Элементы логики. Функции. Действительные числа.

В математике часто некоторые словесные выражения заменяют посредством символов. Так, например, символом заменяют выражение "для произвольного", или "для любого", или"какого бы ни было", а символом — выражение "существует", или "найдется". Символы и называются кванторами.

Запись А => В {импликация) означает, что из справедливости высказывания А вытекает справедливость высказывания В. Если, кроме того, из справедливости высказывания В вы­текает справедливость А, то записываем . Если, то высказывание В является необходимым и достаточным условием для того, чтобы выполнялось высказывание А.

Если предложения А и В справедливы одновременно, то записываем . Если же справедливо хотя бы одно из предложений А или В, то записываем .

Операции над множествами.

Математическое понятие множества элементов принимается в качестве интуитивного. Множество задается правилом или признаком, согласно которому определяем, принадлежит ли данный элемент множеству или не принадлежит.

Множество обозначают символом А = {х}, где х — общее наименование элементов мно­жества А. Часто множество записывают в виде А = {а, b, с,...}, где в фигурных скобках указаны элементы множества А.

Будем пользоваться обозначениями:

N - множество всех натуральных чисел;

Z - множество всех целых чисел;

Q - множество всех рациональных чисел;

R - множество всех действительных чисел;

С - множество всех комплексных чисел;

Z₀ - множество всех неотрицательных целых чисел.

Запись означает, что элемент а принадлежит мно­жеству А.

Запись означает, что элемент а не принадлежат множеству А.

Множество В, все элементы которого принадлежат множеству А, назы­вается подмножеством множества А, и при этом записывают . Всегда , так как каждый элемент множества А, естественно, принадлежит А. Пустое множество, т. е. множество, не со­держащее ни одного элемента, обозначим символом . Любое множествосодержит пустое множество в качестве своего подмножества.

Определение 1. Если ,то А и В называются равными множествами, при этом записывают А = В.

Определение 2. Если , то множество элементов множества J, не принадлежащих А, называется дополнением множества А к мно­жеству J.

Дополнение множества А к множеству J обозначают символом или просто СА, если известно, к какому множеству берется дополнение. Таким образом,

.

Если ,, то иногда дополнениемножества В к множеству А называют разностью множеств А и В и обозначают А\В, т. е.

.

Пусть А и В подмножества множества J.

Определение 3. Объединением множеств А и В называется множество

.

Аналогично, если, подмножества множестваJ, то их объединением будет множество

.

Определение 4. Пересечением подмножеств А и В называется множество (рис. 5)

Аналогично, символом обозначают пересечение подмножеств, множе­ства J, т. е. множество

.

Определение 5. Симметрической разностью двух множеств А и В называется мно­жество, определяемое объединением разностей А\В и В\А (рис. 6).

Симметрическую разность обозначают символом .

Определение 6. Два элемента а и b называются упорядоченной парой, если указано, какой из этих элементов первый, какой второй, при этом ((а, b) = (с, d)) <=> (а = с b = d).

Упорядоченную пару элементов а и b обозначают символом (а, b).

Аналогично определяется упорядоченная система из n элементов , которую обозначают символом.Элементы называются координатами упорядоченной системы .

Определение 7. Совокупность всевозможных упорядоченных пар (а, b), где , , называется произведением множеств А и В и обозначается символом .

Аналогично, символом ,обозначают произведение множеств , т. е. совокупность всевозможных упорядоченных систем , где .