Числовые множества

Бесконечные числа. В дальнейшем очень часто будем использовать символы +¥ и -¥. Эти символы будем называть бесконечными числами и условимся о следующих свойствах бесконечных чисел:

1°. Если x-действительное число, то -¥<x<+¥; x+¥=+¥, x-¥=-¥; ;

(-¥)+(+¥)=+¥;(-¥)+(-¥)=-¥;(+¥)-(-¥)=+¥,

2°. Если x>0, то x×(+¥)=+¥, x×(-¥)=-¥, (-¥)×(+¥)=-¥; (+¥)×(+¥)=+¥,

3°. Если x<0, то x×(+¥)=-¥; x×(-¥)=+¥.

Эти условия принимаются в качестве определения, поэтому не доказываются.

Множество действительных чисел будем обозначать в дальнейшем буквой R.

Эквивалентные множества. Конечные и бесконечные множества

Пусть заданы множества E и F. Если существует взаимно-однозначное соответствие между множествами E и F, то множества E и F называют эквивалентными и обозначают E ~ F.

О б о з н а ч е н и я. Множества, составленные из n положительных целых чисел 1,2, … ,n будем обозначать символом J_n, а множество всех целых чисел будем обозначать J.

Если для некоторого nÎJ справедливо E ~ J_n, тогда будем говорить, что E-конечное множество.

Если в определении E ~ J_n, f биективная функция, то множество E составлено из элементов f(1), f(2), … , f(n). Если называть i номером элемента f(i), i=1,2, … , n; то конечное множество можно определить как множество, элементы которого можно пронумеровать от 1 до некоторого n. Такое множество называется n-элементным.

Если множество Е не ограничено, то его называют неконечным или бесконечным.

Если для любого фиксированного целого положительного n во множестве E найдутся (n+1) различный элемент, то множество E называется бесконечным.

Действительно, если E конечное множество, то для некоторого фиксированного n_o справедливо , т.е. множество E составлено изn_o элементов. Но во множестве E существует по крайней мере (n_o+1) различный элемент. Из этого противоречия и следует, что множество E-бесконечно. В качестве примера бесконечного множества можно рассматривать множество J.

Множества, эквивалентные множеству J, называются счётными.

Верхние и нижние границы. Ограниченные множества.

Пусть заданы действительные числа x и y. Если справедливо отношение x > y, то говорим, что число x больше числа y или число y меньше числа x. Если же выполняется соотношение x³y, то есть, если x=y или x>y, то будем говорить, что x не меньше y, а y не больше x, или , что то же самое, что y не превышает числа x. Если x>0, то x-положительное число; если x<0, то x-отрицательное число; если x³0, то x-неотрицательное число и если x£0, то x-неположительное число.

Множество, элементы которого суть действительные числа, называется числовым множеством. Обратим внимание на тот факт, что бесконечные числа +¥ и -¥ не входят в числовые множества.

Запись EÌR означает, что E-числовое множество.

Пусть заданно некоторое числовое множество E. Если найдется такое действительное число α , что для всех хÎE справедливо неравенство x£ α, тогда множество E называется ограниченным сверху, а число a верхней границей множества E.

Заметим что, если a является верхней границей множества E, то и любое число a¢, большее, чем a, a¢>a, также является верхней границей множества E.

С помощью кванторов определение ограниченного сверху множества можно записать следующим образом: ($a)(" х Î Е): х£a (1)

Воспользовавшись правилом получения обратного утверждения, получим утверждение () в следующем виде ("a) ($х_aÎЕ): х_a>a, т.е. множество будет называться неограниченным сверху, или если для любого действительного числа a во множестве E найдется число x, большее, чем a.

Определение ограниченности множества снизу формируется совершенно аналогично. Необходимо существование такого числа b, что для всех xÎE выполняется неравенство x³b; т.е. символически ($b)("xÎE): b£x. Такое b называется нижней границей множества E.

Если выполняется условие ("b)($x_bÎE): x_b<b, т.е. если для любого действительного числа β найдётся элемент x_b из множества E, который меньше, чем β, то множество E называется неограниченным снизу.

Если множество E ограниченно и сверху, и снизу, то есть если выполняется условие ($a)($b)("xÎE): b£x£a, то множество E называется ограниченным.

Наибольший и наименьший элементы числового множества. Пусть задано числовое множество E. Если существует верхняя граница данного множества, содержащаяся в этом множестве, т.е.

($aÎE)("xÎE): x£a,

то говорят, что множество E имеет наибольший элемент и число a называют наибольшим или максимальным элементом.

Если найдется такой элемент bÎE, что неравенство x³β справедливо для всех элементов xÎE, то говорят, что множество E имеет наименьший или минимальный элемент, которым и является число b.

Наибольший и наименьший элементы множества E (конечно, если они существуют!) обозначаются соответственно символами max E и min E.

Сегмент и интервал. Промежуток.

Условия, задающие множества	обозна- чение	ограни- ченность сверху	ограни- ченность снизу	наибольший элемент	наименьший элемент
а£х£b	[а;b]	да	да	существует	существует
а<х<b	(а;b)	да	да	не существует	не существует
а<х£b	(а;b]	да	да	существует	не существует
а£х<b	[а;b)	да	да	не существует	существует
-¥<х£b	(-¥;b]	да	нет	существует	не существует
-¥<х<b	(-¥;b)	да	нет	не существует	не существует
а£х<+¥	[а;+¥)	нет	да	не существует	существует
а<х<+¥	(а;+¥)	нет	да	не существует	не существует
-¥<х<+¥	(-¥;+¥)	нет	нет	не существует	не существует

Примеры.

1. Из определения сегмента следует, что число а является нижней границей, а число b верхней границей [a,b].

2. Покажем, что у интервала (a,b) не существуют наибольший и наименьший элементы. Действительно пусть x(a,b). Тогда из следующих неравенств

,

следует, что для любого элемента x(a, b) существует элемент (a,b), больший, чем x и элемент (a, b) - меньший, чем x. Очевидно, что для интервала (a, b) число b является верхней границей, а число a является нижней границей.

Теперь покажем, что любой промежуток является бесконечным множеством.

Сначала проведем доказательство для сегмента. Для любого целого положительного n существует (n+1) разных чисел x_i=a+i (i=0,1,…,n), в сегменте [a, b].

Поскольку в любом промежутке найдется сегмент, являющийся подмножеством данного промежутка, то и любой промежуток является бесконечным множеством.

Супремум и инфимум

Наименьшая верхняя граница множества Е называется супремумом и обозначается символами sup E или .

Замечание. Supremum (на латинском языке) - означает самое большое.

Итак, для того, чтобы число a было супремумом множества, Е должны выполняться следующие два условия:

1. Число a является верхней границей множества Е, то есть для любого хÎЕ справедливо неравенство х£a.

2. Число a- наименьшая из верхних границ, то есть любое число , меньшееa, не будет верхней границей множества Е. Другими словами, для любого числа , удовлетворяющего неравенству, найдется такой элемент, что, будет выполняться неравенство: .

Определение супремума на языке кванторов записывается так:

Самая наибольшая нижняя граница множества Е называется инфимумом и обозначается inf E или .

Замечание. Infimum (на латинском языке)- означает самое нижнее.

Итак, чтобы число было инфимумом множества Е, должны выполняться следующие два условия:

1⁰. Число является нижней границей множества Е, то есть для любого хÎЕ выполняется х³.

2⁰. Число является наибольшим среди всех нижних границ множества Е, то есть любое числоb^¢, большее числа , не может быть нижней границей множества Е.

Определение инфимума на языке кванторов записывается так:

Супремум, и инфимум множества могут как принадлежать множеству, так и не принадлежать.

Теперь рассмотрим неограниченные множества. Согласно определению супремум неограниченного сверху числового множества Е есть +¥ и обозначается символами: sup Е = +¥ или = +¥.

Инфимум неограниченного снизу числового множества Е есть -¥, согласно определению, и обозначается символами: inf Е=-¥ либо .

1 – т е о р е м а. Пусть дано множество действительных чисел Е. Если для заданного числа a и для всех хÎЕ выполняется х£ a, то sup Е £ a.

Аналогично, если для определенного b и произвольных х ÎЕ выполняется х ³ b, то inf Е ³b.

2 – т е о р е м а. Если множество Е будет подмножеством числового множества F, тогда

supЕ £ supF и inf Е ³ inf F. Другими словами, если множество шире, то его супремум больше, а инфимум меньше.

3 – т е о р е м а. Если произвольный элемент числового множества Е не превышает произвольного элемента числового множества F, то supЕ£inf F. Здесь supЕ и inf F- действительные числа.

4 – т е о р е м а. Пусть дано множество действительных чисел Е. Тогда

sup (-Е)= - inf Е, inf (-Е)= - supЕ (на основании перманентности: -(+ ¥)= -¥, -(-¥)=+¥).

Таким образом, если из под символами sup или inf выносить знак "-" , то их нужно поменять на противоположные символы.

Свойства действительных чисел.

Определение. Множество называется множеством действительных чисел, а его элементы действительными числами, если выполняется следующий комплекс условий, называемый аксиоматикой действительных чисел.

I. Операция сложения. Для любой упорядоченной пары действительных чисел a и b определено, и притом единственным образом, число, называемое их суммой и обозначаемое через , так что при этом имеют место следующие свойства.

I₁. Для любой пары чисел a и b

Это свойство называется переместительным или коммутативным законом сложения.

I₂. Для любых чисел a, b и c .

Это свойство называется сочетательным или ассоциативным законом сложения.

I₃. Существует число, обозначаемое 0 и называемое нулём, такое, что для любого числа a

.

I₄. Для любого числа a существует число, обозначаемое –a и называемое противоположным данному, такое, что .

II. Операция умножения. Для любой упорядоченной пары чисел a и b определено, и притом единственным образом, число, называемое их произведением и обозначаемое ab, так что при этом имеют место следующие свойства.

II₁. Для любой пары чисел a и b ab=ba.

Это свойство называется переместительным или коммутативным законом умножения.

II₂. Для любых чисел a, b, c a(bc)=(ab)c.

Это свойство называется сочетательным или ассоциативным законом умножения.

II₃. Существует число, обозначаемое 1 и называемое единицей, такое, что для любого числа a

.

II₄. Для любого числа существует число, обозначаемоеи называемое обратным данному, такое, что.

III. Связь операций сложения и умножения. Для любых чисел a, b, c

.

Это свойство называется распределительным или дистрибутивным законом умножения относительно сложения.

IV. Упорядоченность. Для каждого числа a определено одно из соотношений ,a=0 или так, что условиеравносильно условию.

При этом если ,, то имеют место неравенства:IV₁. .IV₂. .

V. Свойство непрерывности. Каковы бы ни были непустые множества , у которых для любых двух элементовивыполняется неравенство, существует такое число, что для всехиимеет место соотношение

.

VI. Аксиома Архимеда. Для любых двух действительных чисел a>0 и b существует единственное целое число k, удовлетворяющее неравенству: kab<(k+1)a.

Рис. 2

Иначе говоря, для любого действительного числа a>0 множество действительных чисел можно представить в виде объединения полуинтервалов [ka,(k+1)a) (k=0; 1; 2; …). Значит, любое действительное число b обязательно попадает в один из полуинтервалов (см. рис 2)