Предел последовательности. Подпоследовательности и частичные пределы

Определение 1. Пусть X – какое-либо множество и N – множество натуральных чисел. Всякое отображение называется последовательностью элементов множества X. Элемент обозначается черези называетсяn-м членом последовательности , а сама эта последовательность обозначается черезили ,n=1,2,….

Примеры. ,.

Определение 2. Постоянное число называется пределом последовательности , если для каждого положительного числа , сколь бы мало оно ни было, существует такой номер, что все значения, у которых номер, удовлетворяют неравенству

. (1)

Тот факт, что является пределом последовательности, записывают так:.

Неравенство (1) равносильно следующим:

(2)

Если изобразить числа и значенияпоследовательности точками на числовой оси, то получится наглядное геометрическое истолкование предела последовательности. Какой бы малый отрезок (длины) с центром в точкени взять, все точки, начиная с некоторой из них, должны попасть внутрь этого отрезка (так что вне его может остаться разве лишь конечное число этих точек).

Некоторые последовательности, стремящиеся к пределу. Следующие шесть последовательностей имеют предел, равный числу 0. Ниже мы докажем это.

: 0,0,0,0,0,0,0,…

:

:

:

:

:

запишем 8 первых элементов каждой из последовательностей.

Свойства последовательностей имеющих предел (сходящиеся последовательности)

Предварительные замечания. Перед тем как начать исследование сходящихся последовательностей, рассмотрим два замечания.

1. Пусть дано число . Тогда для любого >0 и ||< следует, что =0.

Действительно, для любого числа верна одна из двух альтернатив:=0 или. Если, то>0 и так как0, то мы можем определить его как , получили, что, то есть 1<. Полученное противоречие доказывает утверждение.

2. Если  пробегает множество всех положительных действительных чисел R⁺ (0,+), тогда для любого фиксированного положительного числа L множество всех чисел в виде произведения L составляет все множество R⁺ . Таким образом, в определении (например, предела последовательности) или в утверждении (например, 1), если для любого положительного числа  выполняются некоторые свойства, тогда их смысл не меняется, если вместо числа  взять число L.

Чаще всего в качестве L выбирают числа .

Ограниченные и неограниченные последовательности. Множество значений последовательности - это множество чисел, где 1, 2, … .

Здесь «ограниченность» в числах имеется в виду на множестве значений числовой последовательности. «Ограниченность» правила – не бывает.

Определение. Последовательность является ограниченной сверху, если числовое множество, составленное из всех значений этой функции, образуетограниченное сверху числовое множество, то есть для данного положительного действительного числа С и для всех номеров справедливо неравенство х_nC.

Естественно, х_n последовательность является неограниченной сверху, если для любого действительного числа С найдется такой член последовательности, значение которого больше числа С, то есть найдется такое положительное целое число n(C), что выполняется неравенство х_n(C) >C.

Аналогично дается определение последовательности, ограниченной снизу: для заданного действительного числа С и произвольного целого положительного должно выполняться неравенство х_n(C) C.

Определение. Последовательность х_n называется ограниченной последовательностью, если она ограничена и сверху, и снизу: для данного действительного числа С и произвольных положительных целых чисел n справедливо неравенство: х_nC. Таким образом, последовательность х_n является неограниченной, если неограничен сверху или снизу, или сверху и снизу одновременно.

1 - т е о р е м а.Если последовательность {х_n} имеет конечный предел, то она ограничена.

2 - т е о р е м а. (о сходящихся последовательностях). Если последовательность сходится, то она имеет только один предел, то есть если х_n  а₁, х_n  а₂ тогда а₁= а₂.

3 - т е о р е м а. Если х_n  а (n) , то для любого положительного целого m имеем: х_n+m  а (n).

4 - т е о р е м а. Если x_n a (n), то х_n  а (n).

5 - т е о р е м а (о предельном переходе в неравенствах). Возьмем последовательности х_n и у_n, имеющие предел (+,- или действительное число). Если найдется такой номер К, начиная с которого все члены последовательностей удовлетворяют неравенству х_nу_n, для всех n, тогда смысл этого неравенства сохраняется для их пределов, то есть

(1)

З а м е ч а н и е. Если в условии теоремы 5 для всех n выполнено х_n<у_n, тогда все равно .

6 - т е о р е м а. Если последовательности ,иподчиняются условиям:

) для всех целых положительных n справедливы неравенства х_nу_n z_n,

) =аR¹ .

Тогда и последовательность у_n имеет предел, причем равный числу а.

7 - т е о р е м а. Пусть даны последовательности х_n и у_n и =а пусть =b. Тогда

а) =а+b,

2. =cа, для любого действительного числа с,

3. =а-b,

d) =аb,

e) =.

Таким образом, применяя арифметические операции к двум сходящимся последовательностям, получим последовательности, имеющие пределы, равные пределам последовательностей, определенных выше.

Определение 3. Последовательность , имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой величиной.

Последовательность называется бесконечно малой, если она по абсолютной величине становится и остаётся меньшей сколь угодно малого наперёд заданного числа, начиная с некоторого места.

Если - произвольная последовательность, имеющая предел, то разность

,

очевидно, будет бесконечно малой, ведь в силу (1)

.

Обратно, если есть бесконечно малая, то. Следовательно, верно следующее утверждение

Для того чтобы последовательность имела своим пределом постоянное число, необходимо и достаточно, чтобы разность меду нимибыла бесконечно малой.

Примеры бесконечно малых. 1) . 2). 3)

Монотонная последовательность

Определение 4. Последовательность называется возрастающей, если

,

т.е. если из следует.

Определение 5. Последовательность называется неубывающей, если

,

т.е. если из следует.

Определение 6. Последовательность называется убывающей, если

,

т.е. если из следует.

Определение 7. Последовательность называется невозрастающей, если

,

т.е. если из следует.

Число e. Последовательность является возрастающей и ограниченной. Следовательно, она сходится. Её предел обозначают буквойe, т.е.

.

Частичные последовательности и частичные пределы.

Определение 1 Последовательность , которая составлена из членов последовательностии в которой порядок следования её элементов совпадает с их порядком следования в исходной последовательности, называется подпоследовательностью этой последовательности.

Определение 2. Если частичная последовательность сходится, то её предел называется частичным пределом исходной последовательности

Теорема 1. Если последовательность имеет определённый пределa, то тот же предел имеет и частичная последовательность .

Определение 3. Число называется предельной точкой числовой последовательности, если любая её окрестность содержит бесконечное число членов последовательности.

Частичный предел последовательности является одновременно и её предельной точкой.

Определение 4. Наибольший (наименьший) частичный предел числовой последовательности называется её верхним (нижним) пределом и обозначается символом

.

Теорема 2. Любая числовая последовательность имеет верхний и нижний пределы.

Лемма Больцано-Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности всегда можно извлечь такую частичную последовательность, которая сходилась бы к конечному пределу.