Производная. Основные теоремы дифференциального исчисления функций одной переменной. Формула Тейлора и её применения.

Если существует конечный предел отношения приращения функции к приращению аргументапри произвольном стремлениик нулю, то этот предел называется производной функциив точкеx и обозначается одним из следующих символов: . Таким образом, по определению

Операция нахождения производной называется дифференцированием функции.

Правила дифференцирования:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8) Если т. е.- сложная функция, составленная из дифференцируемых функций, тоили

9) Если для функции существует обратная дифференцируемая функцияи, то

Логарифмической производной функции называется производная от логарифма этой функции, т. е.

Дифференциалом первого порядка функции называется главная часть её приращения, линейно зависящая от приращениянезависимой переменнойx. Дифференциал dy функции равен произведению её производной и дифференциал независимой переменной:

.

Основные теоремы дифференциального исчисления функций одной переменной.

Теорема (Ролля). Пусть функция f:

1) непрерывна на отрезке ;

2) имеет в каждой точке интервала конечную или определённого знака бесконечную производную;

3) принимает равные значения на концах отрезка, т. е. .

Тогда существует хотя бы одна такая точка что.

Теорема (Лагранжа). Если функция f непрерывна на отрезке и в каждой точке интервалаимеет конечную или определённого знака бесконечную производную, то в этом интервале существует, по крайней мере, одна такая точка, что

.

Теорема (Коши). Пусть функции f и g:

1) непрерывны на отрезке ;

2) имеют производные в каждой точке интервала ;

3) во всех точках интервала.

Тогда существует такая точка ,что

.

Правило Лопиталя (для раскрытия неопределённостей вида и)..

Формула Тейлора и её применения.

1. Локальная формула Тейлора. Если: 1) функция f(x) определена в некоторой окрестности точкиx₀; 2) f(x) имеет в этой окрестности производные до (n-1)-го порядка включительно; 3) в точке x₀ существует производная n-го порядка , то

, (1)

где

.

В частности, при имеем:

. (2)

При указанных условиях представление (1) единственно.

Из локальной формулы Тейлора (2) получаем следующие пять важных разложений:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

2. Формула Тейлора. Если: 1) функция f(x) определена на сегменте ; 2)f(x) имеет на этом сегменте непрерывные производные ; 3) присуществует конечная производная, то

,

где

(остаточный член в форме Лагранжа).

Исследование функций одной переменной с помощью аппарата дифференциального исчисления

1. Необходимое условие экстремума. Говорят, что функция f(x) имеет в точке экстремум (максимум или минимум), если функция определена в двухсторонней окрестности точкии для всех точекx некоторой области: , выполнено соответственно неравенство

.

В точке экстремума производная , если она существует.

2. Достаточные условия экстремума. Первое правило. Если 1) функция f(x) определена и непрерывна в некоторой окрестности точкитакой, чтоили не существует (критическая точка); 2)f(x) имеет конечную производную в области; 3) производнаясохраняет определённый знак слева оти справа то, то поведение функцииf(x) характеризуется следующей таблицей:

	Знак производной		Вывод
I II III IV	+ + - -	+ - + -	экстремума нет максимум минимум экстремума нет

Второе правило. Если функция f(x) имеет вторую производную и в некоторой точкевыполнены условия

,

то в этой точке функция f(x) имеет экстремум, а именно: максимум, когда , и минимум, когда.

Третье правило. Пусть функция имеет в некотором интервалепроизводныеи в точкепроизводную, причём

.

В таком случае: 1) если n – число чётное, то в точке функцияимеет экстремум, а именно: максимум прии минимум при; 2) еслиn – число нечётное, то в точке функцияэкстремума не имеет.

3. Абсолютный экстремум. Наибольшее (наименьшее) значение на сегменте непрерывной функциидостигается или в критической точке этой функции (т.е. там, где производнаяили равна нулю или не существует), или в граничных точкахa и b данного сегмента.