01 случайные события / 07_вероятность суммы нескольких событий

§7. Вероятность суммы нескольких событий

Здесь тоже, прежде чем подсчитывать вероятность суммы

нужно сначала выяснить, совместные эти события или нет

1. Попарно несовместные события:

( 19 )

Здесь по-прежнему, общая площадь

равна сумме всех площадей.

2. Совместные события:

Если и здесь сложить площади всех трех областей, то части площади, общие для A и B, A и C, B и C, попадут в эту сумму дважды, их нужно вычесть. Но после этого центральный участок, общий для всех трех событий, исчезает совсем, его площадь нужно вернуть, добавить.

( 20 )

Получилась громоздкая, неудобная для использования формула, и это только для трех событий. Если суммируются 4 и более совместные события, формула становится совершенно неприемлемой для использования.

Формулой (18) пользоваться не рекомендуется

Нужно попытаться построить другую формулу, которая была бы проще и удобнее для использования. Вот к этому мы сейчас и перейдем.

Вернемся к понятию полной группы событий и рассмотрим особо важный случай, когда события, составляющие полную группу,

еще и попарно несовместны.

Геометрически эта теорема очень просто интерпретируется: сумма площадей всех областей равна площади квадрата и равна 1.

Противоположные события как раз образуют полную группу

и, кроме того, несовместны.

Геометрически: сумма площадей равна площади квадрата

и равна 1.

Теперь мы можем вернуться к

вероятности суммы нескольких совместных событий

Воспользуемся полученным в параграфе «Геометрическое представление событий» результатом. Если событие – это появление хотя бы одного события, то противоположное событие – это не появление ни одного из них ( формула ( 16 ) ):

Теперь можно воспользоваться формулой ( 23 ) и подсчитать вероятности суммы нескольких совместных событий через противоположное событие,

( 24 )

Для суммы двух совместных событий этой формулой тоже можно пользоваться:

Но если число совместных событий больше двух, то вероятность суммы следует обязательно подсчитывать только формулой (24)

вместо формулы (20)

И при таком подходе уже неважно, сколько совместных событий суммируются