Қатты дененің айналмалы қозғалысының дербес жағдайлары

Қатты дененің айналмалы қозғалысының дербес жағдайын қарастырайық.

1. Бірқалыпты айналу кезінде дененің бұрыштық жылдамдығы тұрақты болады (=const). Бұрыштық жылдамдықтың алгебралық шамасы тек таңбасымен ерекшеленетін болғандықтан, ол да тұрақты: . Сонда (7) өрнегінен мынаны аламыз:

немесе , (10)

демек бірқалыпты айналу кезінде дененің бұрыштық үдеуі нөлге тең.

Енді (4) өрнегін dt-ға көбейтіп, интегралдасақ қатты дененің бірқалыпты айналу заңын алуға болады:

. (11)

2. Бірқалыпты айнымалы айналу кезінде дененің бұрыштық үдеуі тұрақты болады (). Бұл жағдайда бұрыштық үдеудің алгебралық шамасы да тұрақты: .

(7) өрнегін dt-ға көбейтіп, интегралдаймыз:

,

сонда бірқалыпты айнымалы айналу кезіндегі бұрыштық жылдамдықтың өзгеру заңын аламыз:

. (12)

Енді (12) өрнегінен дененің бірқалыпты айнымалы айналу заңы алынады:

. (13)

Егер бұрыштық жылдамдық пен бұрыштық үдеудің таңбалары бірдей болса дененің айналуы бірқалыпты үдемелі, бірдей болмаса – бірқалыпты кемімелі деп аталады.

Айналмалы қозғалыстағы дене нүктелерінің жылдамдығы мен үдеуі

Дене уақытта бұрышқа бұрылсын делік. Осы кезде айналу өсінен h қашықтықта жатқан нүкте жол жүріп өтеді. 5ә-суретте Oz өсін айналатын дененің М нүктесі сызатын шеңбер бейнеленген. Осы нүкте жылдамдығының жанама өске проекциясын былай жазуға болады:

. (14)

Бұл жерде шеңбер доғасының ұзындығы оның радиусы мен осы доғаны керетін бұрыштың көбейтіндісіне тең екендігі ескерілген, яғни . Сонда нүкте жылдамдығының шамасы (сызықтық жылдамдық) дененің бұрыштық жылдамдығының модулі мен осы нүкте сызатын шеңбер радиусының көбейтіндісі ретінде анықталады:

. (15)

Нүкте жылдамдығының векторы шеңберге жанама бойымен (5-сурет) бұрыштық жылдамдық бағытына қарай бағытталады.

М нүктесі жылдамдығының векторын бұрыштық жылдамдықтың векторы мен осы нүктенің радиус-векторының векторлық көбейтіндісі арқылы да жазуға болады (5а-сурет):

. (16)

М нүктесінің үдеуін анықтау үшін оның (16) жылдамдығы векторынан уақыт бойынша туынды алу керек:

.

, ал екенін ескерсек:

. (17)

(17) өрнектің бірінші қосылғышын нүкте үдеуі векторының айналмалы құраушысы деп атап, былай белгілейміз:

,

ал екінші қосылғышын центрге тартқыш құраушысы деп атап, былай белгілейтін боламыз:

.

Сонымен, айналмалы қозғалыстағы дененің М нүктесі үдеуінің векторы оның айналмалы және центрге тартқыш құраушыларының геометриялық қосындысына тең екен:

. (18)

а) ә)

5-сурет

М нүктесі үдеуінің құраушыларының абсолют шамалары нүктенің айналмалы және центрге тартқыш үдеулері деп аталады. 5а) суреттен болғандықтан, екі вектордың векторлық көбейтіндісінің модулін анықтау ережесі бойынша

,

демек нүктенің айналмалы үдеуі бұрыштық үдеу мен нүкте сызатын шеңбер радиусының көбейтіндісіне тең екен:

. (19)

Дәл осылай центрге тартқыш үдеу үшін де

(15) өрнегін ескерсек, нүктенің центрге тартқыш үдеуі бұрыштық жылдамдық квадраты мен нүкте сызатын шеңбер радиусының көбейтіндісіне тең болады:

(20)

Векторлардың векторлық көбейтіндісінің ережесі бойынша анықталған векторы шеңберге жанама бойымен бұрыштық үдеудің бағытына қарай, ал векторы – шеңбер радиусымен айналу өсіне қарай бағытталады (6-сурет). 6-суреттен нүктенің толық үдеуінің шамасын анықтаймыз:

. (21)

Нүктенің толық үдеуінің векторы М нүктесі сызатын шеңбер радиусымен бұрышын құрайды. Бұл бұрыштың тангенсі (6-сурет):

немесе (19) пен (20) өрнектерін ескере отырып мынаны аламыз:

. (22)