Предел функции. Частичный предел функции

Предельная точка множества. Предел функции в точке.

Определение 1. Пусть . Число называется предельной точкой множе­ства X, если

.

Из определения следует, что любая окрестность точки содержит точку из множества X, отличную от . Сама точка может принадлежать, а может и не принадлежать мно­жеству X.

Определение 2. Значение есть предельная точка множества X, если .

Значение есть предельная точка множества X, если

.

Определение 3. Точка , не являющаяся предельной точкой множестваX, назы­вается изолированной точкой множества X, т. е.

.

Определение 4. Число называется предельной точкой множества , если из этого множества можно выделить последовательность (x_n) различных точек, схо­дящуюся к .

Определения 1 и 4 эквивалентны.

Пусть и - предельная точка множества X.

Определение 5 (Гейне). Функция f имеет предельное значение при (или в точке ), если существует такое число , что для произвольной последовательности (х_n) значений ,сходящейся к точке , соответствующая последователь­ность значений функции (f(x_n)) сходится к точке А.

Определение 6 (Коши). Функция f имеет предел при , если

.

При этом число А называем пределом (или предельным значением) функции f в точке х₀ и записываем

или .

Определения Гейне и Коши эквивалентны.

Введем понятие одностороннего предела.

Определение 7 (Гейне). Функция f имеет в точке, предел слева (справа), если существует такое число , что для произвольной последовательности (х_n) значе­ний х, , сходящейся к точке при , соответствующая последовательность (f(x_n)) значений функции f сходится к точке А.

Определение 8 (Коши). Функция f имеет в точке х₀ предел слева (справа), если

.

Число А называем пределом слева (справа) функции f в точке и обозначаем

или

Функция f имеет предел в точке х₀ тогда и только тогда, когда в этой точке существуют и равны между собой пределы слева и справа.

Теорема (критерий Коши). Функция f имеет конечный предел в точке тогда и только тогда, когда

.

Особую роль играют два замечательных предела:

Если , то

.

Ограниченность функции.

Функция , называется ограниченной намножестве X, если существуют числа m и M такие, что .

Непрерывные функции.

Определение 1. Функция ,, называется непрерывной вточке , если выполняется одно из эквивалентных условий:

1) (1)

2) для произвольной последовательности (х_n) значений , сходящейсяпри к точке, соответствующая последовательностьзначений функции сходится прик;

3) илипри;

Из определения непрерывности функции f в точке следует, что

.

Определение 2. Если функция f непрерывна в каждой точке интервала , то функция называется непрерывной на этом интервале.

Определение 3. Функция называется непрерывной в точке слева (справа), если выполняется одно из эквивалентных условий:

1. такое, что неравенство (1) выполняется, как только ;

2. для произвольной последовательности (х_n) значений ,сходящейсяпри к точке, соответствующая последовательностьзначений функцииf сходится к .

Функция непрерывна во внутренней точкетогдаи только тогда, когда она в этой точке непрерывна слева и справа.

Теорема 1. Если функция , непрерывна в точке , афункция непрерывна в точке , где, токомпозиция непрерывна в точке t₀.

Теорема 2. Пусть функции и,, непрерывны в точке . Тогда функции

непрерывны в точке .

Все элементарные функции непрерывны в области существования.

Точки разрыва функции и их классификация. Особые точки функции.

Определение. Если функция не является непрерывной в точке, то говорят, что она терпит разрыв в этой точке. При этом точканазывается точкой разрыва функции.

Точки разрыва функции классифицируем следующим образом:

1. Пусть - точка разрыва функциии существует, конечный или бесконечный. При этом:

а) если конечный, тоназываем точкой устранимого разрыва функции;

б) если , тоназываем точкой разрыва типа полюса.

2. Если не существует, то точкуназываем точкой существенного разрыва функции. При этом:

а) если существуют конечные пределы , то точкуназываем точкой разрыва первого рода функции;

б) все остальные точки существенного разрыва называем точками разрыва второго рода функции f.

Равномерная непрерывность.

Определение. Функция называется равномерно-непрерывной на множествеX, если

.

Если функция f не является равномерно-непрерывной, то это означает следующее:

.

Теорема Кантора. Если функция непрерывна на сегменте, то она равномерно непрерывна на этом сегменте.