4.2.2 Гюйгенс-Штейнер теоремасы

Біреуі массалар центрі арқылы өтетін өзара параллель өстерге қатысты дененің инерция моменттерінің арасындағы тәуелділікті Гюйгенс-Штейнер теоремасы береді: дененің кез келген өске қатысты инерция моменті берілген өске параллель оның массалар центрі арқылы өтетін өске қатысты инерция моменті мен дене массасының өстер арасындағы қашықтық квадратына көбейтіндісінің қосындысына тең (дәлелдеусіз).

Сонымен, Гюйгенс-Штейнер теоремасы былай жазылады:

, (4.2.6)

мұндағы - дененің кез келген Oz өсіне қатысты инерция моменті, - Oz өсіне параллель дененің массалар центрі арқылы өтетін Cz^| өсіне қатысты инерция моменті, М – дененің массасы, ал d – Oz және Cz^| өстері арасындағы қашықтық

(4.2.6) өрнегінен екенін көреміз. Демек, дененің ең кіші инерция моменті массалар центрі арқылы өтетін өске қатысты болады.

4.2.3 Кейбір біртекті денелердің өстік инерция моменттері

Кейбір біртекті денелердің инерция моменттерін есептеуге мүмкіндік беретін өрнектерді алайық.

1. Біртекті жіңішке сырық. Ұзындығы , массасы М біртекті жіңішке сырықты қарастырайық. Сырық бойымен Ах өсін бағыттап, сырықтың ұшы арқылы оған перпендикуляр өтетін Az өсіне қатысты осы сырықтың инерция моментін санайық (3.27 сурет).

Az өсінен h = x қашықтықта жататын ұзындығысырық элементін бөлеміз. Az өсіне қатысты сырықтың инерция моменті үшін, ал біртекті дене үшін- тұрақты шама болғандықтан (4.2.3) өрнегіне сәйкес:

.

Интегралдасақ, мынаны аламыз: .

Біртекті сырық үшін екенін ескеріп, нәтижесінде біртекті сырықтың оның ұшы арқылы сырыққа перпендикуляр өтетін өске қатысты инерция моментінің өрнегін аламыз:

(4.2.7)

(4.2.6) Гюйгенс-Штейнер теоремасын қолданып, біртекті жіңішке сырықтың оның массалар центрі арқылы сырыққа перпендикуляр өтетін өсіне қатысты инерция моментін алуға болады (3.27 сурет):

,

мұндағы – Oz пенөстері арасындағы қашықтық, ал (4.2.7) өрнегіне сәйкес , демек:

Сонымен, біртекті жіңішке сырықтың оның массалар центрі арқылы сырыққа перпендикуляр өтетін өске қатысты инерция моменті:

. (4.2.8)

2. Біртекті жіңішке дөңгелек сақина. Радиусы R, массасы М біртекті сақинаны қарастырып, сақинаның массалар центрі арқылы оған перпендикуляр өтетін өсіне қатысты инерция моментін табайық (3.28 сурет). Сақинаның барлық нүктелеріөсінен h = R қашықтықта жатқандықтан, (4.2.1) өрнегі бойынша:

.

Сонымен, біртекті жіңішке дөңгелек сақинаның оның центрі арқылы сақина жазықтығына перпендикуляр өтетін өске қатысты инерция моменті былай анықталады:

. (4.2.9)

3. Біртекті дөңгелек диск. Радиусы R, массасы М біртекті жіңішке диск берілсін (3.29 сурет). Оның массалар центрі арқылы дискіге перпендикуляр өтетін өсіне қатысты инерция моментін санайық. Ол үшін дискіні жіңішке сақиналарға бөліп, олардың радиусы r және ені dr сақинаны қарастырамыз. Бұл сақинаның ауданы, демек оның массасы. Сонда (4.2.3) өрнегі бойынша:

.

Сақинаның тығыздығы екенін ескерсек, нәтижесінде біртекті жіңішке дискінің массалар центрі арқылы дискіге перпендикуляр өтетін өске қатысты инерция моменті саналатын өрнек аламыз:

. (4.2.10)

Радиусы R, массасы М біртекті цилиндрдің оның Oz симметрия өсіне қатысты инерция моменті де (4.2.10) өрнегімен саналады (3.30 сурет).