о, ь = 2, z = 2i,

поэтому k =0 н

yr =

м С05 2х + N 5in 2х.

Далее находим:

yr = м С05 2х + N 5in 2х,

yr' =

-2М 5in 2х +

2N С05 2х,

yr" = -4М С05 2х -

4N 5in 2х,

tЛ" + yr = -3М С05 2х -

3N 5in 2х = С05 2~.

Очевидно, что

- 3М = 1,

3N = о, поэтому

yr = -

'3 С05 2х.

Окончательно получаем, что

у* = у, + yr =

-{- x(5in х- хС05 х)- {- С05 2х

н общее

решенне

нсходного уравнення

(1)

определяется

функцией

у= jj +

у* = С, СО5Х+

С2 5iп х +

-{- х(siп х~хсов х)- {- сов 2х. ~

Пример 9. Решить задачу Коши

у" -

2у' + 5у=зеХ +е

tg 2х, у(О) =3/4, у' (О) = 2.

(1)

273

.. Сначала найдем общее решение даННОГО уравнения. Соответ

ствующее	характеристнческое	уравненне л2 - 2л + 5 = О имеет корни
At .2 =;; 1 ±	2i. Общее решенне	однородного уравнення у":-- 2у' + 5у =

= о определяется функцней

jj = е%(СI cos 2х + С2 sin 2х).

Правая часть уравнения (1) представляет собой сумму двух функ


цнй. Первая нз ннх ,. (х) = 3е" отвосится к спеииалыюму типу (11.50),
для которого Р,(х) = 3,		а =	1, Ь = О,	z =	1 *' Л•.2' Поэтому частное
'решение у' уравнення		у" -	2у' + 5у = 3е"		нмеет внд		yf = Ае', где
А определяется нз тождества (А - 2А + 5А)е' == 3е':							3
							А = Т' у, =
= :.е%.	Вторая функцня '2{Х)= е'tg			2х	не	является	спецнальной,
н .частиое	решение yr уравиення У""7			2у' +		5у = е% tg 2х неo(iходимо

ш:кать методом вариацни пронзвольных постоянных (методом Лаграи

жа). Согласно формуле		(11.38),	имеем
	yr =	е%(С. (х) cos 2х + С2(Х) siп 2х).
В нашем случае	снстема внда		(11.39)	состонт нз	двух уравненнй
(у. = е% cos 2х, У2 = е' sin 2х):
C~e% cos 2х +	C~% siп 2х = О,				}
C~e'(cos 2х -	2 siп 2х) + C~e'(sin 2х +			2 cos 2х) = е' tg 2х.
Сократнв уравненне этой снстемы на е", получим:
С; cos 2х+ C~ sin 2х =			О,		}
C~(cos 2х - 2 siп 2х) +СНsiп 2х +				2 cos 2х) =	tg 2х.

Определитель (вронскиан) последней снстемы

w=1	cos2x	siп 2х	1=2.
	cos 2х - 2 siп 2х	sin 2х + 2 cos 2х

По формулам Крамера находим:

/ 1 1 о		siп 2х		I	-	1 . '
С.	= 2'tg 2х	sin 2х + 2 cos 2х		=		2'Sln 2х tg х,
	C~ = ~1	cos 2х		О	1=	~sin 2х	.
	2 cos 2х - 2 siп 2х		tg 2х			2

Теперь проннтегрнруем полученные равенства:

С. = _ ~r siп2 2х dx = _ ~r I - cos2 2х dx =

2 j cos 2х

2 j

cos 2х

=-+~ С::2 +~ ~СОS2ХdХ=-}lпltg(: -X)/+-}Sin2x,

С2= ~ isin 2xdx = - -} cos 2х.

Следовательно,

yr = е'(-} In Itg (: - х) 1cos 2х+ -} sin 2хСО52х~

274

..:;. 1sin 2хcos 2Х)=1 tr' 'п1tg (: -'х)i'cos 2Х.

Такнм образом; частиое решенне нсходного уравнення' (1) И'1l!eТ

вид

у*= у'+ yf = : tr' + -{- tr' 1пItg (: - х) 1·cos 2х=

=-{-е"(3+ tnltg(: -х)I·cos 2Х).

аего общее решение определяется функцией

у = jj + у* = tr'(C. cos 2х + е2 sin 2х)+
, + -{- tr'(3 + 1пItg (: - х)1·cos 2Х).	(2)

Чтобы решнть задачу I<ошн, вычислнм значения проН3ВOJ1ьны!( ПОСТОянных е. н е2 в общем решеннн (2), нспользуя начальные усло"

вия у(О) = 3/4, у'(О) = 2. Находим у':

у' = е"(е! cos 2х + е2 sin 2х) + е"( -2е. sin 2х +

+2e2coS2X)+-{-tr'(3+ Inltg(: -X)I·COS,2X)+

+ ..!..еХ( _	cos 2х
4	tg ( ~ -х) .cos2 ( ~ -х)

-2tnltg(~ -х)I·SiП2х).

Подставляи значенне х = О в выражения для у и у', с учетом н'а

чальных условнй получаем:

у(О) == 3/4 = е. + 3/4, y'(0)=2=2e2+3/4-1/2.

откуда е. = О, е2 = 7/4.

Следовательно, нскомое частное решение

y=-{-e"(3+7sin2x+1nltg(~ -х)l·сОS2х). ~

А3-11.5

1. Найти фундаментальную систему решений и общее решение для следующих однородных линейных диффе

ренциальных уравнений второгр порядка:
а) у" -	2у' - 4у =0;	б) у" +6у' +9у=0;
в) у" -	6у' + 18y ,-о.
(Ответ: а)	Yt=e('+-..%)",	Y2=e l --..%),,;	y=Ct,P+-..%)"+
+ C e(I--..%),,; б) УI = е-З", У2 = хе-З"; У= е-З"(С				1	+С2Х);
2				1
в) УI =еЗХсоs3х, уz=еЗ"siп3х;			у=еЗ"(С, cos3x+
+ С2 sin 3х).),

275

2. Найтифундаментальну~ систему решений и общее решение для следующих' однородных линейных дифф~-

ренциальных уравнений высших порядков:'

. 'а). у'" -

5у" + 16y' -

12у =0; б) !lV -

8у" +

7у = О;

в)

yV _

6!1v +9у'" =

О;

г) уУI -

3yv + З!lV=0.

(Ответ: а)

УI = е<

У2= е2"cos 2.,;2х,

уз=

е2Х sin 2-.j2x;

Y=C.ex+e2X(CicOs2-{Zх+С2siп2.у2х); б) УI =е",У2=

= е-",

уз =

e,fix,

У4 =

e-,fix; У

, С.е" + С2е-

+ сзе,fiх +

+ C4e-,fiХ;

в) у. =

У2 = х,

уз = х2,

У4 =

еЗ",

У5 = хе3Х;

+ С2Х+ Сзх

Х;

г)

УI =

У2 =х,

у= С1

+(С4 + СБх)е

Уз,

.х2

= хз

еЗХ/2cos -уз х

еЗх/2sin -узх'

2 '

У=с.+ С2х+Сзх2 + с4хз +еЗХ/2(Clco~X+C2Sinfx))

Самостоятельная работа

Найти фундаментальные системы решений и общее

решение даннЫх однородных линейных дифференциаль-

ных уравнений.				2у' -			.			у'" + 9у' =
1.	а) Зу" -						8у ~O;		б)		О. (Ответ:
а) У=	С.е2Х + С2е-4Х/3; б)							У = с, + С2 cos Зх + Сз siпЗх.)
2.	а)	у" -_6у' ± 1Зу =						О;	б)	y/v - 8у" + I§y = О.
(Ответ:		а)	у=е Х(С1 cos2x+ C2sin2x); б)								У=(С1 +
+ С2х)е2" +(Сз				+ С4х)е-2".)
3.	а) 4у'" - 8у' + 5у = О; б) у'" - Зу" + Зу' - У= О.
( Ответ: а)			-		(	С1		Х		Х)-
			у=е"				cos'2		+ C2sin'2 ; б)		у=еХ(С1 +

+ С2Х+ СзХ)2.)

А3-11.6

Найти частные решения следующих неоднородных уравнений, удовлетворяюI!!.ИХ указанным начальным

условиям (решить задачу Коши).

y"-Зу'+2у=еЗх (х2 +х),

у(О) =

у(О) = -2.

(ответ:

у =

4(е" -

е2 ") + ~ (х2

2х + 2)еЗХ )

2. у'" -: у' =

- 2х, у(О) =

О, у'(О) =

у"(0)= 2. (Ответ:

у=е" -е-" +х2.),.

y/v -

У =

8еХ, у(О) =

-1, у'(О) = О, у"(О)=

1, у'"(О)=

= О.

(Ответ: у

= 2хе

Зе

+е-

+cos х +2 siл х.)

276

,	4.	у" - 2у' + 2у =		4е	Х	cosx, у(л) =		ле'\ у'(л} = е". (ОТ

вет: у = еХ «2х -л ~ 1)sin х -							л cos х).)
	5. y"+4y=4(sin2x+cos2x), у(л)=у'(л)=2л. (ОТ-
вет: у = 3л cos 2х +			.~	sin 2х + x(sin 2х - cos 2х).)
		Самостоятельная работа
	Найти частные решения уравнений, удовлетворяю
щие указанным начальным условиям.
	1.	у" - 2у' = 2~,		y(l) = -			1, y'(I) = О.		(Ответ:	у =
=e2x -		J -2еХ +е+ 1.)					у'(О)=	л/2. (ответ:		у =
	2.	у" +4у = х,	у(О) = 1,
=	-} х+ cos 2х+ (: - +)sin 2Х.)								у'(О) = 0,8.
	3.	у" + 6у' + 9у =		10 sin х,			у(О) =	-0,6,
(Ответ: у = 0,8 sin х -				0,6 cos х.)

А3-11.7

Для каждого из данных неоднородных линейных диф ференциальных уравнений определить и записать струк туру его частного решения. (Числовых значений неопре

деленных коэффициентов не находить.)

1. у" - 8у' + 16у = е4Х (I_ х). 2. у" - Зу' =

3. у" + 16у = х sin 4х. 4. у'" + у" =

5.у" - 4у' = 2 cos2 4х.

6.ylv - у =3хеХ + sin х.

7.	у" -7у'=(х - 1)2.			8. ylv +у" =
9.	у" -	4у' +	IЗу = е2Х (х2 cos 3х + sin Зх).
10.	yV -	ylv =	2x~ -	4.

е3Х - 28х.

2х + е-Х.

х2 +2х.

Найти общие решения данных линейных уравнений.

11.	у" + 4у = cos2 Х.				.
12.	у" + 5у' + 6у =		е-Х + е-2Х.		у'" +у" = 6х +е-Х.
13.	4у" -	У = х3 -	24х.	14.	у'" +у" = 6х +е-Х.
15~	у" +	4у = l/sin2 х.		16.	у'" + у' = tg х.

Самостоятельная работа

Найти общие решения данны!. уравнений.

1. у" + 4у' + 4у = е-2Х In х. ~Ответ: у =( с. + С2Х +

++х2 1п х _ : х2)е-2Х.)

277

2.у" +У+ ctg2 х . О. (ответ: у -:- 2 +'С. CO~ хг+

+С2 sin х+ cos х In Itg ; 1. )

3.!I' - 2!1 +и = е"j(x2 + 1). (Ответ: у = е"(с. +С2 -

-ln.jx2 + 1 +х arctg х).)

11.7.СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ

Снстема внда

у\ = /1 (х. YI. У2, ...• Уn).}

~.~!.~.~~'..~".'...~.~:.:::.'..~~~: (11.58)

	y~ = fn(Х. YI,	У2• ...• Уn).	(n + I)-мерной обла
где	функции f;(i = Г,/l) определены	внекоторой	(n + I)-мерной обла
сти	D переменных х. YI. У2• ...• Уn.	называется	НОРАШдЬ1ЮЙ. сuстеAlОЙ

n дифференциаЛЬНqtх уравНений первого порядка с нензвестными

функциямн УI (х). У2(Х)• ...• уn(х).

Чнсло уравнений. входящнх в систему (11.58). называется ее порядком.

Решением системы {J1.58) в ннтервале (а; Ь) называется сово

купность функций УI = УI (х), У2 = У2(Х)• ...• Уn = Уn(Х). иепрерывио днф

ференцнруемых в (а; Ь) н обращающих вместе со свонмн производ нымн каждое уравненне снетемы (11.58) в тождество.

Задача Коши для системы дифференциадьных уравнений первого

noрядка нмеет следующую формулнровку.		Найти решение	УI = УI (х).
У2 == У2(Х).	Уn = уn(х) системы (11.58). удовлетворяющее		начальным
условиям:
	УI (Хо) = YIO. У2(ХО) = У20• .....	уn(хо) = УnО.	(11.59)

где YIO. У20, ...• УnО - заданные чнсла; ХО Е (а; Ь).

Имеет место ТеореАШ (о существован'Ш-и единственности решения задачи

Коши). Если функции f;(i = 1, n) непрерывны в окрестности точки (Хо. YIO, У20• ...• УnО) Е D и имеют непрерывные частные nроизводные

a!i (j = 1.'1), то всегда найдется некоторый интеград с центром Хо. aУ;

в котором существует единственное решение системы (11.58), удов

детворяющее начадьным условиям (11.59).

Общим решением системы (11.58) называется совокупность n

функцнй У; = q>;(x. CI. С2• ...• Сп) (i = I,fl), завнсящих от n произволь

ных постоянных C1• С2• ••.• Сп И удовлетворяющих следующим усло

вням:

1)функцнн ер; определены внекоторой областн нзменення пере

менных х. C1• С2• ...• Сп Н нмеют непрерывные частные ПРОИЗ80дные>

дср; .

ах;

2) совокупность !Pi является решеннем снетемы (11.58) прн любых значеннях Ci ;

278

t 3) для любых начальных условнй (11.59) нз областн д, где выпол няются условня теоремы Кошн. всегда найду'l'С" ·такне·значення' про-

извольных постоянных C10. С20......		С.О. что будут справедлнвы равен-
ства У/о = Ч'i(ХО. Cto. С20.....	СnО).	;
ЧаСТНbtAI решением системы		(11.58) называется решенне. получен

ное нз общего прн, некоторых частных значеннях пронзвольных по

стоянных.

Одннм нз методов решення снстемы (11.58) является С1lеденне

ее к решенню одного нлн. нескольких днфференцнальных УР'авненнй

высшнх порядков (метод исключения).

Все сказанное выше верно н для частного случая снстемы (11.58) - системы линейных дифференциа.llЬНЫХ уравн.ениЙ. которая нмеет вид


	y~ =	all (Х)УI + aI2(X)Y2 +	... + aln(X)Yn + I1 (Х). }
	Y~ = а21 (Х)УI + а22(Х)У2 +		... + а2n(Х)Уn + '2(Х).		(11.60)
	..............................................................................
	y~ =	аnl (Х)УI + аn2(Х)У2 +	... + аnn(х)уn + ,n(х).
где функцнн aij(x).		fi(X) (i. У = Гп) обычно предполагаются непрерыв
нымн	внекотором	ннтервале (а; Ь).	Еслн все Цх) == О. то		система
(11.60) называется		однородн.оЙ. в протнвном случае -		неодн.ородн.оЙ.
Еслн	aij(X) = const.	то снстема называется линейной с		постоянными

коэффициен.тами. Существуют методы. позволяющне проннтегрнровать такую снстему. Рассмотрнм два нз ннх.

1. Соста,вляем характеристическое уравнение

.~.I.I~~.~....	~~;.~.~....	:::	........~~~	.... I= О.	(11.61)
а..	а.2	...	аnn -	л

где aij = const. Раскрывая О!1ределнтель. прнходим к алгебранческому

уравненню степени n относнтельно л с действнтельнымн постоянными

коэффнцнентамн. которое	нмеет n корней (с учетом их кратности).
При этом возможны следующие случан.
1. Корнн характеристического уравнения (11.61) - действнтель
ные и разлнчные. Обозначим нх через ЛI. Л2. .... ЛN• Известно. что
каждому корню 'А.;(; = Т,/l) соответствует частное решенне внда
					(11.62)
где КОЭффнцненты a,\i), a~)•	...• a~)	определяются		из систеl!lЫ	лннейных
алгебранческнх уравнений:
(all-ЛI)а~i)+	aI2aQ)+ ...		+	al.a~)=o.}
...........~.~~~.~:.~.~~.~~.~..~~~.~~:.~:::.~...........				~~~.~~:.:..~:	(11.63)
anla)i) +	an2aQ) + ...		+ (а.. -	N)a~) = о.
Все частные решення	вида	(11.62)	образуют фундаментальную

систему решеннЙ.

Общее решенне однородной снстемы с постоянными кОЭффициеи

тамн. получаемой из снстемы (11.60) прн йI} = const, Ых) = О. пред

ставляет собой следующую совокупность функцнй. являющихся ли

нейной комбинацней решеннй (11.62):

279

Yr =	n	Ciy\i) =	C1a\l)eA,x + С2а\2)еА"			+... + Сnа\n)еА,Х,
	n
	~
;=1
	n		Cla~l)eA,X + C2a~2)eA,x + ... + Сnа~n)еЛ"""
У2 =	~. CiY.P =		Cla~l)eA,X + C2a~2)eA,x + ... + Сnа~n)еЛ"""								(11.64)
;=1
	n		Cla~l)e"'<+ C2a~2)e"X +... + Cna~n)eA'x,
Уn;'"	~	cill;) =	Cla~l)e"'<+ C2a~2)e"X +... + Cna~n)eA'x,
;=1
;=1
где Ci	-	пронзвольные постоянные.
Пример 1. Найтн общее решение однородной системы
			Y~ =		3УI -	У2 + УЗ'}
			Y~ = - УI + 5У2,- Уз,
			у5 =		УI -	У2 + 3УЗ.
~ Характеристическое уравненне данной системы
			3~/' 5-=.'л			~1 1=		о			(1)
			1	1	-1	3-10.
нмеет различные действительные корнн: 10.1							=	2,	10.2 = 3, Io.з =		6. Для
каждого нз ннх составляем снстему внда (11.63):
		a\I)- a~I)+a&I)=O,}				-		a~2)+a&2)=0'}
		-a\l) + 3a~l) -		a&l) = О,		_a\2)+2a~2) -			а&2) ~ О,
		a\l) -	a~l) +	а&О =	О,	а\2) -	a~2)			= О,	(2)
			_3а\З) _ а~З) + а&З) = О,}
			_ а\З) _ а~З) _ а&З) = О,
				аР) -	а~З) - 3а&З) = О.

Так как определителн этих снетем, согласно формуле (1), равны нулю, то каждая нз ннх нмеет бесчнслениое множество решеннЙ.' В данном

случае можно выбрать те решення, для которых								a\l) = а\2) =			а\З) = 1.
Тогда получнм следующне решеиня систем							(2): еслн			аl = 2,	то a\l) =
= 1,	a~I)=O, a&l) = -1;				еслн 10.2=3, то		а\2) =	1,		a~2)= 1,	а&2) = 1;
если	Io.з = 6, то Io.\З) == 1,				а~З) = -	2, а&З) = 1. Это		приводнт К			следую
щей фундаментальной снстеме решеннй:
	!l.1) =	е	2	х,	1	О,	ifзl)='_е		2Х	;
					112 } =
	1112) =	еЗХ,			1122) =	еЗХ,	!lз2)= еХ;
	!l.З) = еб",				!АЗ) = _2еБХ,		!lзЗ) = ебх•

Лннейная комбннацня этнх решеннй с учетом совокупностн функцнй

(11.64) дает общее решенне нсходной снстемы:

УI ='C		1e	2X	+ С2еЗХ + сзеБХ,}
У2 =				С2еЗХ - 2Сзебх,	~
УЗ = -	C1e		2x	+ С2еЗХ + Сзебх•
2. Корнн 10.1, 10.2, ...,	Io.n	характернстнческого			ур.авнення (11.61)-
разлнчные, но средн ннх	нмеются комплексные.				Известно, что в этом

случае каждой паре комплексно-сопряженных корней 10.1.2 = Л ±i~ ха рактернстического уравнення (11.g.I) соответствует пара частных решений:

280

y\l) =	a\l)e(a+i~)x,	(11.65) .
yj2) =	aj2)e(a-i~)x,	(11.66)
где j = 1, n; кОЭффнцненты аР!.	а\2) определяются нз снстемы	(11.63)

соответственно для л = лl = Л + i~ н л = Л2 = а - i~. Коэффнцненты

all ), a12) оказываются, как правнло, комплекснымн чнслами, а соответ·

ствующне нм функцнн !lJ1), !lJ2) - комплексными функциямн. Выделяя мнимую н действнтельную части функций y\1) н у7) н пользуясь тем,

что для лннейных уравненнй с действнтельнымн коэффнциеитамн н мннмая, н действнтельная частн решення также являются решеннямн, получаем пару частных действительных решений однородной системы.

Пример 2.

Найтн общее решение системы

у\ =

-7УI +

У2,}

(1)

y~ =

-2УI -

5У2.

~ Характернстнческое уравнение

- 7 -Л

-5-1л

1= л2 + 12л+37=0

снстемы (1)

-2

(11.63),

нмеет корнн

лi,2= -6±i. Согласно

формулам

получаем:

(-7-л)аl +

а2=0,}

-2аl +(-5 - л)а2 =0.

a\I),

Корню

лl

-6 +i

соответствует

система

для

вычисления

a~I):

(-7 -

ЛI)а\l) + a~l) = о,

} {( -

1 - i)a\l) +a~l) =

о,

-2a\')+(-5-j,,)a~')=0

'*" -2а\I)+(I-i)а~I)=0'*"

a\I)=I,

'*" { a~I)= 1 +i.

Согласно формуле

(11.65), получаем частное решение:

y\1) = а\l)е(а+Ф)х = е(а+iЮ

e(-6+i)Х = е -6х(СОS Х + i sin х),

y~l) =

а~i)е(а+iЮХ = (1 +i)e(-6+iJx = e- 6X(cos х - sin х +

(2)

+i(cos х + siп х».

(Здесь мы воспользовалнсь формулой

Эйлера: е(а+ф)Х = e«X(cos ~x +

+ i

sin ~x).)

Взяв

в отдельностн

действнтельные

н мннмые

частн в

решеннн (2), получим два решення в действительной форме, обра зующнх фундаментальную систему решений снстемы (1):


	юl	) = е -6хСОS·Х,	~21) = е-6X(COS х -		siп х),			(3)
	y\1) = е -6хsiп х,		iЛ1) = е -6х(СОS Х + siп х).					(3)
	y\1) = е -6хsiп х,		iЛ1) = е -6х(СОS Х + siп х).
Тогда общее решение системы			(1) имеет вид:
УI =	c1y\1) +	C2~\I)= е-6Х(СI cos х +		С2 sin х),			}
У2=	С1!Л1)+	C2~1)= е-6х(с.(cos х-		siп х)+	C2(cos Х+	sin х».		(4)
Заметнм, что использование второго корня					Л2 = - 6 -	i	излншне,
так как	получим	те же решення (1)-(4). Этот факт верен					для	лю-

281

б!?lХ ~HCTeM' однородных лннейных ДНфференцнальных . уравнений" ··tI

" . , 3. Среди корнеЙАI, А2, ..., А. характеристнческог() ураВ!lения

(11.61)'нмеются кратные. В этом C:'Iучае поступаем, следующнr,t об

разом. Пусть А -

корень

кратностн

характернстнческого уравнения

l (! 1.61). Тогда

решенне

системы

(11.60)

(для

которой

ац = сопst,

.Ых) ""О (i,

j = т,-n», соответствующее этому k-кратному' корню,

нщем

,в

виде:

УI =(alo + allx + al2X + ... + аl k_lxk-l)el.x,

У2 =

(а20 + а21Х + а22х2 + ... + aj k_IXk-l)еА"',

(11.67)

Чнсла

ajj

(i = 1, n,

1= О, k -

находим

так:

подставляем

функцин У;

из

(1 1.67) н их пронзводные !/;

в исходную снстему (11.60)

прн rk:аззнных ограннчениях на ajj

н fj(x),

а затем

(после сокращення

'на

е х =1= О)

приравннваем коэффицненты прн одинаковых степенях Х

левых и

правых частях полученных

равенств.

В результате

про

веденной процедуры из всех чнсел Аи k всегда остаются в качестве свободных параметров, которые прнннмаются за пронзвольные постоян-

ные.	,
Решення нз фундаментальной системы, соответствующне простым
(некратным) корням характери.стнческого уравнения (11.61), опреде
	с
ляются так, как было показано в случаях 1 и 2.
Пример 3.	Найтн общее решение системы

Y~ =	У2+ УЗ'}
!/2 =	УI + У2	- Уз,	(1 )
у5 =	У2	+ Уз.

~Характернстическое уравненне

	I-~		1-:'.\		-\j=-(A-I)2A=0		(2)
		О	1	I'-A
системы	(1) нмеет	двукратный			AI.2 = 1	н однократный	Аз =,0 корни.
Согласно	формуле	(11.67),		двукратному		корню AI.2 = 1	соответствует
решенне внда						(а20 + а2IХ)е',
	!/I1.2) = (alo + allx)eX, !Л1.2) =
			y&I.2) =		(аЗО + аЗlх)еХ•		(3)
Коэффициенты ан			(i = 1,3,		l = D.I)	определяются	нз системы,

полученной подстановкой выражеинй для YI, У2, Уз, !/I, !/2, y~ в исходную

систему (1). После сокращення на е' =1= О имеем

all + alO + allx = а20 + а21Х + азо + аЗIХ,		"}
а21 + а20 + а21Х = alO	+ allx +а20 + а21Х -	азо - аЗIХ, ,
аЗI + азо + аЗIХ = а20	+ а21Х + азо + аЗIХ•

Прнравннвая коэффнциенты прн одннаковых степенях Х слева н справа,

получаем снстему

all + alO = а20 + азо,				}
all = а21		+ аЗI,	+ а20 -
а21	+ а20 = alO			азо, .'
а21	= all	+ а21 -,- аЗI,
аЗI	= а21	+a&j,	+ азО.
аЗI	+ азо = а20

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3528 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2025117.23 Кб0Referat_Nurbol.docx
#
21.02.2016109.57 Кб81refland.ru_turizm_1.doc
#
13.08.2019254.09 Кб29ReportLab3TPR.docx
#
21.02.2016463.98 Кб29RGR_1.pdf
#
21.02.20166.32 Mб52RIII_OCR[6].pdf
#
21.02.20168.54 Mб72RII_OCR[1].pdf
#
21.02.201642.09 Кб36Rixos.docx
#
21.02.20166.99 Mб62RI_OCR[4].pdf
#
02.12.20183.59 Mб28ROZDIL_ 5.doc
#
10.11.20181.95 Mб15ROZDIL_1.doc
#
15.08.20191.1 Mб15rozdil_3.doc